Теория чисел:Тикеты — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Лекция - Основные элементы теории чисел)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 9 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
'''Почти для всех конспектов есть одна большая правка: сделать конспект нормальным'''
 
== 1 Классы чисел и основная теорема арифметики ==
 
== 1 Классы чисел и основная теорема арифметики ==
 
# [[Классы чисел]] 1-1,5
 
# [[Классы чисел]] 1-1,5
Строка 27: Строка 28:
 
# [[Теоремы о простых числах]] 2
 
# [[Теоремы о простых числах]] 2
 
## переместить в конспект с простыми числами и нормально оформить
 
## переместить в конспект с простыми числами и нормально оформить
−
=== Практика - Разложение на множители и длинная арифметика ===
+
<!--=== Практика - Разложение на множители и длинная арифметика ===-->
 
# [[Системы счисления]] 2
 
# [[Системы счисления]] 2
 
## Нормально заюзать тех
 
## Нормально заюзать тех
Строка 50: Строка 51:
 
## поправить статью
 
## поправить статью
  
−
== Лекция - Основные элементы теории чисел ==
+
== 2 Лекция - Основные элементы теории чисел ==
 
# [[Сравнения, система вычетов, решение линейных систем по модулю]] 5-10-15
 
# [[Сравнения, система вычетов, решение линейных систем по модулю]] 5-10-15
 
## поправить тех
 
## поправить тех
Строка 77: Строка 78:
 
# [[Функция Мебиуса]]
 
# [[Функция Мебиуса]]
  
−
=== Практика - Основные алгоритмы теории чисел ===
+
<!--=== Практика - Основные алгоритмы теории чисел ===-->
−
* [[Решето Эратосфена]]
+
# [[Решето Эратосфена]]
−
* [[Быстрое возведение в степень]]
+
# [[Быстрое возведение в степень]]
−
* [[Умножение по Монтгомери]]
+
# [[Умножение по Монтгомери]]
−
* [[Дискретное преобразование Фурье]]
+
# [[Дискретное преобразование Фурье]]
−
* [[Быстрое преобразование Фурье]]
+
# [[Быстрое преобразование Фурье]]
  
−
== Лекция - Основы теории групп ==
+
== 3 Лекция - Основы теории групп ==
−
* [[Полугруппа]], [[моноид]], [[группа]]
+
# [[Полугруппа]], [[моноид]], [[группа]]
−
* [[Абелева группа]], [[Конечная группа]]
+
# [[Абелева группа]], [[Конечная группа]]
−
* [[Гомоморфизм групп]], [[изоморфизм групп]]
+
# [[Гомоморфизм групп]], [[изоморфизм групп]]
−
* [[Подгруппа]], [[нормальная подгруппа]]
+
# [[Подгруппа]], [[нормальная подгруппа]]
−
* [[Порядок элемента группы]], [[циклическая группа]], [[конечно порожденная группа]]
+
# [[Порядок элемента группы]], [[циклическая группа]], [[конечно порожденная группа]]
−
* [[Регулярное представление группы]]
+
# [[Регулярное представление группы]]
−
* [[Теорема о подгруппах циклической группы]]
+
# [[Теорема о подгруппах циклической группы]]
−
* [[Смежные классы]], [[теорема Лагранжа]], [[факторгруппы]]
+
# [[Смежные классы]], [[теорема Лагранжа]], [[факторгруппы]]
−
=== Практика - Основы теории групп ===
+
<!--=== Практика - Основы теории групп ===-->
−
* [[Вычисление порядка элемента в группе]]
+
# [[Вычисление порядка элемента в группе]]
−
* [[Вычисление порядка перестановки в группе перестановок]]
+
# [[Вычисление порядка перестановки в группе перестановок]]
−
* [[Дискретное логарифмирование в группе]]
+
# [[Дискретное логарифмирование в группе]]
−
* [[Действие группы на множестве]]
+
# [[Действие группы на множестве]]
−
* [[Лемма Бернсайда, задача о числе ожерелий]]
+
# [[Лемма Бернсайда, задача о числе ожерелий]]
−
* [[Представление групп]]
+
# [[Представление групп]]
  
−
== Лекция - Основы теории колец ==
+
== 4 Лекция - Основы теории колец ==
−
*[[Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец]]
+
#[[Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец]]
−
*[[Делители нуля, области целостности]]
+
#[[Делители нуля, области целостности]]
−
*[[Единицы (обратимые элементы), группа обратимых элементов]]
+
#[[Единицы (обратимые элементы), группа обратимых элементов]]
−
*[[Неразложимые элементы, ассоциированные элементы и разложение на множители в целостных кольцах]]
+
#[[Неразложимые элементы, ассоциированные элементы и разложение на множители в целостных кольцах]]
−
*[[Евклидовы кольца]]
+
#[[Евклидовы кольца]]
−
=== Практика - Арифметика полиномов от одной переменной над полем ===
+
<!--=== Практика - Арифметика полиномов от одной переменной над полем ===-->
  
−
== Лекция - Основы теории полей ==
+
== 5 Лекция - Основы теории полей ==
−
* [[Определение поля и подполя, изоморфизмы полей]]
+
# [[Определение поля и подполя, изоморфизмы полей]]
−
* [[Примеры полей]]
+
# [[Примеры полей]]
−
* [[Мультипликативная группа поля]]
+
# [[Мультипликативная группа поля]]
−
* [[Расширения полей]]
+
# [[Расширения полей]]
  
−
== Лекция - Первообразные корни и квадратичные вычеты ==
+
== 6 Лекция - Первообразные корни и квадратичные вычеты ==
−
* [[Теорема о цикличности мультипликативной группы поля Z/pZ|Теорема о цикличности мультипликативной группы поля <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>]]
+
# [[Теорема о цикличности мультипликативной группы поля Z/pZ|Теорема о цикличности мультипликативной группы поля <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>]]
−
* [[Первообразные корни]]
+
# [[Первообразные корни]]
−
** [[Существование первообразных корней по определенным модулям|Теорема о существовании первообразных корней по модулям вида <tex>2,4,p^n,2\cdot p^n</tex>]]
+
# [[Существование первообразных корней по определенным модулям|Теорема о существовании первообразных корней по модулям вида <tex>2,4,p^n,2\cdot p^n</tex>]]
−
* [[Квадратичные вычеты|Квадратичные вычеты, количество квадратичных вычетов по простому модулю]]
+
# [[Квадратичные вычеты|Квадратичные вычеты, количество квадратичных вычетов по простому модулю]]
−
** [[Символ Лежандра, критерий Эйлера]]
+
# [[Символ Лежандра, критерий Эйлера]]
−
** [[Теорема о (((p-1)/2)!)^2=-1(mod p)|Теорема о <tex>((\frac{p-1}{2})!)^2\equiv -1 (mod ~p)</tex> при <tex>p=4\cdot k+1</tex>]]
+
# [[Теорема о (((p-1)/2)!)^2=-1(mod p)|Теорема о <tex>((\frac{p-1}{2})!)^2\equiv -1 (mod ~p)</tex> при <tex>p=4\cdot k+1</tex>]]
−
** [[Лемма Гаусса для вычисления квадратичного характера числа по простому модулю]]
+
# [[Лемма Гаусса для вычисления квадратичного характера числа по простому модулю]]
−
=== Практика - Первообразные корни и квадратичные вычеты ===
+
<!--=== Практика - Первообразные корни и квадратичные вычеты ===-->
  
−
== Лекция - Квадратичные вычеты ==
+
== 7 Лекция - Квадратичные вычеты ==
−
*[[Квадратичный закон взаимности]]
+
#[[Квадратичный закон взаимности]]
−
*[[Символ Якоби и его свойства]]
+
#[[Символ Якоби и его свойства]]
−
*[[Обобщенный квадратичный закон взаимности]]
+
#[[Обобщенный квадратичный закон взаимности]]
−
*[[Алгоритм вычисления символа Якоби]]
+
#[[Алгоритм вычисления символа Якоби]]
−
=== Практика - Вероятностные тесты чисел на простоту ===
+
<!--=== Практика - Вероятностные тесты чисел на простоту ===-->
−
*[[Тест Ферма проверки чисел на простоту, числа Кармайкла]]
+
#[[Тест Ферма проверки чисел на простоту, числа Кармайкла]]
−
*[[Тест Соловея-Штрассена]]
+
#[[Тест Соловея-Штрассена]]
−
*[[Тест Миллера-Рабина]]
+
#[[Тест Миллера-Рабина]]
  
−
== Лекция - Аналитическая теория чисел ==
+
== 8 Лекция - Аналитическая теория чисел ==
−
* [[Факты из математического анализа]]
+
# [[Факты из математического анализа]]
−
* [[Теорема Чебышёва]]
+
# [[Теорема Чебышёва]]
−
* [[Постулат Бертрана]]
+
# [[Постулат Бертрана]]
−
* [[Уточнение констант в теореме Чебышёва]]
+
# [[Уточнение констант в теореме Чебышёва]]
−
* [[Сумма обратных к простым]]
+
# [[Сумма обратных к простым]]
−
* [[Асимптотический закон распределения простых чисел]]
+
# [[Асимптотический закон распределения простых чисел]]
  
−
=== Практика - Вычисление <math>\pi(x)</math> ===
+
<!--=== Практика - Вычисление <math>\pi(x)</math> ===-->
  
−
== Лекция - Цепные (непрерывные) дроби и уравнение Пелля ==
+
== 9 Лекция - Цепные (непрерывные) дроби и уравнение Пелля ==
−
* [[Цепная дробь]]
+
# [[Цепная дробь]]
−
** [[Связь цепных дробей и алгоритма Евклида]]
+
# [[Связь цепных дробей и алгоритма Евклида]]
−
** [[Сходимость цепных дробей]]
+
# [[Сходимость цепных дробей]]
−
** [[Цепные дроби как приближение к числу]]
+
# [[Цепные дроби как приближение к числу]]
−
** [[Квадратичная иррациональность]]
+
# [[Квадратичная иррациональность]]
−
** [[Периодичность цепных дробей]]
+
# [[Периодичность цепных дробей]]
−
** [[Цепные дроби для sqrtd и квадратичных иррациональностей|Цепные дроби для <tex>\sqrt{d}</tex> и квадратичных иррациональностей]]
+
# [[Цепные дроби для sqrtd и квадратичных иррациональностей|Цепные дроби для <tex>\sqrt{d}</tex> и квадратичных иррациональностей]]
−
* [[Уравнение Пелля]]
+
# [[Уравнение Пелля]]
−
* [[Представление простых в виде суммы двух квадратов]]
+
# [[Представление простых в виде суммы двух квадратов]]
  
−
== Лекция - Конечные поля ==
+
<!--== Лекция - Конечные поля ==
−
=== Практика - Методы разложения полиномов на множители над конечными полями ===
+
=== Практика - Методы разложения полиномов на множители над конечными полями ===-->

Текущая версия на 19:03, 4 сентября 2022

Почти для всех конспектов есть одна большая правка: сделать конспект нормальным

1 Классы чисел и основная теорема арифметики

  1. Классы чисел 1-1,5
    1. увеличить дроби
    2. все формулы в тех
    3. источники информации добавить
    4. см также добавить
    5. английские термины
    6. заменить дефисы на тире, там где должно быть тире
    7. указать ссылки на основные статьи классов
  2. Натуральные и целые числа 5-10
    1. источники информации добавить
    2. см также добавить
    3. заменить дефисы на тире, там где должно быть тире
    4. Сделать нормальным
  3. Простые числа 2
    1. "Так как n делится на q, то n делится на a." показать формально
    2. поправить пунктуацию
    3. "Число N не делится ни на одно из простых чисел (2,3,5,…,p), так как при делении N на эти числа получится остаток 1." показать формально
  4. Наибольший общий делитель 2
    1. "Тогда gcd(a,b)=pmin(α1,β1)1⋅pmin(α2,β2)2⋅…⋅pmin(αk,βk)k" что такое p_i?
    2. Оформить правильно псевдокод
    3. заменить дефисы на тире, там где должно быть тире
    4. все формулы в тех
    5. второй пункт в лемме стандартного алгоритма Евклида переписать
  5. Основная теорема арифметики 2
    1. поместить в натуральные числа, нормально оформить
  6. Теоремы о простых числах 2
    1. переместить в конспект с простыми числами и нормально оформить
  7. Системы счисления 2
    1. Нормально заюзать тех
    2. источники информации добавить
    3. см также добавить
    4. английские термины
  8. Арифметика чисел в b-ичной системе счисления (Длинная арифметика) 5-8
    1. английские термины
    2. все формулы в тех
    3. категории
    4. источники информации
    5. см также
    6. знаки неравенств
    7. дроби
    8. добавить псевдокод
    9. сделать статью нормальной
  9. Разложение на множители (факторизация) 1-2
    1. знаки неравенств
    2. дефисы заменить на тире, там же должно быть тире
    3. английские термины
    4. сделать псевдокод одинаковым во всех частях статьи
    5. поправить статью

2 Лекция - Основные элементы теории чисел

  1. Сравнения, система вычетов, решение линейных систем по модулю 5-10-15
    1. поправить тех
    2. источники информации, см также
    3. сделать конспект нормальным
    4. разбить на 3 конспекта
  2. Китайская теорема об остатках 1-5
    1. поправить тех
    2. источники информации, см также
    3. добавить информации или поместить в конспект, где она должна быть теорема
  3. Теорема Ферма 1-5
    1. все правки из китайской теоремы об остатках
  4. Теорема Вильсона 1-5
    1. все правки из китайской теоремы об остатках
  5. Мультипликативность функции, свертка Дирихле 5-10
    1. разбить на 2, добавить информации
    2. поправить тех
    3. английские термины
    4. добавить использование шаблонов теорем/утверждений
  6. Функция Эйлера 1
    1. поправить тех
    2. английские термины
    3. добавить использование шаблонов терем/утверждений
    4. придать структуру
  7. Количество делителей, сумма делителей
  8. Функция Мебиуса
  1. Решето Эратосфена
  2. Быстрое возведение в степень
  3. Умножение по Монтгомери
  4. Дискретное преобразование Фурье
  5. Быстрое преобразование Фурье

3 Лекция - Основы теории групп

  1. Полугруппа, моноид, группа
  2. Абелева группа, Конечная группа
  3. Гомоморфизм групп, изоморфизм групп
  4. Подгруппа, нормальная подгруппа
  5. Порядок элемента группы, циклическая группа, конечно порожденная группа
  6. Регулярное представление группы
  7. Теорема о подгруппах циклической группы
  8. Смежные классы, теорема Лагранжа, факторгруппы
  9. Вычисление порядка элемента в группе
  10. Вычисление порядка перестановки в группе перестановок
  11. Дискретное логарифмирование в группе
  12. Действие группы на множестве
  13. Лемма Бернсайда, задача о числе ожерелий
  14. Представление групп

4 Лекция - Основы теории колец

  1. Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец
  2. Делители нуля, области целостности
  3. Единицы (обратимые элементы), группа обратимых элементов
  4. Неразложимые элементы, ассоциированные элементы и разложение на множители в целостных кольцах
  5. Евклидовы кольца

5 Лекция - Основы теории полей

  1. Определение поля и подполя, изоморфизмы полей
  2. Примеры полей
  3. Мультипликативная группа поля
  4. Расширения полей

6 Лекция - Первообразные корни и квадратичные вычеты

  1. Теорема о цикличности мультипликативной группы поля [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/math]
  2. Первообразные корни
  3. Теорема о существовании первообразных корней по модулям вида [math]2,4,p^n,2\cdot p^n[/math]
  4. Квадратичные вычеты, количество квадратичных вычетов по простому модулю
  5. Символ Лежандра, критерий Эйлера
  6. Теорема о [math]((\frac{p-1}{2})!)^2\equiv -1 (mod ~p)[/math] при [math]p=4\cdot k+1[/math]
  7. Лемма Гаусса для вычисления квадратичного характера числа по простому модулю

7 Лекция - Квадратичные вычеты

  1. Квадратичный закон взаимности
  2. Символ Якоби и его свойства
  3. Обобщенный квадратичный закон взаимности
  4. Алгоритм вычисления символа Якоби
  5. Тест Ферма проверки чисел на простоту, числа Кармайкла
  6. Тест Соловея-Штрассена
  7. Тест Миллера-Рабина

8 Лекция - Аналитическая теория чисел

  1. Факты из математического анализа
  2. Теорема Чебышёва
  3. Постулат Бертрана
  4. Уточнение констант в теореме Чебышёва
  5. Сумма обратных к простым
  6. Асимптотический закон распределения простых чисел


9 Лекция - Цепные (непрерывные) дроби и уравнение Пелля

  1. Цепная дробь
  2. Связь цепных дробей и алгоритма Евклида
  3. Сходимость цепных дробей
  4. Цепные дроби как приближение к числу
  5. Квадратичная иррациональность
  6. Периодичность цепных дробей
  7. Цепные дроби для [math]\sqrt{d}[/math] и квадратичных иррациональностей
  8. Уравнение Пелля
  9. Представление простых в виде суммы двух квадратов


Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Теория_чисел:Тикеты&oldid=84346»