Изменения

Приведем доказательство по индукции по числу вершин в графе. Пусть <tex> n </tex> {{- --}} количество вершин в графе.

<u> ''База индукции:'' </u>

Пусть <tex> u </tex> – {{---}} произвольная вершина турнира <tex> T </tex>. Тогда турнир <tex> T - u </tex> имеет <tex> n </tex> вершин, значит, в нем есть гамильтонов путь <tex> P: (v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_n) </tex>. [[Файл: Redei_kamion_1.png|150px|thumb|center]] Одно из ребер рёбер <tex> (u, v_1) </tex> или <tex> (v_1, u) </tex> обязательно содержится в <tex> T </tex>.# Ребро Если ребро <tex> (u, v_1) \in ET </tex>. Тогда , то путь <tex> (u \rightarrow P) </tex> {{--- }} гамильтонов.[[Файл: Redei_kamion_2.png|150px|thumb|center|<font color=# Ребро ff2a2a>Красным</font> цветом выделен искомый путь]] Пусть теперь ребро <tex> (u, v_1) \notin ET </tex>. Пусть <tex> , v_i </tex> {{--- }} первая вершина пути <tex> P </tex>, для которой ребро <tex> (u, v_i) \in T </tex>.## Если такая вершина существует, то в <tex> T </tex> существует ребро <tex> (v_{i - 1}, u) </tex> и путь <tex> (v_1 \rightarrow \ldots \rightarrow v_{i - 1} \rightarrow u \rightarrow v_i \rightarrow \ldots v_n) </tex> – {{---}} гамильтонов. [[Файл: Redei_kamion_3.png|180px|thumb|center|<font color=## ff2a2a>Красным</font> цветом выделен искомый путь]] Если такой вершины не существует, то путь <tex> (P \rightarrow u) </tex> {{--- }} гамильтонов.[[Файл: Redei_kamion_4.png|150px|thumb|center|<font color=#ff2a2a>Красным</font> цветом выделен искомый путь]] 

Приведем доказательство по индукции по числу вершин в цикле. Пусть <tex> n </tex> {{- --}} количество вершин в графе.

<u> ''База индукции:'' </u>

Cильно связанный турнир <tex> T </tex> из <tex> n \geq geqslant 3 </tex> вершин содержит [[Основные_определения_теории_графов#.D0.9E.D1.80.D0.B8.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B3.D1.80.D0.B0.D1.84.D1.8B|цикл]] длины <tex> 3 </tex>.

[[Файл:cycle_3.png|150px|thumb|right|<tex> S_3 </tex>]]Пусть <tex> u </tex> {{--- }} произвольная вершина турнира <tex> T </tex>. Множество вершин <tex> VT - u </tex> распадается на <tex> 2 </tex> непересекающихся множества:* <tex> V_1 = \{ v_1 \in VT | \mid (v_1, u) \in ET \} </tex>,* <tex> V_2 = \{ v_2 \in VT | \mid (u, v_2) \in ET \} </tex>.[[Файл: Redei_kamion_5.png|290px|thumb|center]]

# <tex> V_1 \neq \emptyset </tex>, (иначе <tex> v </tex> {{- --}} исток турнира)# <tex> V_2 \neq \emptyset </tex>, (иначе <tex> v </tex> {{-- -}} сток турнира)# <tex> \exists e = (w_2, w_1) \in ET </tex>, (иначе нет пути из <tex>V_2</tex> в <tex>V_1</tex>):

[[Файл: Redei_kamion_6.png|290px|thumb|center|<font color=#ff2a2a>Красным</font> цветом выделен цикл длины <tex> 3 </tex>]] Цикл <tex> S_3: (u \rightarrow w_2 \rightarrow w_1 \rightarrow u) </tex> {{--- }} искомый цикл длины <tex> 3 </tex>, q.e.d.

Если сильно связанный турнир <tex> T </tex> из <tex> n \geq geqslant 3 </tex> вершин содержит цикл <tex> S_k </tex> длины <tex> k , (k < n)</tex>, то он содержит и цикл длины <tex> k + 1 </tex>.

Пусть <tex> v_0 : v_0 \notin S_k </tex> такаяи верно, что <tex> \exists u, w \in S_k </tex>:

[[Файл:cycle_k+1-1.png|150px|thumb|right|<tex> S_{k + 1} в первом случае. </tex>]]: Пусть <tex> v_1 </tex> - вершина из Перенумеруем вершины <tex> S_k </tex> такаятак, что чтобы ребро <tex> e = (v_1, v_0 ) \in ET </tex> для вершины <tex> v_1 \in S_k </tex>. Пусть <tex> v_i </tex> – первая вершина при обходе <tex> S_k </tex> из <tex> v_1 </tex>, для которой ребро <tex> f = (v_0, v_i ) \in ET </tex>.[[Файл: Redei_kamion_7.png|150px|thumb|center]] Тогда ребро <tex> g = (v_{i - 1}, v_0) \in ET </tex>.[[Файл: Redei_kamion_8.png|150px|thumb|center|<font color=#ff2a2a>Красным</font> цветом выделен искомый цикл длины <tex> k + 1 </tex> ]] Тогда <tex> S_{k + 1} = (v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_{i - 1} \rightarrow v_0 \rightarrow v_i \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1) </tex> – искомый цикл длины <tex> k + 1 </tex>.

[[Файл:cycle_k+1-2.png|150px|thumb|right|<tex> S_{k + 1} во втором случае. </tex>]]: Пусть::* <tex> V_1 = \{ u \in VT | \mid u \notin S_k, e = (u, v_i) \in ET, \forall i = \overline{1, n} \} </tex>,:* <tex> V_2 = \{ u \in VT | \mid u \notin S_k, f = (v_i, u) \in ET, \forall i = \overline{1, n} \} </tex>.: Тогда <tex> V_1 \cap V_2 = \emptyset </tex>.[[Файл: Redei_kamion_9.png|290px|thumb|center]] Турнир сильно связен, следовательно::* <tex> V_1 \neq \emptyset </tex>, (иначе <tex> T </tex> не будет сильно связным, так как тогда нет простых путей с началом в <tex> V_2 </tex> и концом в <tex> {v_1, \ldots, v_k} S_k </tex>):* <tex> V_2 \neq \emptyset </tex>, (иначе <tex> T </tex> не будет сильно связным, так как тогда нет простых путей с началом в <tex> {v_1, \ldots, v_k} S_k </tex> и концом в <tex> V_1 </tex>):* <tex> \exists g = (w_2, w_1) \in ET </tex>, (иначе <tex>T</tex> не будет сильно связным, так как тогда нет простых путей с началом в <tex>V_2</tex> и концом в <tex>V_1</tex>)::** <tex> w_1 \in V_1 </tex>,:** <tex> w_2 \in V_2 </tex>.[[Файл: Redei_kamion_10.png|290px|thumb|center|<font color=#ff2a2a>Красным</font> цветом выделен цикл длины <tex> k + 1 </tex>]]Тогда <tex> S_{k + 1} = (v_1 \rightarrow w_2 \rightarrow w_1 \rightarrow v_3 \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1) </tex> – искомый цикл длины <tex> k + 1 </tex>.

Цикл <tex> S_{k + 1} </tex> - искомый цикл длины <tex> k + 1 </tex>В любом случае утверждение верно, q.e.d.

Таким образом, в любой сильно связанный турнир <tex> T </tex> из с <tex> n \geq geqslant 3 </tex> вершин вершинами содержит цикл длины <tex> n </tex>, то есть гамильтонов цикл, q.e.d.{

{{ЛеммаТеорема

== Литература См. также==* [[Гамильтоновы графы]]* [[Турниры]] == Источники информации ==