Определения, 1 семестр, Кохась К.П.

* - ТРЕБУЕТ ДОРАБОТКИ

1. Упорядоченная пара - семейство из двух элементов.

2. Декартово произведение множеств X и Y - множество упорядоченных пар (x; y) : x [math] \in [/math] X, y [math] \in [/math] Y.

3. Операции над множествами:

1. [math] A \subset B [/math] (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В ([math] \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B [/math]);
2. [math] A \cap B [/math] (Пересечение множеств А и В: [math] (x \in A) \wedge (x \in B) [/math]);
3. [math] A \cup B [/math] (Объединение множеств А и В: [math] (x \in A) \vee (x \in B) [/math]);
4. [math] B \backslash A [/math] (Разность множеств: [math] (x \in B) \wedge (x \notin A) [/math];
5. [math] \varnothing [/math] — пустое множество:
   • [math] A \cup \varnothing = A [/math]
   • [math] A \cap \varnothing = \varnothing [/math]
   • [math] \forall A: \varnothing \subseteq A [/math]
6. [math] \bigcup\limits_{\alpha\in W} A_\alpha[/math] — объединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:
   • [math] \bigcup\limits_{j \in N} A_j = A_1 \cup A_2 \cup [/math] ...
   • [math] \bigcup\limits_{0 \lt x \lt 1} A_x [/math]
   • [math] \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} [/math], и так далее..
7. [math] A \cup B \cup C ... \subseteq U [/math] — «множество всего», «универсальное множество».
8. [math]\overline{A} = U [/math] \ [math] A [/math] — дополнение множества А, дополнительное множество к А до U;

4*. Пополненное множество вещественных чисел, операции и порядок в нем. Множество пополнено элементами [math] +\infty [/math] и [math] -\infty [/math]. Причем для [math] \forall a \in \mathbb R [/math] выполняется неравенство [math] -\infty \lt a \lt +\infty [/math]. Операции допишите или придумайте на экзамене

5*. Подмножество в [math] \mathbb R [/math], ограниченное сверху.

6. Элемент [math] a \in A [/math] называется максимальным элементом множества, если [math] \forall b \in A : b \le a [/math].

7. Последовательность

Определение:

Последовательность — функция натурального аргумента: [math] f: \mathbb N \rightarrow \mathbb R [/math] [math] f(n) [/math] — значения [math] f [/math], [math] f(n) = a_n [/math] [math] f(N) [/math] — множество значений [math] f [/math]

[math] c_n = a_n + b_n [/math] — сумма последовательностей.

[math] c_n = a_n \cdot b_n [/math] — произведение последовательностей.

В общем, арифметические действия с последовательностями совершаются над элементами с одинаковыми номерами.

8. Образ множества [math] A [/math] под действием отображения [math] f [/math] - множество всех f(x), где [math] x \in A [/math]. Прообраз множества [math] B [/math] относительно отображения [math] f [/math] : [math] f^{-1}(B) = [/math] { [math] x \in X, f(x) \in B [/math] }

9. Инъекция, сюръекция, биекция Инъективное отображение — переводит разные элементы A в разные элементы B:

[math] \forall a_1, a_2 \in A: a_1\ne a_2 \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2) [/math]

Сюръективное отображение(на множестве B) — каждый элемент множества B является образом хотя бы одного элемента множества A:

[math] \forall b \in B: \exists a : b = f(a) [/math]

Биективное отображение — инъекция + сюръекция — взаимно однозначное соответствие, обладает двумя предыдущими свойствами.

10. Целая часть числа y - наименьшее число [math] x \in \mathbb Z : x \le y [/math]

11. Законы де Моргана

Теорема (де Моргана):

[math]\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\ \overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha} [/math]

12. Векторозначная функция - функция, областью значений которой является не числовое множество, а что-нибудь посложнее. (например, [math] \mathbb R ^{n} [/math]) (c) ИМ

13*. Координатная функция

14. Графиком функции f называется множество [math] G = [/math] { [math] (x, y) : x \in X, y \in f(x) [/math] } (В оригинале Г c индексом f)

15. Композиция отображений [math] (f \circ g)(x) = f(g(x)) [/math]

16*. Сужение и продолжение отображений.

17*. Предел последовательности (эпсилон-дельта определение)

18. Предел последовательности (определение на языке окрестностей)

Определение:

Число [math] a \in \mathbb R [/math] называется пределом последовательности [math] a_n [/math], если: [math] \forall \varepsilon \gt 0, \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n \gt n_0: |a_n - a| \lt \varepsilon [/math] Записывают: [math] a = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n [/math]

19. Пусть [math]X[/math] — абстрактное множество.

[math] X \times X = \{ (x_1, x_2): x_i \in X \} [/math] — прямое произведение множества [math]X[/math] на себя

Определение:

Отображение [math] \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} [/math] — называется метрикой на [math]X[/math], если выполняются аксиомы [math] \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y [/math] [math] \rho (x, y) = \rho (y, x) [/math] [math] \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) [/math] — неравенство треугольника

Если на [math]X[/math] определена метрика, то пара [math](X, \rho)[/math] называется метрическим пространством, аббревиатура — МП. Подпространство?

20*. Окрестность точки, проколотая окрестность, окрестности в R с чертой.

Определение:

Пусть [math] (X, \rho) [/math] — метрическое пространство, пусть [math]\ \ r \in \mathbb{R},\ r \gt 0,\ a \in X [/math], тогда открытый шар радиуса [math]\ r\ [/math] в точке [math]\ a\ [/math] — это множество [math] B(a, r) = \{x \in X| \rho(x, a) \lt r \} [/math]

[math] \varepsilon [/math] - окрестность точки [math] x = B(x, \varepsilon) [/math]. Проколотая [math] \varepsilon [/math] - окрестность точки [math] x [/math] не включает в себя точку [math] x [/math].

21. Векторное пространство Множество X называется векторным пространством над полем [math] \mathbb R [/math], если введены 2 операции:

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества [math]\mathbf{x}, \mathbf{y} \in L[/math] ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый [math] \mathbf{x} + \mathbf{y} \in L[/math] и
2. умножения на скаляр (то есть элемент поля [math]P[/math]), то есть любому элементу [math]\lambda \in P[/math] и любому элементу [math]\mathbf{x} \in L[/math] ставится в соответствие единственный элемент из [math]L \left( P \right) [/math], обозначаемый [math] \lambda\mathbf{x}\in L(P) [/math].

При этом на операции накладываются следующие условия:

1. [math]\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}[/math], для любых [math]\mathbf{x}, \mathbf{y}\in L[/math] (коммутативность сложения);
2. [math]\mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}[/math], для любых [math]\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in L[/math] (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент [math]\theta \in L[/math], что [math]\mathbf{x} + \theta = \mathbf{x}[/math] для любого [math]\mathbf{x} \in L[/math] (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности [math]L[/math] не пусто;
4. для любого [math]\mathbf{x} \in L[/math] существует такой элемент [math]-\mathbf{x} \in L[/math], что [math]\mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \theta[/math] (существование противоположного элемента относительно сложения).
5. [math]\alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x}[/math] (ассоциативность умножения на скаляр);
6. [math]1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}[/math] (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
7. [math](\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x}[/math] (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
8. [math]\alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}[/math](дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества [math]L[/math] называют векторами, а элементы поля [math]P[/math] — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

22. Норма в векторном пространстве [math]V\ [/math] над полем вещественных или комплексных чисел — это отображение [math]p\colon V \to \mathbb{R+}[/math], обладающее следующими свойствами:

1. [math]\forall x \in V, p(x)\geqslant 0;[/math]
2. [math]p(x)=0 \Rightarrow x=0_V;[/math]
3. [math]\forall x,y \in V, p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)[/math] (неравенство треугольника);
4. [math]\forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall x \in V, p(\alpha\, x)=|\alpha|p(x).[/math]

Эти условия являются аксиомами нормы.

23. Скалярным произведением в векторном пространстве [math]\mathbb L[/math] над полем [math]\mathbb C[/math] называется функция [math]\langle x, y \rangle[/math] для элементов [math]x, y \in \mathbb L[/math], принимающая значения в [math] \mathbb C [/math], определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

1. для любых трех элементов [math] ~x_1, x_2 [/math] и [math] ~y [/math] пространства [math] \mathbb L[/math] и любых чисел [math] ~\alpha , \beta [/math] справедливо равенство [math] \langle \alpha x_1+\beta x_2,y \rangle = \alpha \langle x_1,y \rangle + \beta \langle x_2,y \rangle[/math] (линейность скалярного произведения по первому аргументу);
2. для любых [math] ~x [/math] и [math] ~y [/math] справедливо равенство [math] \langle y,x \rangle = \overline{\langle x,y \rangle}[/math], где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);
3. для любого [math] ~x [/math] имеем [math]\langle x,x \rangle \ge 0 [/math], причем [math]\langle x,x \rangle =0 [/math] только при [math] ~x=0 [/math] (положительная определенность скалярного произведения).

Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.

24. Последовательность [math] x_n [/math] сходится к бесконечности [math] (x_n \to +\infty) [/math], если [math] \forall E \gt 0, \exists N, \forall n \gt N : x_n \gt E [/math]

25.Верхняя, нижняя границы; супремум, инфимум

Определение:

Если [math] A \subset \mathbb R, \, \exists b \in \mathbb R : A \le b [/math], то A называется ограниченным сверху множеством. [math] b [/math] называется верхней границей множества А. Если [math] A \subset \mathbb R, \, \exists c \in \mathbb R : A \ge c [/math], то A называется ограниченным снизу множеством. [math] c [/math] называется нижней границей множества А. Если [math] A \subset \mathbb R, \, \exists b, c \in \mathbb R : c \le A \le b [/math], то A называется ограниченным множеством.

Определение:

Если [math] A [/math] — ограничено сверху, то наимешьшая из его верхних границ называется верхней гранью. [math] b = \sup A[/math] ("супремум")

Определение:

Если [math] A [/math] — ограничено снизу, то наибольшая из его нижних границ называется нижней гранью. [math] b = \inf A[/math] ("инфимум")

26. Функция f ограниченна сверху на E, если [math] \exists C : \forall x \in E, f(x) \le C [/math]

27. Функция f строго возрастает на E, если [math] \forall x_1, x_2 \in E, x_1 \lt x_2 : f(x_1) \lt f(x_2) [/math] Функция f нестрого возрастает на E, если [math] \forall x_1, x_2 \in E, x_1 \lt x_2 : f(x_1) \le f(x_2) [/math] Монотонна = нестрого возрастает или убывает

28. [math] a \in D [/math]. a - внутренняя точка D, если [math] \exists r : B(a, r) \subset D. [/math] D - открытое множество, если все его точки внутренние IntD - внутренность множества D - множество всех внутренних точек множества D.

29. a - предельная точка множества D, если [math] \forall U(a) : [/math][math]\dot{U}[/math][math](a)[/math] [math]\cap[/math] [math] D \neq [/math] [math]\varnothing[/math]

30. Множество D замкнуто, если содержит все свои предельные точки Замыкание множества D - (?) функция, возвращающая наименьшее по включению замкнутое множество, содержащее D. a - граничная точка множества D, если в любой эпсилон-окрестности точки a есть точки как принадлежащие D, так и не принадлежащие. Граница D - множество всех граничных точек множества D.

31. [math] Y_n = sup(x_n, x_{n+1}, x_{n+2}, ...) [/math] - верхняя огибающая

[math] Z_n = inf(x_n, x_{n+1}, x_{n+2}, ...) [/math] - нижняя огибающая

Верхним пределом [math] X_n [/math] называют предел [math] Y_n [/math].

Нижним пределом [math] X_n [/math] называют предел [math] Z_n [/math].

32. [math]l[/math] - частичный предел [math] X_n [/math], если [math] \exists n_k : \lim\limits_{k \rightarrow \infty} X_{nk} = l[/math] [math](n_k в конце) [/math]

33. [math] (x, p^{x}) [/math] - МП, [math] (y, p^{y}) [/math] - другое МП, [math] D \subset X [/math], a - предельные точки D.

[math] f: D \to Y [/math]

[math] \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = L [/math]

1. Определение по Коши: [math] \forall \varepsilon \gt 0 \exists \varsigma \gt 0 : \forall x (x \in D, x \neq a, p(x, a) \lt \varsigma) p^y(f(x), L) \lt \varepsilon [/math]
2. На языке окрестностей: [math] \forall U(L) \exists V(a) : f([/math][math]\dot{V}[/math][math](a)[/math][math]\cap[/math][math]D) \subset U(L) [/math]
3. по Гейне: [math] \forall X_n (\forall n (X_n \in D, X_n \neq a), X_n \to a (n \to +\infty)) : f(X_n) \to L (x \to +\infty) [/math]

34. [math] \left.\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) \right|_{D_1} [/math] называется пределом f(x) при [math] x \to a [/math] по множеству [math] D_1 [/math]

35. [math] \left.\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) \right|_{D \cap (a; +\infty)} [/math] называется пределом справа

[math] \left.\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) \right|_{D \cap (-\infty; a)} [/math] называется пределом слева

36

Определение:

Семейство множеств [math] \{ G_{\alpha} \} _{\alpha \in A} [/math] называется покрытием множества [math] K [/math], если [math] K \subset \underset{\alpha \in A}{\bigcup} G_{\alpha} [/math].

Определение:

Пусть [math] \left ( X, \rho \right ) [/math] — метрическое пространство, [math] K \in X [/math]. Покрытие [math] \{ G_{\alpha} \} _{\alpha \in A} [/math] множества [math] K [/math] называется компактным, если из любого открытого покрытия [math] K [/math] можно извлечь конечное подпокрытие

37. Последовательность точек [math]\{x_n\}_{n=1}^\infty[/math] метрического пространства [math](X, \rho)[/math] называется фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши:

для любого [math]\varepsilon \gt 0[/math] существует такое натуральное [math]N_\varepsilon[/math], что [math]\rho(x_{n}, x_{m}) \lt \varepsilon\ [/math] для всех [math] n, m \gt N_\varepsilon[/math].

38. Метрическое пространство (X, p) называется полным, если любая фундаментальная последовательность из X сходится.

39. Отображение [math]f[/math] называется непрерывным в данной точке [math]x[/math], если для любой окрестности [math]O_{f(x)}[/math] найдется окрестность [math]O_{x}[/math], такая что [math]f(O_{x})\subset O_{f(x)}[/math] самой точки.

40*. Непрерывность слева

41. Числовая функция вещественного переменного [math]f:M \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/math] равномерно непрерывна, если

[math]\forall \varepsilon \gt 0 \; \exists \delta = \delta(\varepsilon)\gt 0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| \lt \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( |f(x_1)-f(x_2)| \lt \varepsilon\bigr).[/math]

Здесь важно, что выбор [math]\delta[/math] зависит только от величины [math]\varepsilon[/math].

42. Степенна́я фу́нкция — функция [math]y=x^a[/math], где [math]a[/math] показатель степени — некоторое вещественное числo. К степенным часто относят и функцию вида [math]y=kx^a[/math], где k — некоторый масштабный множитель.

43. Показательная функция — математическая функция [math]f(x) = a^x\,\![/math], где [math]a[/math] называется «основанием», а [math]x[/math] — «показателем» степени.

44. Логари́фм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. Обозначение: [math]\log_a b\,[/math]. Из определения следует, что записи [math]\log_a b = x\,[/math] и [math]a^x=b\,\![/math] равносильны.

45-46. Пусть [math]f(x)[/math] и [math]g(x)[/math] — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки [math]x_0[/math], причем в этой окрестности [math]g[/math] не обращается в ноль. Говорят, что:

• [math]f[/math] является «O» большим от [math]g[/math] при [math]x\to x_0[/math], если существует такая константа [math]C\gt 0[/math], что для всех [math]x[/math] из некоторой окрестности точки [math]x_0[/math] имеет место неравенство

  [math]|f(x)| \leqslant C |g(x)|[/math];

• [math]f[/math] является «о» малым от [math]g[/math] при [math]x\to x_0[/math], если для любого [math]\varepsilon\gt 0[/math] найдется такая проколотая окрестность [math]U_{x_0}'[/math] точки [math]x_0[/math], что для всех [math]x\in U_{x_0}'[/math] имеет место неравенство

  [math]|f(x)| \leqslant \varepsilon |g(x)|.[/math]

Иначе говоря, в первом случае отношение [math]|f|/|g|[/math] в окрестности точки [math]x_0[/math] ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при [math]x\to x_0[/math].

47. Функции f и g называются эквивалентными, если f - g = o(g), т.е. если [math] \forall \varepsilon \gt 0 \exists Z \in B [/math] такое, что [math] \forall x \in Z [/math] \{ [math] x_0 [/math] } выполняется неравенство |[math] f(x) - g(x) [/math]| < [math] \varepsilon [/math] |[math] g(x) [/math]|

48*. Асимптотически равные функции

49. Пусть функции [math]\varphi_{n}[/math] удовлетворяют свойству: [math]\varphi_{n+1}(x) = o(\varphi_n(x)) \ (x \rightarrow L) \quad \forall n \in \N[/math] для некоторой предельной точки [math]L[/math] области определения функции f(x). Последовательность функций [math]\varphi_{n}[/math], удовлетворяющая указанным условиям, называется асимптотической последовательностью. Ряд: [math]\sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_{n}(x)[/math], для которого выполняются условия :[math]f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = O(\varphi_{N}(x)) \ (x \rightarrow L)[/math]

или эквивалентно:

[math]f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = o(\varphi_{N-1}(x)) \ (x \rightarrow L).[/math]

называется асимптотическим разложением функции f (x) или её асимптотическим рядом. Этот факт отражается:

[math] f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_n(x) \ (x \rightarrow L).[/math]

50. Наклонная асимптота — прямая вида [math]~y=kx+b[/math] при условии существования пределов

1. [math]\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k[/math]
2. [math]\lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b[/math]

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!

Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен [math]\infty[/math]), то наклонной асимптоты при [math]x \to + \infty[/math](или [math]x \to - \infty[/math]) не существует!

51. Функция

[math]f\colon M\subset \R^n \mapsto \R[/math]

называется дифференцируемой в точке [math]x_0[/math] своей области определения [math]M[/math], если существует такая линейная функция

[math]l\colon \R^n \mapsto \R[/math],

что для любой точки [math]x[/math] области [math]M[/math] верно

[math]f(x)-f(x_0)=l(x)+o(\|x-x_0\|)[/math],

то есть, раскрывая символ «o» малое, если

[math]\lim \limits_{x\to x_0} \frac{|f(x)-f(x_0)-l(x)|}{\|x-x_0\|} =0[/math].

Множество всех функций, определённых и дифференцируемых во всех точках области [math]M[/math] является кольцом.

52. Пусть в некоторой окрестности точки [math]x_0 \in \R[/math] определена функция [math]f\colon U(x_0) \subset \R \to \R.[/math] Производной функции называется такое число [math]~A[/math], что функцию в окрестности [math] U(x_0) [/math] можно представить в виде

[math]f(x_0+h)=f(x_0)+Ah+o(h)[/math]

если [math]~A[/math] существует.

Определение через пределы:

Пусть в некоторой окрестности точки [math]x_0 \in \R[/math] определена функция [math]f\colon U(x_0) \subset \R \to \R.[/math] Производной функции [math]f[/math] в точке [math]x_0[/math] называется предел, если он существует,

[math]f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.[/math]

Обозначения:

[math]f'(x_0) = f'_x(x_0)=\mathrm{D}\!f(x_0) = \frac{df}{dx}(x_0) = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0).[/math]

53. Для функции [math] \,f(x)[/math], заданной на отрезке [math][a,\, b][/math], каждое из выражений

[math]\,D^\alpha_{a+} \, f(x)= \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \frac {d}{dx} \int \limits_a^x \frac{f(t)\, dt}{(x-t)^\alpha}, \quad \,D^\alpha_{b-} \, f(x)= - \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \frac {d}{dx} \int \limits_x^b \frac{f(t)\, dt}{(t-x)^\alpha},[/math]

называется дробной производной порядка [math]\, \alpha[/math], [math]\, 0 \lt \alpha \lt 1[/math], соответственно левосторонней и правосторонней. Дробные производные в приведенном виде называют обычно производными Римана — Лиувилля.

54*. Производная n-го порядка

55. Пусть функция [math]f(x)[/math] бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки [math]{a}[/math]. Формальный ряд

[math]\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k[/math]

называется рядом Тейлора функции [math]f[/math] в точке [math]a[/math].