Изменения

'''Класс''' <tex>\mathrm{P}</tex> {{---}} класс языков (задач), разрешимых на детерминированной машине Тьюринга за полиномиальное время, то есть:<tex>\mathrm{P } = \bigcup\limits_{p \in poly}DTIME(p(n))</tex><ref>[[Сложностные классы. Вычисления с оракулом]]</ref>.

Итого, язык <tex>L</tex> лежит в классе <tex>\mathrm{P}</tex> тогда и только тогда, когда существует такая детерминированная машина Тьюринга <tex>m</tex>, что:# <tex>m</tex> завершает свою работу за полиномиальное время на любых входных данных ;# если на вход машине <tex>m</tex> подать слово <tex>l \in L</tex>, то она допустит его;# если на вход машине <tex>m</tex> подать слово <tex>l \not\in L</tex>, то она не допустит его. == Устойчивость класса P к изменению модели вычислений ==Машина Тьюринга может симулировать другие модели вычислений (например, языки программирования) с не более чем полиномиальным замедлением. Благодаря этому, класс <tex>\mathrm{P}</tex> на этих моделях не становится шире. Согласно [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D1%81_%D0%A7%D1%91%D1%80%D1%87%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A2%D1%8C%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B0 тезису Чёрча-Тьюринга], любой физически реализуемый алгоритм можно реализовать на машине Тьюринга. Так что класс <tex>\mathrm{P}</tex> устойчив и в обратном преобразовании модели вычислений.

# Замкнутость {{Теорема|statement =Класс <tex>\mathrm{P}</tex> замкнут относительно [[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи|сведения по Карпу]]. <tex> L \in \mathrm{P }, M \le L \Rightarrow M \in \mathrm{P}</tex>.# Замкнутость относительно [[Сведение по Куку|сведения по Куку]]proof =Пусть <tex>p</tex> {{---}} разрешитель <tex>L</tex>, работающий за полиномиальное время. <tex>(M \leq L ) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{\iff} ( \exists f \in \mathrm{\widetilde{P}} : w \in M \Leftrightarrow f(w) \in L ) </tex>.Построим разрешитель <tex>q</tex> для языка <tex>M</tex>. <tex>q(w):</tex> if (<tex>p(f(w))</tex>) return true return falseРазрешитель <tex>q</tex> работает за полиномиальное время, так как композиция полиномов есть полином.}}  {{Теорема|statement =<tex>D \subseteq \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{P}=\mathrm{P}^D</tex>. В частности, из этого следует, что <tex>\mathrm{P}=\mathrm{P^P}</tex>.|proof =Понятно, что <tex>\mathrm{P} \subset \mathrm{P}^D</tex>. Докажем, что <tex>\mathrm{P}^D \subset \mathrm{P}</tex>. <tex>L \in \mathrm{P }^D \Rightarrow \exists A \in D: L \in \mathrm{P}^A</tex>. Пусть <tex>p</tex> {{---}} разрешитель <tex>L</tex>, работающий за полиномиальное время <tex>f(n)</tex> и использующий оракул языка <tex>A</tex>.Пусть <tex>q</tex> {{---}} разрешитель <tex>A</tex>, работающий за полиномиальное время <tex>g(n)</tex>.Представим себе разрешитель <tex>L</tex>, работающий как <tex>p</tex>, но использующий <tex>q</tex> вместо оракула <tex>A</tex>. Его время работы ограничено сверху значением <tex>f(n) + \sum\limits_{i=P1}^{f(n)} g(f(n)) = f(n) + f(n) g(f(n))</tex>, что является полиномом (обращений к <tex>q</tex> максимум <tex>f(n)</tex>; на вход для <tex>q</tex> можем подать максимум <tex>f(n)</tex> данных, так как больше сгенерировать бы не успели). Значит, <tex>L\in \mathrm{P}</tex>.# Замкнутость }}  {{Теорема|statement =Класс <tex>\mathrm{P}</tex> замкнут относительно операций объединения, пересечения, конкатенации, замыкания Клини и дополнения. Если <tex>L_1, L_2 \in \mathrm{P}</tex>, то: <tex>L_1 \cup L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1 \cap L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1 L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1^* \in \mathrm{P}</tex> и <tex>\overline{L_1} \in \mathrm{P}</tex>.#* Рассмотрим доказательство замкнутости |proof =Докажем замкнутость замыкания Клини (остальные . Остальные доказательства строятся аналогично).  Пусть <tex>L_1 \in P</tex>, <tex>p_1p</tex> {{---}} разрешитель <tex>L_1</tex>, работающий за полиномиальное время. Построим разрешитель <tex>q</tex> для языка <tex>L_1^*</tex>.

if (<tex>p_1p(w[j+1 \ldots i])</tex>) {

Худшая оценка времени работы разрешителя <tex>q</tex> равна <tex>n^2 O(p_1p(w))</tex>, так как в множестве <tex>endPoses</tex> может быть максимум <tex>n</tex> элементов, значит итерироваться по множеству можно за <tex>n</tex>, если реализовать его на основе битового массива, например; при этом операция добавления элемента в множество будет работать за <tex>O(1)</tex>. Итого, разрешитель <tex>q</tex> работает за полиномиальное время(так как произведение полиномов есть полином). Значит <tex>L_1^* \in \mathrm{P}</tex>.}} == Примеры задач и языков из P ==Класс задач, разрешимых за полиномиальное время достаточно широк, вот несколько его представителей:* определение связности графов;* вычисление наибольшего общего делителя;* задача линейного программирования;* проверка простоты числа.<ref>[http://www.cse.iitk.ac.in/~manindra/algebra/primality_v6.pdf M.Argawal, N.Kayal, N.Saxena, "Primes is in P"]</ref> Но существуют задачи не из <tex>\mathrm{P}</tex>, так как из [[теорема о временной иерархии|теоремы о временной иерархии]] следует, что <tex>\exists L \in \mathrm{EXP}\setminus\mathrm{P}</tex>. 

Класс [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность|регулярных языков]] входит в класс <tex>\mathrm{P}</tex>, то есть: <tex>\mathrm{Reg } \subset \mathrm{P}</tex>.

<tex>\mathrm{Reg } \subset \mathrm{TS}(n, 1) \subset \mathrm{P}</tex>''Замечание.'' <tex>TS</tex> {{---}} ограничение и по времени и по памяти.

Класс [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободных языков]] входит в класс <tex>\mathrm{P}</tex>, то есть: <tex>\mathrm{CFL } \subset P</tex>.

<tex>\mathrm{CFL } \subset \mathrm{TS}(n^3, n^2) \subset \mathrm{P}</tex>

== Примеры задач и языков из P -полные задачи ==Класс Говоря про <tex>\mathrm{P}</tex>-[[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи#Определения трудных и полных задач|полноту]], мы, разрешимых за полиномиальное время достаточно широккак правило, вот несколько его представителей:* определение связности графов;* вычисление наибольшего общего делителя;* задача линейного программирования;* проверка простоты числаподразумеваем <tex>\mathrm{P}</tex>-полноту относительно <tex>\widetilde{\mathrm{L}}</tex>-сведения.<ref>[http://www.cse.iitk.ac.in/~manindra/algebra/primality_v6.pdf M.Argawal[Классы L, N.KayalNL, NcoNL.Saxena, "Primes is in P"NL-полнота задачи о достижимости]]</ref>

По [[теорема о временной иерархии{{Теорема|теореме о временной иерархии]] существуют и задачи не из statement =<tex>PCIRCVAL</tex>. == Задача равенства P и NP ==Одним из центральных вопросов теории сложности является вопрос о равенстве классов {{---}} <tex>\mathrm{P}</tex> и [[NP]], не разрешенный по сей день-полная задача.  Легко показать, что, по определению <texref>P<[http://www.math.sc.edu/tex>, <tex> P \subset NP<~cooper/tex>, так как для любой задачи класса <tex>P<math778C/tex> существует соответствующая ДМТabct.pdf S.Arora, которая является частным случаем НМТB.Barak, а значит задача, по определению, будет входить в класс <tex>NP"Computational Complexity: A Modern Approach"]</texref>.}}