Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Основные определения[править]

Определение:
Контекстно-свободной грамматикой (англ. сontext-free grammar) называется грамматика, у которой в левых частях всех правил стоят только одиночные нетерминалы.


Определение:
Контекстно-свободный язык (англ. context-free language) — язык, задаваемый контекстно-свободной грамматикой.


Лево- и правосторонний вывод слова[править]

Определение:
Выводом слова (англ. derivation of a word) [math]\alpha[/math] называется последовательность строк, состоящих из терминалов и нетерминалов. Первая строка последовательности состоит из одного стартового нетерминала. Каждая последующая строка получена из предыдущей путем замены любого нетерминала по одному (любому) из правил, а последней строкой в последовательности является слово [math]\alpha[/math].

Пример:

Рассмотрим грамматику, выводящую все правильные скобочные последовательности.

[math]"("[/math] и [math]")"[/math] — терминальные символы
[math]S[/math] — стартовый нетерминал

Правила:

  1. [math]S\rightarrow (S)S[/math]
  2. [math]S\rightarrow S(S)[/math]
  3. [math]S\rightarrow \varepsilon[/math]

Выведем слово [math]"(()(()))()"[/math]:

[math]\boldsymbol{S}\Rightarrow (S)\boldsymbol{S} \Rightarrow (S)(\boldsymbol{S})S\Rightarrow(S)()\boldsymbol{S}\Rightarrow(\boldsymbol{S})()\Rightarrow(\boldsymbol{S}(S))()\Rightarrow(S(S)(\boldsymbol{S}))()\Rightarrow(S(S)(\boldsymbol{S}(S)))()\Rightarrow (S(\boldsymbol{S})((S)))()\Rightarrow(\boldsymbol{S}()((S)))()\Rightarrow(()((\boldsymbol{S})))()\Rightarrow(()(()))()[/math]


Определение:
Левосторонним выводом слова (англ. leftmost derivation) [math]\alpha[/math] называется такой вывод слова [math]\alpha[/math], в котором каждая последующая строка получена из предыдущей путем замены по одному из правил самого левого встречающегося в строке нетерминала.


Определение:
Правосторонним выводом слова (англ. rightmost derivation) [math]\alpha[/math] называется такой вывод слова [math]\alpha[/math], в котором каждая последующая строка получена из предыдущей путем замены по одному из правил самого правого встречающегося в строке нетерминала.

Рассмотрим левосторонний вывод скобочной последовательности из примера:

[math]\boldsymbol{S}\Rightarrow (\boldsymbol{S})S \Rightarrow ((\boldsymbol{S})S)S\Rightarrow (()\boldsymbol{S})S\Rightarrow(()\boldsymbol{S}(S))S\Rightarrow(()(\boldsymbol{S}))S\Rightarrow(()(\boldsymbol{S}(S)))S\Rightarrow(()((\boldsymbol{S})))S\Rightarrow(()(()))\boldsymbol{S}\Rightarrow(()(()))(\boldsymbol{S})S\Rightarrow(()(()))()\boldsymbol{S}\Rightarrow(()(()))()[/math]

Дерево разбора[править]

Определение:
Деревом разбора грамматики (англ. parse tree) называется дерево, в вершинах которого записаны терминалы или нетерминалы. Все вершины, помеченные терминалами, являются листьями. Все вершины, помеченные нетерминалами, имеют детей. Дети вершины, в которой записан нетерминал, соответствуют раскрытию нетерминала по одному любому правилу (в левой части которого стоит этот нетерминал) и упорядочены так же, как в правой части этого правила.


Определение:
Крона дерева разбора (англ. leaves of the parse tree) — множество терминальных символов, упорядоченное в соответствии с номерами их достижения при обходе дерева в глубину из корня. Крона дерева разбора представляет из себя слово языка, которое выводит это дерево.


Построим дерево разбора скобочной последовательности из примера.

BracketsSequenceParsingTree1.png

Теорема:
Пусть [math]\Gamma = \langle \Sigma, N, S, P \rangle[/math] — КС-грамматика. Предположим, что существует дерево разбора с корнем, отмеченным [math]A[/math], и кроной [math]\omega[/math], где [math]\omega \in N^{*}[/math]. Тогда в грамматике [math]\Gamma[/math] существует левое порождение [math]A \Rightarrow^{*}_{lm} \omega[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Используем индукцию по высоте дерева.

База: Базисом является высота [math]1[/math], наименьшая из возможных для дерева разбора с терминальной кроной.

Поскольку это дерево является деревом разбора, [math]A \rightarrow \omega[/math] должно быть продукцией. Таким образом, [math]A \Rightarrow_{lm} \omega[/math] есть одношаговое левое порождение [math]\omega[/math] из [math]A[/math].

Индукционный переход: Существует корень с отметкой [math]A[/math] и сыновьями, отмеченными слева направо [math]X_1X_2 \dots X_k[/math]. Символы [math]X[/math] могут быть как терминалами, так и переменными.

  1. Если [math]X_i[/math] — терминал, то определим [math]\omega_i[/math] как цепочку, состоящую из одного [math]X_i[/math].
  2. Если [math]X_i[/math] — переменная, то она должна быть корнем некоторого поддерева с терминальной кроной, которую обозначим [math]\omega_i[/math]. Заметим, что в этом случае высота поддерева меньше [math]n[/math], поэтому к нему применимо предположение индукции. Следовательно, существует левое порождение [math]X_i \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_i[/math].

Заметим, что [math]\omega = \omega_1\omega_2 \dots \omega_k[/math]. Построим левое порождение цепочки [math]\omega[/math] следующим образом:

Начнем с шага [math]A \Rightarrow_{lm} X_1X_2\dots X_k[/math].
Затем для [math]i = 1, 2, \dots, k[/math] покажем, что имеет место следующее порождение: [math]A \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_1\omega_2\dots\omega_iX_{i+1}X_{i+2}\dots X_k[/math]

Данное доказательство использует в действительности еще одну индукцию, на этот раз по [math]i[/math]. Для базиса [math]i = 0[/math] мы уже знаем, что [math]A \Rightarrow_{lm} X_1X_2\dots X_k[/math].

Для индукции предположим, что существует следующее порождение: [math]A \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_1\omega_2\dots\omega_{i–1}X_iX_{i+1}\dots X_k[/math]

  1. Если [math]X_i[/math] — терминал, то не делаем ничего, но в дальнейшем рассматриваем [math]X_i[/math] как терминальную цепочку [math]\omega_i[/math]. Таким образом, приходим к существованию следующего порождения. [math]A \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_1\omega_2\dots\omega_iX_{i+1}X_{i+2}\dots X_k[/math]
  2. Если [math]X_i[/math] является переменной, то продолжаем порождением [math]\omega_i[/math] из [math]X_i[/math] в контексте уже построенного порождения. Таким образом, если этим порождением является: [math]X_i \Rightarrow_{lm} \alpha_1 \Rightarrow_{lm} \alpha_2\dots \Rightarrow_{lm} \omega_i[/math], то продолжаем следующими порождениями:
[math]\omega_1\omega_2\dots\omega_{i–1}X_iX_{i+1}\dots X_k \Rightarrow_{lm}[/math]
[math]\omega_1\omega_2\dots\omega_{i–1}\alpha_1X_{i+1}\dots X_k \Rightarrow_{lm}[/math]
[math]\omega_1\omega_2\dots\omega_{i–1}\alpha_2X_{i+1}\dots X_k \Rightarrow_{lm}[/math]
[math]\dots[/math]
[math]\omega_1\omega_2\dots\omega_iX_{i+1}X_{i+2}\dots X_k[/math]

Результатом является порождение [math]A \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_1\omega_2\dots\omega_iX_{i+1}X_{i+2}\dots X_k[/math].

Когда [math]i = k[/math], результат представляет собой левое порождение [math]\omega[/math] из [math]A[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Для каждой грамматики [math]\Gamma = \langle \Sigma, N, S, P \rangle[/math] и [math]\omega[/math] из [math]N^{*}[/math] цепочка [math]\omega[/math] имеет два разных дерева разбора тогда и только тогда, когда [math]\omega[/math] имеет два разных левых порождения из [math]P[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\Longrightarrow[/math]

Внимательно рассмотрим построение левого порождения по дереву разбора в доказательстве теоремы. В любом случае, если у двух деревьев разбора впервые появляется узел, в котором применяются различные продукции, левые порождения, которые строятся, также используют разные продукции и, следовательно, являются различными.

[math] \Longleftarrow [/math]

Хотя мы предварительно не описали непосредственное построение дерева разбора по левому порождению, идея его проста. Начнем построение дерева с корня, отмеченного стартовым символом. Рассмотрим порождение пошагово. На каждом шаге заменяется переменная, и эта переменная будет соответствовать построенному крайнему слева узлу дерева, не имеющему сыновей, но отмеченному этой переменной. По продукции, использованной на этом шаге левого порождения, определим, какие сыновья должны быть у этого узла. Если существуют два разных порождения, то на первом шаге, где они различаются, построенные узлы получат разные списки сыновей, что гарантирует различие деревьев разбора.
[math]\triangleleft[/math]

Однозначные грамматики[править]

Определение:
Грамматика называется однозначной (англ. unambiguous grammar), если у каждого слова имеется не более одного дерева разбора в этой грамматике.


Лемма:
Пусть [math]\Gamma[/math] — однозначная грамматика. Тогда [math]\forall \omega \in \mathbb{L}(\Gamma)[/math] существует ровно один левосторонний (правосторонний) вывод.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Очевидно, что по дереву разбора однозначно восстанавливается левосторонний(правосторонний) вывод. Поскольку каждое слово из языка выводится только одним деревом разбора, то существует только один левосторонний(правосторонний) вывод этого слова.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Грамматика из примера не является однозначной.
[math]\triangleright[/math]

Выше уже было построено дерево разбора для слова [math]"(()(()))()"[/math]. Построим еще одно дерево разбора для данного слова.

Например, оно будет выглядеть так:

BracketsSequenceParsingTree2.png

Таким образом, существует слово, у которого есть более одного дерева разбора в данной грамматике [math]\Rightarrow[/math] эта грамматика не является однозначной.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Существуют языки, которые можно задать одновременно как однозначными, так и неоднозначными грамматиками.
[math]\triangleright[/math]

Для доказательства достаточно привести однозначную грамматику для языка правильных скобочных последовательностей (неоднозначной грамматикой для данного языка является грамматика из примера выше).

Рассмотрим грамматику:

[math]"("[/math] и [math]")"[/math] — терминальные символы
[math]S[/math] — стартовый нетерминал

Правила:

  1. [math]S\rightarrow (S)S[/math]
  2. [math]S\rightarrow \varepsilon[/math]

Покажем, что эта грамматика однозначна. Для этого, используя индукцию, докажем, что для любого слова [math]\omega[/math], являющегося правильной скобочной последовательностью, в данной грамматике существует только одно дерево разбора.

База: Если [math]\omega=\varepsilon[/math], то оно выводится только по второму правилу [math]\Rightarrow[/math] для него существует единственное дерево разбора.

Индукционный переход: Пусть [math]\left\vert \omega \right\vert=n[/math] и [math]\forall \upsilon[/math]: [math]\left\vert \upsilon \right\vert \lt n[/math] и [math]\upsilon[/math] — правильная скобочная последовательность, у которой [math]\exists![/math] дерево разбора.

Найдем в слове [math]\omega[/math] минимальный индекс [math]i \neq 0[/math] такой, что слово [math]\omega[0..i][/math] является правильной скобочной последовательностью. Так как [math]i \neq 0[/math] минимальный, то [math]\omega[0..i]=(\alpha)[/math]. Из того, что [math]\omega[/math] является правильной скобочной последовательностью [math]\Rightarrow[/math] [math]\alpha[/math] и [math]\beta=\omega[i+1..n-1][/math] — правильные скобочные последовательности, при этом [math]\left\vert \alpha \right\vert\lt n[/math] и [math]\left\vert \beta \right\vert\lt n \Rightarrow[/math] по индукционному предположению предположению у [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] существуют единственные деревья разбора.
Если мы покажем, что из части [math](S)[/math] первого правила можно вывести только слово [math](\alpha)[/math], то утверждение будет доказано (так как из первой части первого правила выводится [math]\alpha[/math], а из второй только [math]\beta[/math] и для каждого из них по предположению существуют единственные деревья разбора).
Пусть из [math](S)[/math] была выведена часть слова [math]\omega[0..j]=(\gamma)[/math], где [math]j \lt i[/math], при этом [math]\gamma[/math] является правильной скобочной последовательностью, но тогда как минимальный индекс мы должны были выбрать [math]j[/math], а не [math]i[/math] — противоречие.
Аналогично из [math](S)[/math] не может быть выведена часть слова [math]\omega[0..j][/math], где [math]j \gt i[/math], потому что тогда [math]\omega[0..i]=(\alpha)[/math] не будет правильной скобочной последовательностью, так как в позиции [math]i-1[/math] баланс скобок будет отрицательный.
Значит, из [math](S)[/math] была выведена часть слова [math]\omega[0..i] \Rightarrow \omega[/math] имеет единственное дерево разбора [math]\Rightarrow[/math] данная грамматика однозначная.
Таким образом, для языка правильных скобочных последовательностей мы привели пример как однозначной, так и неоднозначной грамматики.
[math]\triangleleft[/math]

Однако, есть КС-языки, для которых не существует однозначных КС-грамматик. Такие языки и грамматики их порождающие называют существенно неоднозначными.

См. также[править]

Источники информации[править]