Алгоритм Апостолико-Крочемора — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Описание алгоритма)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 9 промежуточных версий 3 участников)
Строка 17: Строка 17:
  
 
[[Файл:Apostolico-Crochemore-Shifts.png]]
 
[[Файл:Apostolico-Crochemore-Shifts.png]]
<tex>v</tex> {{---}} помеченный бордер строки <tex>u</tex>.
 
  
 +
Примечание: <tex>v</tex> {{---}} помеченный бордер строки <tex>u</tex>.
 +
 +
 +
Пусть теперь <tex>l = 0</tex>, если <tex>x = c ^ m</tex> и <tex>c \in \Sigma</tex>, иначе <tex>l</tex> равно позиции первого элемента, который не равен <tex>x[0]</tex> (<tex>x = a ^ l bu</tex>, где <tex>a \in \Sigma</tex>, <tex>b \in \Sigma</tex>, <tex>a \neq b</tex>, <tex>u \in \Sigma^*</tex>). При каждой подстановке шаблона к тексту к позиции <tex>i</tex> мы проводим следующие сравнения: <tex>x[l] = y[i + l], x[l + 1] = y[i + l + 1], \ldots , x[m - 2] = y[i + m - 2], x[m - 1] = y[i + m - 1],</tex><tex> x[0] = y[i], x[1] = y [i + 1], \ldots , x[l - 1] = y[i + l - 1]</tex>.
  
Пусть теперь <tex>l = 0</tex>, если <tex>x = c ^ m</tex> и <tex>c \in \Sigma</tex>, иначе <tex>l</tex> равно позиции первого элемента, который не равен <tex>x[0]</tex> (<tex>x = a ^ l bu</tex>, где <tex>a</tex> и <tex>b \in \Sigma</tex>, а <tex>u \in \Sigma^*</tex> и <tex>a \neq b</tex>). На каждой итерации алгоритма мы выполняем сравнения с шаблоном в следующем порядке: <tex>l, l + 1, \ldots , m - 2, m - 1, 0, 1, \ldots , l - 1</tex>.
 
  
 
Во время поиска вхождений мы рассматриваем данную тройку <tex>(i, j, k)</tex> где:
 
Во время поиска вхождений мы рассматриваем данную тройку <tex>(i, j, k)</tex> где:
Строка 26: Строка 28:
 
* <tex>0 \leqslant k \leqslant l</tex> и <tex>x[0, \ldots, k - 1] = y[j, \ldots , j + k - 1]</tex>
 
* <tex>0 \leqslant k \leqslant l</tex> и <tex>x[0, \ldots, k - 1] = y[j, \ldots , j + k - 1]</tex>
 
* <tex>l \leqslant i < m</tex> и <tex>x[l, \ldots, i - 1] = y[j + l, \ldots , i + j - 1]</tex>
 
* <tex>l \leqslant i < m</tex> и <tex>x[l, \ldots, i - 1] = y[j + l, \ldots , i + j - 1]</tex>
 +
(см. рисунок ниже)
 +
 
Вначале инициализируем эту тройку <tex>(l, 0, 0)</tex>.
 
Вначале инициализируем эту тройку <tex>(l, 0, 0)</tex>.
 
Теперь опишем, как по уже вычисленной тройке <tex>(i, j, k)</tex> перейти к следующей.
 
Теперь опишем, как по уже вычисленной тройке <tex>(i, j, k)</tex> перейти к следующей.
Строка 54: Строка 58:
 
       i++
 
       i++
 
       j++
 
       j++
       '''if''' x[i] == x[j]
+
       '''if''' i < m '''and''' x[i] == x[j]
 
           t[i] = t[j]
 
           t[i] = t[j]
 
       '''else'''
 
       '''else'''
Строка 61: Строка 65:
 
  '''vector''' aG('''string''' x, '''string''' y): <font color=green>//<tex>x</tex> {{---}} образец, <tex>y</tex> {{---}} текст</font>
 
  '''vector''' aG('''string''' x, '''string''' y): <font color=green>//<tex>x</tex> {{---}} образец, <tex>y</tex> {{---}} текст</font>
 
     '''int''' l
 
     '''int''' l
     '''int''' t[x.size]
+
     '''int''' t[x.size + 1]
 
     '''vector''' v
 
     '''vector''' v
 
   
 
   
Строка 76: Строка 80:
 
     '''int''' k = 0
 
     '''int''' k = 0
 
     '''while''' j <tex>\leqslant</tex> y.size - x.size  
 
     '''while''' j <tex>\leqslant</tex> y.size - x.size  
       '''while''' i < x.size '''and''' x[i] == y[i + j]
+
       '''while''' i < x.size '''and''' x[i] == y[i + j] <font color=green>// если <tex>x[i] = y[i + j]</tex></font>
           ++i
+
           ++i                                 <font color=green>// тогда следующая тройка <tex>(i + 1, j, k)</tex></font>
 
       '''if''' i <tex>\geqslant</tex> x.size  
 
       '''if''' i <tex>\geqslant</tex> x.size  
           '''while''' k < l '''and''' x[k] == y[j + k]
+
           '''while''' k < l '''and''' x[k] == y[j + k] <font color=green>// если <tex>k < l</tex> и <tex>x[k] = y[j + k]</tex></font>
             ++k
+
             ++k                           <font color=green>// тогда следующая тройка <tex>(i, j, k + 1)</tex></font>
           '''if''' k <tex>\geqslant</tex> l
+
           '''if''' k <tex>\geqslant</tex> l           <font color=green>// если <tex>k = l</tex></font>
             v.pushBack(j) <font color=green>// найдена подстрока в позиции j</font>
+
             v.pushBack(j)   <font color=green>// тогда найдена подстрока в позиции j</font>
       j += i - t[i] <font color=green>// вычисляем новый сдвиг</font>
+
       j += i - t[i]         <font color=green>// вычисляем новый сдвиг</font>
 
       '''if''' i == l
 
       '''if''' i == l
           k = max(0, k - 1)
+
           k = max(0, k - 1) <font color=green>// если <tex>i = l</tex> и <tex>x[i] \neq y[i + j]</tex>, тогда следующая тройка <tex>(l, j + 1, \max(0, k - 1))</tex></font>
       '''else'''
+
       '''else if''' t[i] <tex>\leqslant</tex> l     <font color=green>// если <tex>t[i] \leqslant l</tex>, тогда следующая тройка <tex>(l, i + j - t[i], \max(0, t[i]))</tex></font>
          '''if''' t[i] <tex>\leqslant</tex> l  
+
          k = max(0, t[i])
            k = max(0, t[i])
+
          i = l
            i = l
+
      '''else'''             <font color=green>// если <tex>t[i] > l</tex>, тогда следующая тройка <tex>(t[i], i + j - t[i], l)</tex></font>
          '''else'''  
+
          k = l
            k = l
+
          i = t[i]
            i = t[i]
 
 
     '''return''' v
 
     '''return''' v
  
Строка 101: Строка 104:
 
|[[Файл:Apostolico-Crochemore-step-1.png|500px]]
 
|[[Файл:Apostolico-Crochemore-step-1.png|500px]]
 
|<tex>(1, 0, 0)</tex>
 
|<tex>(1, 0, 0)</tex>
|step 1
+
|Подставив шаблон к позиции <tex>0</tex> получим, что <tex>x[1] \neq y[1]</tex>. Вычислив сдвиг, получим <tex>j = 1</tex>.
 
|-align="center"
 
|-align="center"
 
|[[Файл:Apostolico-Crochemore-step-2.png|500px]]
 
|[[Файл:Apostolico-Crochemore-step-2.png|500px]]
 
|<tex>(1, 1, 0)</tex>
 
|<tex>(1, 1, 0)</tex>
|step 2
+
|Подставив шаблон к позиции <tex>1</tex> получим, что <tex>x[0, \ldots , 3] = y[1, \ldots , 4]</tex>. Следовательно, <tex>x</tex> подстрока <tex>y</tex> в позиции <tex>1</tex>. Вычислив сдвиг, получим <tex>j = 4</tex>.
 
|-align="center"
 
|-align="center"
 
|[[Файл:Apostolico-Crochemore-step-3.png|500px]]
 
|[[Файл:Apostolico-Crochemore-step-3.png|500px]]
 
|<tex>(1, 4, 1)</tex>
 
|<tex>(1, 4, 1)</tex>
|step 3
+
|Подставив шаблон к позиции <tex>4</tex> получим, что <tex>x[1] \neq y[5]</tex>. Вычислив сдвиг, получим <tex>j = 5</tex>.
 
|-align="center"
 
|-align="center"
 
|[[Файл:Apostolico-Crochemore-step-4.png|500px]]
 
|[[Файл:Apostolico-Crochemore-step-4.png|500px]]
 
|<tex>(1, 5, 0)</tex>
 
|<tex>(1, 5, 0)</tex>
|step 4
+
|Подставив шаблон к позиции <tex>5</tex> получим, что <tex>x[1] \neq y[6]</tex>. Вычислив сдвиг, получим <tex>j = 6</tex>.
 
|-align="center"
 
|-align="center"
 
|[[Файл:Apostolico-Crochemore-step-5.png|500px]]
 
|[[Файл:Apostolico-Crochemore-step-5.png|500px]]
 
|<tex>(1, 6, 0)</tex>
 
|<tex>(1, 6, 0)</tex>
|step 5
+
|Подставив шаблон к позиции <tex>6</tex> получим, что <tex>x[1] \neq y[7]</tex>. Вычислив сдвиг, получим <tex>j = 7</tex>.
 
|-align="center"
 
|-align="center"
 
|[[Файл:Apostolico-Crochemore-step-6.png|500px]]
 
|[[Файл:Apostolico-Crochemore-step-6.png|500px]]
 
|<tex>(1, 7, 0)</tex>
 
|<tex>(1, 7, 0)</tex>
|step 6
+
|Подставив шаблон к позиции <tex>7</tex> получим, что <tex>x[1] \neq y[8]</tex>. Вычислив сдвиг, получим <tex>j = 8</tex>.
 
|-align="center"
 
|-align="center"
 
|[[Файл:Apostolico-Crochemore-step-7.png|500px]]
 
|[[Файл:Apostolico-Crochemore-step-7.png|500px]]
 
|<tex>(1, 8, 0)</tex>
 
|<tex>(1, 8, 0)</tex>
|step 7
+
|Подставив шаблон к позиции <tex>8</tex> получим, что <tex>x[0, \ldots , 3] = y[8, \ldots , 11]</tex>. Следовательно, <tex>x</tex> подстрока <tex>y</tex> в позиции <tex>8</tex>.
 
|-
 
|-
 
|}
 
|}

Текущая версия на 19:15, 4 сентября 2022

Алгоритм Апостолико — Крочемора (англ. Apostolico — Crochemore algorithm) — алгоритм поиска подстроки в строке.

Описание алгоритма

Нам даны: [math]y[/math] — текст, [math]x[/math] — образец, [math]m = |x|[/math], [math]n = |y|[/math].

Для начала рассмотрим ситуацию, когда мы сравниваем наш образец с [math]y[j \ldots j + m - 1][/math]. Предположим, что [math]x[i] \neq y[i + j][/math] при [math]0 \lt i \lt m[/math]. Тогда [math]x[0 \ldots i - 1] = y[j \ldots i + j - 1] = u[/math] и [math]a = x[i] \neq y[i + j] = b[/math]. Когда сдвиг возможен, разумно ожидать, что префикс [math]v[/math] шаблона совпадет c некоторым суффиксом [math]u[/math]. Более того, если мы хотим избежать несовпадения при сдвиге, то нужно, чтобы символ, следующий за префиксом [math]v[/math] в шаблоне, не совпадал с [math]a[/math]. Такой наибольший префикс [math]v[/math] называется помеченным бордером строки [math]u[/math].


Определение:
Помеченный бордер (англ. tagged border) строки [math]\beta[/math] — строка [math]\alpha : \forall i = 1 \ldots n - 1, \alpha[i] = \beta[i + (m - n)], \alpha[n] \neq \beta[m], n = |\alpha|, m = |\beta|[/math].


Введем обозначение: пусть [math]t[i][/math] — длина наибольшего бордера для [math]x[0 .. i - 1][/math] за которым следует символ [math]c \neq x[i][/math] и [math]-1[/math] если нет такого помеченного бордера, где [math]0 \lt i \leqslant m[/math] ([math]t[0] = -1[/math]). Затем, после сдвига, сравнение можно продолжить между символами [math]x[t[i]][/math] и [math]y[i + j][/math] не потеряв никакого вхождения [math]x[/math] в [math]y[/math] и избежав отступа по тексту (смотри рисунок ниже).


Apostolico-Crochemore-Shifts.png

Примечание: [math]v[/math] — помеченный бордер строки [math]u[/math].


Пусть теперь [math]l = 0[/math], если [math]x = c ^ m[/math] и [math]c \in \Sigma[/math], иначе [math]l[/math] равно позиции первого элемента, который не равен [math]x[0][/math] ([math]x = a ^ l bu[/math], где [math]a \in \Sigma[/math], [math]b \in \Sigma[/math], [math]a \neq b[/math], [math]u \in \Sigma^*[/math]). При каждой подстановке шаблона к тексту к позиции [math]i[/math] мы проводим следующие сравнения: [math]x[l] = y[i + l], x[l + 1] = y[i + l + 1], \ldots , x[m - 2] = y[i + m - 2], x[m - 1] = y[i + m - 1],[/math][math] x[0] = y[i], x[1] = y [i + 1], \ldots , x[l - 1] = y[i + l - 1][/math].


Во время поиска вхождений мы рассматриваем данную тройку [math](i, j, k)[/math] где:

  • шаблон сравнивается с [math]y[j, \ldots , j + m - 1][/math]
  • [math]0 \leqslant k \leqslant l[/math] и [math]x[0, \ldots, k - 1] = y[j, \ldots , j + k - 1][/math]
  • [math]l \leqslant i \lt m[/math] и [math]x[l, \ldots, i - 1] = y[j + l, \ldots , i + j - 1][/math]

(см. рисунок ниже)

Вначале инициализируем эту тройку [math](l, 0, 0)[/math]. Теперь опишем, как по уже вычисленной тройке [math](i, j, k)[/math] перейти к следующей. Возможны три случая в зависимости от значения [math]i[/math]:

  1. [math]i = l[/math]:
    Если [math]x[i] = y[i + j][/math], тогда следующая тройка [math](i + 1, j, k)[/math].
    Если [math]x[i] \neq y[i + j][/math], тогда следующая тройка [math](l, j + 1, \max(0, k - 1))[/math].
  2. [math]l \lt i \lt m [/math]
    Если [math]x[i] = y[i + j][/math], тогда следующая тройка [math](i + 1, j, k)[/math].
    Если [math]x[i] \neq y[i + j][/math], тогда возможны два случая в зависимости от значения [math]t[i][/math]:
    • Если [math]t[i] \leqslant l[/math], тогда следующая тройка [math](l, i + j - t[i], \max(0, t[i]))[/math].
    • Если [math]t[i] \gt l[/math], тогда следующая тройка [math](t[i], i + j - t[i], l)[/math].
  3. [math]i = m[/math]:
    Если [math] k \lt l [/math] и [math]x[k] = y[j + k][/math], тогда следующая тройка [math](i, j, k + 1)[/math].
    Иначе либо [math]k \lt l[/math] и [math]x[k] \ne y[l + k][/math], либо [math]k = l[/math]. Если [math]k = l[/math], то вхождение [math]x[/math] в [math]y[/math] найдено. В обоих случаях следующая тройка вычисляется, как в случае [math]l \lt i \lt m [/math].


Apostolico-Crochemore-Example.png

Псевдокод

void getT(string x, int t[]): //функция, вычисляющая массив [math]t[/math] для строки [math]x[/math]
   int i = 0
   int j = t[0] = -1
   while i < x.size 
      while j > -1 and x[i] [math]\neq[/math] x[j]
         j = t[j]
      i++
      j++
      if i < m and x[i] == x[j]
         t[i] = t[j]
      else
         t[i] = j
   
vector aG(string x, string y): //[math]x[/math] — образец, [math]y[/math] — текст
   int l
   int t[x.size + 1]
   vector v

   //этап предпосчета
   getT(x, t)
   //вычисление значения [math]l[/math] 
   for l = 1; x[l - 1] == x[l]; l++
   if l == x.size
      l = 0

   //этап поиска
   int i = l
   int j = 0
   int k = 0
   while j [math]\leqslant[/math] y.size - x.size 
      while i < x.size and x[i] == y[i + j]  // если [math]x[i] = y[i + j][/math]
         ++i                                 // тогда следующая тройка [math](i + 1, j, k)[/math] 
      if i [math]\geqslant[/math] x.size 
         while k < l and x[k] == y[j + k] // если [math]k \lt  l[/math] и [math]x[k] = y[j + k][/math]
            ++k                           // тогда следующая тройка [math](i, j, k + 1)[/math] 
         if k [math]\geqslant[/math] l           // если [math]k = l[/math] 
            v.pushBack(j)   // тогда найдена подстрока в позиции j
      j += i - t[i]         // вычисляем новый сдвиг
      if i == l
         k = max(0, k - 1) // если [math]i = l[/math] и [math]x[i] \neq y[i + j][/math], тогда следующая тройка [math](l, j + 1, \max(0, k - 1))[/math]
      else if t[i] [math]\leqslant[/math] l      // если [math]t[i] \leqslant l[/math], тогда следующая тройка [math](l, i + j - t[i], \max(0, t[i]))[/math]
         k = max(0, t[i])
         i = l
      else              // если [math]t[i] \gt  l[/math], тогда следующая тройка [math](t[i], i + j - t[i], l)[/math]
         k = l
         i = t[i]
   return v

Пример

Изображение [math](i, j, k)[/math] Описание
Apostolico-Crochemore-step-1.png [math](1, 0, 0)[/math] Подставив шаблон к позиции [math]0[/math] получим, что [math]x[1] \neq y[1][/math]. Вычислив сдвиг, получим [math]j = 1[/math].
Apostolico-Crochemore-step-2.png [math](1, 1, 0)[/math] Подставив шаблон к позиции [math]1[/math] получим, что [math]x[0, \ldots , 3] = y[1, \ldots , 4][/math]. Следовательно, [math]x[/math] подстрока [math]y[/math] в позиции [math]1[/math]. Вычислив сдвиг, получим [math]j = 4[/math].
Apostolico-Crochemore-step-3.png [math](1, 4, 1)[/math] Подставив шаблон к позиции [math]4[/math] получим, что [math]x[1] \neq y[5][/math]. Вычислив сдвиг, получим [math]j = 5[/math].
Apostolico-Crochemore-step-4.png [math](1, 5, 0)[/math] Подставив шаблон к позиции [math]5[/math] получим, что [math]x[1] \neq y[6][/math]. Вычислив сдвиг, получим [math]j = 6[/math].
Apostolico-Crochemore-step-5.png [math](1, 6, 0)[/math] Подставив шаблон к позиции [math]6[/math] получим, что [math]x[1] \neq y[7][/math]. Вычислив сдвиг, получим [math]j = 7[/math].
Apostolico-Crochemore-step-6.png [math](1, 7, 0)[/math] Подставив шаблон к позиции [math]7[/math] получим, что [math]x[1] \neq y[8][/math]. Вычислив сдвиг, получим [math]j = 8[/math].
Apostolico-Crochemore-step-7.png [math](1, 8, 0)[/math] Подставив шаблон к позиции [math]8[/math] получим, что [math]x[0, \ldots , 3] = y[8, \ldots , 11][/math]. Следовательно, [math]x[/math] подстрока [math]y[/math] в позиции [math]8[/math].

Асимптотика алгоритма

Этап предподсчета, а именно вычисление массива [math]t[/math] и переменной [math]l[/math] занимает [math]O(m)[/math] времени и константное количество памяти. Этап поиска занимает [math]O(n)[/math] времени, более того, алгоритм в худшем случае выполнит [math]\dfrac{3}{2} n[/math] сравнений.

См. также

Источники информации