Теорема Редеи-Камиона

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Теорема (Редеи-Камиона (для пути)):
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Приведем доказательство по индукции по числу вершин в графе. Пусть [math] n [/math] — количество вершин в графе.

База индукции:

Очевидно, для [math] n = 3 [/math] утверждение верно.

Индукционный переход:

Пусть предположение верно для всех турниров с количеством вершин не более [math] n [/math]. Рассмотрим турнир [math] T [/math] с [math] n + 1 [/math] вершинами.

Пусть [math] u [/math] — произвольная вершина турнира [math] T [/math]. Тогда турнир [math] T - u [/math] имеет [math] n [/math] вершин, значит, в нем есть гамильтонов путь [math] P: (v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_n) [/math].

Redei kamion 1.png

Одно из рёбер [math] (u, v_1) [/math] или [math] (v_1, u) [/math] обязательно содержится в [math] T [/math]. Если ребро [math] (u, v_1) \in ET [/math], то путь [math] (u \rightarrow P) [/math] — гамильтонов.

Красным цветом выделен искомый путь

Пусть теперь ребро [math] (u, v_1) \notin ET, v_i [/math] — первая вершина пути [math] P [/math], для которой ребро [math] (u, v_i) \in T [/math]. Если такая вершина существует, то в [math] T [/math] существует ребро [math] (v_{i - 1}, u) [/math] и путь [math] (v_1 \rightarrow \ldots \rightarrow v_{i - 1} \rightarrow u \rightarrow v_i \rightarrow \ldots v_n) [/math] — гамильтонов.

Красным цветом выделен искомый путь

Если такой вершины не существует, то путь [math] (P \rightarrow u) [/math] — гамильтонов.

Красным цветом выделен искомый путь
Значит, в любом случае в турнире существует гамильтонов путь, q.e.d.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Редеи-Камиона (для цикла)):
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Приведем доказательство по индукции по числу вершин в цикле. Пусть [math] n [/math] — количество вершин в графе.

База индукции:

Утверждение:
Cильно связанный турнир [math] T [/math] из [math] n \geqslant 3 [/math] вершин содержит цикл длины [math] 3 [/math].
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] u [/math] — произвольная вершина турнира [math] T [/math]. Множество вершин [math] VT - u [/math] распадается на [math] 2 [/math] непересекающихся множества:

  • [math] V_1 = \{ v_1 \in VT \mid (v_1, u) \in ET \} [/math],
  • [math] V_2 = \{ v_2 \in VT \mid (u, v_2) \in ET \} [/math].
Redei kamion 5.png

[math] T [/math] сильно связен, следовательно:

  1. [math] V_1 \neq \emptyset [/math], иначе [math] v [/math] — исток турнира
  2. [math] V_2 \neq \emptyset [/math], иначе [math] v [/math] — сток турнира
  3. [math] \exists e = (w_2, w_1) \in ET [/math], иначе нет пути из [math] V_2 [/math] в [math] V_1 [/math]:
    • [math] w_1 \in V_1 [/math],
    • [math] w_2 \in V_2 [/math].
Красным цветом выделен цикл длины [math] 3 [/math]
Цикл [math] S_3: (u \rightarrow w_2 \rightarrow w_1 \rightarrow u) [/math] — искомый цикл длины [math] 3 [/math], q.e.d.
[math]\triangleleft[/math]

Индукционный переход:

Утверждение:
Если сильно связанный турнир [math] T [/math] из [math] n \geqslant 3 [/math] вершин содержит цикл [math] S_k [/math] длины [math] k, (k \lt n)[/math], то он содержит и цикл длины [math] k + 1 [/math].
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] S_k = (v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1) [/math].

Пусть [math] v_0 : v_0 \notin S_k [/math] и верно, что [math] \exists u, w \in S_k [/math]:

  • [math] (v_0, u) \in ET [/math],
  • [math] (w, v_0) \in ET [/math].

Рассмотрим два случая:

  1. существует такая вершина [math] v_0 [/math],
  2. не существует такой вершины [math] v_0 [/math].

Заметим, что при [math] k = n - 1 [/math] такая вершина необходимо существует, так как иначе вершина, не входящая в цикл, будет являться либо стоком, либо истоком.

Первый случай:

Перенумеруем вершины [math] S_k [/math] так, чтобы ребро [math] e = (v_1, v_0) \in ET [/math] для вершины [math] v_1 \in S_k [/math]. Пусть [math] v_i [/math] – первая вершина при обходе [math] S_k [/math] из [math] v_1 [/math], для которой ребро [math] f = (v_0, v_i) \in ET [/math].

Redei kamion 7.png

Тогда ребро [math] g = (v_{i - 1}, v_0) \in ET [/math].

Красным цветом выделен искомый цикл длины [math] k + 1 [/math]

Тогда [math] S_{k + 1} = (v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_{i - 1} \rightarrow v_0 \rightarrow v_i \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1) [/math] – искомый цикл длины [math] k + 1 [/math].

Второй случай:

Пусть:

  • [math] V_1 = \{ u \in VT \mid u \notin S_k, e = (u, v_i) \in ET, \forall i = \overline{1, n} \} [/math],
  • [math] V_2 = \{ u \in VT \mid u \notin S_k, f = (v_i, u) \in ET, \forall i = \overline{1, n} \} [/math].

Тогда [math] V_1 \cap V_2 = \emptyset [/math].

Redei kamion 9.png

Турнир сильно связен, следовательно:

  • [math] V_1 \neq \emptyset [/math], иначе [math] T [/math] не будет сильно связным, так как тогда нет простых путей с началом в [math] V_2 [/math] и концом в [math] S_k [/math]
  • [math] V_2 \neq \emptyset [/math], иначе [math] T [/math] не будет сильно связным, так как тогда нет простых путей с началом в [math] S_k [/math] и концом в [math] V_1 [/math]
  • [math] \exists g = (w_2, w_1) \in ET [/math], иначе [math] T [/math] не будет сильно связным, так как тогда нет простых путей с началом в [math] V_2 [/math] и концом в [math] V_1 [/math]):
    • [math] w_1 \in V_1 [/math],
    • [math] w_2 \in V_2 [/math].
Красным цветом выделен цикл длины [math] k + 1 [/math]

Тогда [math] S_{k + 1} = (v_1 \rightarrow w_2 \rightarrow w_1 \rightarrow v_3 \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1) [/math] – искомый цикл длины [math] k + 1 [/math].

В любом случае утверждение верно, q.e.d.
[math]\triangleleft[/math]
Таким образом, любой сильно связанный турнир [math] T [/math] с [math] n \geqslant 3 [/math] вершинами содержит цикл длины [math] n [/math], то есть гамильтонов цикл, q.e.d.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Следствие):
Турнир является сильно связанным тогда и только тогда, когда он имеет гамильтонов цикл.

См. также[править]

Источники информации[править]

  • Асанов М., Баранский В., Расин В.: Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы
  • Ф. Харари: Теория графов