Количество делителей, сумма делителей

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Количество делителей[править]

Определение:
Арифметическая функция [math]~\tau (a) [/math] определяется как число положительных делителей натурального числа a:
[math] ~\tau(a) = \sum_{d|a} 1 [/math]


Если a и b взаимно просты, то каждый делитель произведения ab может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей a и b, и обратно, каждое такое произведение является делителем ab. Отсюда следует, что функция [math]~\tau[/math] мультипликативна:

[math] ~\tau(ab) = \tau(a) \tau(b) [/math]

Пусть [math] a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}[/math] — каноническое разложение числа a, то в силу мультипликативности

[math] ~\tau(a) = \tau(p_1^{\alpha_1}) \tau(p_2^{\alpha_2}) \ldots \tau(p_k^{\alpha_k}) [/math]

Но положительными делителями числа [math]p_i^{\alpha_i}[/math] являются [math]~\alpha_i+1[/math] чисел [math]1, p_i, \ldots, p_i^{\alpha_i}[/math].

Значит,

[math] ~\tau(n) = (\alpha_1+1) (\alpha_2+1) \ldots (\alpha_k+1) [/math]

Сумма делителей[править]

Определение:
Функция [math]~\sigma (a) [/math] определяется как сумма делителей натурального числа a:
[math] ~\sigma (a) = \sum_{d|a} d [/math]



Функция [math]~\sigma (a) [/math] мультипликативна по тем же соображениям, что и [math]~\tau (a) [/math]

[math] ~\sigma (ab) = \sigma (a) \sigma(b) [/math]