Турбо-алгоритм Бойера-Мура

Турбо-алгоритм Бойера-Мура (англ. Turbo Boyer-Moore) является улучшением алгоритма Бойера-Мура. Турбо-алгоритм, разработанный группой учёных во главе с М.Крочемором, предлагает другой подход к коротким алфавитам и заодно решает вторую проблему — квадратичную сложность в худшем случае. Помимо эвристики стоп-символа и эвристики совпавшего суффикса, применяется третья эвристика — эвристика турбосдвига.

Алгоритм

Турбо-алгоритм Бойера-Мура не нуждается в дополнительном препроцессинге и требует только постоянную дополнительную память относительно оригинального алгоритма Бойера-Мура. Он состоит в запоминании сегмента текста, который соответствует суффиксу шаблона, совпавшему во время предыдущего шага алгоритма (и только тогда, когда сдвиг хорошего суффикса был выполнен). Эта методика представляет два преимущества:

1. Можно перепрыгнуть через этот сегмент.
2. Она может позволить выполнение «турбо-сдвига».

Турбо-сдвиг может произойти, если мы обнаружим, что суффикс образца, который сходится с текстом, короче, чем тот, который был запомнен ранее.

Определение турбо-сдвига

Пусть [math]u[/math] — запомненный сегмент, а [math]v[/math] — cуффикс, совпавший во время текущей попытки, такой что [math]uzv[/math] — суффикс [math]x[/math]. Тогда [math]av[/math] — суффикс [math]x[/math], два символа [math]a[/math] и [math]b[/math] встречаются на расстоянии [math]p[/math] в тексте, и суффикс [math]x[/math] длины [math] \mathrm{size}(uzv)[/math] имеет период длины [math]p[/math], а значит не может перекрыть оба появления символов [math]a[/math] и [math]b[/math] в тексте. Наименьший возможный сдвиг имеет длину [math] \mathrm{size}(u) - \mathrm{size}(v)[/math] (его мы и называем турбо-сдвигом).

Тем не менее, при [math] \mathrm{size}(u) \lt \mathrm{size}(v)[/math], если длина сдвига плохого символа больше, чем длина сдвига хорошего суффикса и длины турбо-сдвига, то длина фактического сдвига должна быть больше или равна [math] \mathrm{size}(u) + 1[/math]. Действительно, в этом случае два символа [math]c[/math] и [math]d[/math] различны, так как мы предположили, что предыдущий сдвиг был сдвигом хороший суффикса. Тогда сдвиг больший, чем турбо-сдвиг, но меньший, чем [math] \mathrm{size}(u) +1[/math] будет выравнивать [math]c[/math] и [math]d[/math] с таким же символом в [math]v[/math], в этом случае длина фактического сдвига должна быть по крайней мере равен [math] \mathrm{size}(u) +1[/math].

Нельзя совместить символы [math]c \neq d[/math] с одним и тем же символом в [math]v[/math].

Описание алгоритма

В алгоритм Бойера-Мура дополнительно добавится запоминание длины [math] \mathrm{size}(u)[/math] сегмента текста, который соответствует суффиксу шаблона во время последней попытки, который мы не будем лишний раз рассматривать при сравнении суффиксов двух подстрок, а также запоминании размера сдвига [math]\mathrm{shift}[/math], который мы совершили. Вычислять его будем следующим образом:

Пусть [math]\mathrm{size}(y) = n[/math], [math]\mathrm{size}(x)=m[/math] и [math]\sigma[/math] — размер алфавита.

• Если текущем шаге у нас подстрока совпала с шаблоном [math]x[/math], то [math]\mathrm{shift} = bmGs[0][/math] ([math]bmGs[0][/math] равен периоду шаблона [math]x[/math]), [math] \mathrm{size}(u) = m - \mathrm{shift}[/math].
• Иначе возможны два случая:
  • Если сдвиг хорошего суффикса не меньше турбо-сдвига и сдвига плохого символа, тогда [math] \mathrm{shift} = bmGs[j+1][/math], [math]\mathrm{size}(u) = \min(m - \mathrm{shift}, \mathrm{size}(v))[/math], где [math]v[/math] — текущая подстрока.
  • В противном случае, [math] \mathrm{size}(u) = 0[/math], [math]\mathrm{shift} = \max( \mathrm{turboShift}, \mathrm{bCShift})[/math], где [math] \mathrm{turboShift}[/math] — длина турбо-сдвига, [math] \mathrm{bCShift}[/math] — длина сдвига плохого символа. Если турбо-сдвиг меньше сдвига плохого символа, то [math] \mathrm{shift}[/math] должен быть не больше [math]\mathrm{size}(u_0) + 1[/math], где [math]u_0[/math] — сегмент текста, рассматриваемый на прошлом шаге.

Псевдокод

Стадия препроцессинга совпадает со стадией препроцессинга в алгоритме Бойера-Мура, функция вычислений сдвигов плохих символов и функция вычисления хороших суффиксов не меняются, меняется только сам алгоритм, в него добавляется обработка турбо-сдвигов.

//x — шаблон, y — текст, m — длина шаблона, n — длина текста
function TBM(x: char[m], y: char[n]): List<int>   
   int i = 0
   int u = 0
   int shift = m
   //answer — массив, в который мы сохраняем индексы, начиная с которых, подстроки текста совпадают с шаблоном
   List<int> answer

   if (m == 0)
        return
        
   //Предварительные вычисления
   int bmBc[] = preBmBc(x, m)
   int bmGs[] = preBmGs(x, m)

   while (i <= n - m) 
       int j = m - 1
       while (j >= 0 and x[j] == y[i + j])
           --j
           if (u != 0 and j == m - 1 - shift) 
               j -= u
       if (j < 0) 
           answer.add(i)
           shift = bmGs[0]
           u = m - shift
       else 
           int v = m - 1 - j
           int turboShift = u - v
           int bCShift = bmBc[y[i + j]] - m + j + 1
           shift = max(turboShift, bCShift, bmGs[j + 1])
           if (shift == bmGs[j + 1])
               u = min((m - shift), v)
           else 
               if (turboShift < bcShift) 
                   shift = min(shift, (u + 1))
               u = 0
       i += shift
   return answer

Асимптотика

Утверждение:

Фаза препроцессинга требует [math]O(m + \sigma)[/math] времени и памяти, где [math]\sigma[/math] — размер алфавита.

[math]\triangleright[/math]

Стадия препроцессинга совпадает со стадией препроцессинга в алгоритме Бойера-Мура, поэтому рассмотрим только стадию поиска.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Фаза поиска требует [math]O(n)[/math] времени, где [math]n[/math] — длина строки, в которой выполняется поиск.

Утверждение:

В худшем случае поиск требует [math]O(2n)[/math] сравнений.

[math]\triangleright[/math]

Так как мы запоминаем последний просмотренный сегмент текста, совпадающий с суффиксом шаблона, это позволяет нам пропускать его при нахождении очередного (нам незачем второй раз просматривать сегмент, про который известно, что он совпадает), что уменьшет число сравнений и хождений по строке. Докажем, что число сравнений после такой оптимизаций будет [math]O(2n)[/math]. Разобьём поиск на шаги, каждый из которых будет состоять из двух операций: сканирования и сдвига. На шаге [math]k[/math] мы будем называть [math]suf_k[/math] длину суффикса шаблона, что совпадает с текстом, перед суффиксом шаблона будет символ, который не совпадает с соответствующим символом в тексте (в случае когда [math]suf_k[/math] не соответствует длине шаблона). Мы также будем называть [math]shift_k[/math] длину сдвига, сделанного на шаге [math]k[/math]. Рассмотрим три типа шагов в зависимости от характера сканирования и сдвига. Мы говорим, что сдвиг на шаге [math]k[/math] короткий, если [math]2shift_k \lt suf_k + 1[/math]. Тогда эти три типа будут: Шаг с последующим шагом с прыжком. Шаг с длинным сдвигом, без последующего шага с прыжком. Шаг с коротким сдвигом, без последующего шага с прыжком. Идея доказательства состоит в амортизации стоимости сравнения со сдвигами. Определим стоимость шага [math]cost_k[/math] следующим образом: Если шаг [math]k[/math] имеет тип (1), [math]cost_k = 1[/math]. Если шаг [math]k[/math] имеет тип (2) или (3), стоимость [math]cost_k = suf_k + 1[/math]. Общее количество сравнений, выполняемых алгоритмом — сумма стоимостей шагов. Мы хотим доказать, что [math] \sum cost \lt 2 \sum shifts[/math]. Во второй [math] \sum [/math] длину последнего сдвига заменим [math]m[/math]. В случае шага типа (1), стоимость соответствует единственному сравнению несовпадающих символов. Другие сравнения, проведенные в течение того же шага, являются стоимостью последующих шагов. Рассмотрим каждый тип шага: [math]cost_k = 1[/math] очевидным образом меньше, чем [math]2shift_k[/math], так как [math]shift_k \gt 0[/math]. [math]cost_k = suf_k + 1 \leqslant 2 shift_k[/math], по определению длинных сдвигов. Так как в этой ситуации мы имеем [math]shift_k \lt suf_k[/math], единственный возможный вариант, это когда обычный сдвиг применяется на шаге [math]k[/math]. Тогда мы должны это запомнить. На следующем шаге, [math]k + 1[/math], мы что-то запомнили, что приводит к возможному турбо-сдвигу. Ситуация на шаге [math]k + 1[/math] — основная ситуация, когда турбо-сдвиг возможен. Прежде чем продолжить доказательство, мы сначала рассмотрим два случая и установим неравенства (по стоимости шага [math]k[/math]), которые используем позже. Случай (а): [math]suf_k + shift_k \leqslant |p|[/math]. По определению турбо-сдвига, мы имеем [math]suf_k - suf_{k+1} \lt shift_{k + 1}[/math]. Таким образом, [math]cost_k = sufk + 1 \leqslant suf_{k+1} + shift_{k+1} + 1 \leqslant shift_k + shift_{k + 1}[/math]. Случай (б): [math]suf_k + shift_k \gt |p|[/math]. По определению турбо-сдвига, мы имеем [math]suf_{k+1} + shift_k + shift_{k + 1} \geqslant m[/math]. Тогда [math]cost_k \leqslant m \leqslant 2shift_k - 1 + shift_{k + 1}[/math]. Можно считать, что на шаге [math]k + 1[/math] случай (б) имеет место, потому что это дает нам верхнюю границу [math]cost_k[/math] (это верно, если [math]shift_k \geqslant 2[/math], случай [math]shift_k = 1[/math] можно обрабатывать напрямую). Если шаг [math]k + 1[/math] типа (1), то [math]cost_{k + 1} = 1[/math], а затем [math]cost_k + cost_{k+1} \leqslant 2shift_k + shift_{k+1}[/math], что даже лучше, чем ожидалось. Если на шаге [math]k + 1[/math] мы имеем [math]suf_{k + 1} \leqslant shift_{k + 1}[/math], то мы получим то, что ожидалось: [math]cost_k + cost_{k + 1} \leqslant 2shift_k + 2shift_{k + 1}[/math]. Последняя ситуация для рассмотрения, когда на шаге [math]k + 1[/math] мы имеем [math]suf_{k + 1} \gt shift_{k + 1}[/math]. Это означает, что, как уже упоминалось ранее, обычный сдвиг применяется на шаге [math]k + 1[/math]. Таким образом, приведенный выше анализ также применяется на шаге [math]k + 1[/math], и, так как только случай (а) может произойти, мы получаем [math]cost_{k + 1} \leqslant shift_{k + 1} + shift_{k + 2}[/math]. Мы, наконец, получаем [math]cost_k + cost_{k + 1} \leqslant 2shift_k + 2shift_{k + 1} + shift_{k + 2}[/math]. Покажем правильность шагов по индукции: если все шаги [math]k[/math] до [math]k + j[/math] таковы, что [math]suf_k \gt shift_k,... , suf_{k + j} \gt shift_{k + j}[/math], то [math]cost_k + ... + cost_{k + j} \leqslant 2shift_k + ... + 2shift_{k + j} + shift_{k + j + 1}[/math]. Пусть [math]k'[/math] первый этап после этапа [math]k[/math] такой, что [math]suf_{k'} \leqslant shift_{k'}[/math]. Целое число [math]k'[/math] существует потому, что иначе получим бесконечную последовательность сдвигов с уменьшающейся длиной. После этого мы получим [math]cost_k + ... + cost_{k'} \leqslant 2shift_k + ... + 2shift_{k'}[/math]. Это показывает нам, что [math] \sum cost_k \leqslant 2 \sum shift_k[/math], что и требовалось.

[math]\triangleleft[/math]

Пример работы

Пусть нам дана строка [math]y = GCATCGCAGAGAGTATACAGTACG[/math] и образец [math]x=GCAGAGAG[/math].

Построим массив [math]bmBc[/math]:

Рассмотрим шаги алгоритма:

Изображение	[math](j, bmBc[y[j]])[/math]	Описание
	[math](7, 1)[/math]	Сравниваем последние символы, они неравны, поэтому сдвигаемся на [math]bmGs[7] = bmBc[A]-8+8 = 1[/math].
	[math](8, 2)[/math]	Последние два символа совпали, сдвигаемся на [math]bmGs[5] = bmBc[C] - 8 + 6 = 4[/math].
	[math](12, 2)[/math]	Все символы совпали, Продолжим работу (для примера, в обычном варианте на этом этапе мы можем выйти, если требуется найти только одно вхождение) и сдвинемся на [math]bmGs[0] = 7[/math].
	[math](19, 2)[/math]	Последние два символа совпали, сдвигаемся на [math]bmGs[5] = bmBc[C] - 8 + 6 = 4[/math].
	[math](23, 1)[/math]	Последние символы совпали, сравниваем предпоследние, сдвигаемся. Строка закончилась, выходим.

В итоге, чтобы найти одно вхождение образца длиной [math]m = 8[/math] в образце длиной [math]n = 24[/math] нам понадобилось [math]15[/math] сравнений символов.

См. также

• Алгоритм Бойера-Мура
• Алгоритм Райта
• Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта
• Алгоритм Апостолико-Крочемора

Источники информации

• Википедия — Алгоритм Бойера-Мура
• Wikipedia — Boyer–Moore string search algorithm
• Turbo Boyer-Moore algorithm
• Турбо Боуер-Мур
• Speeding Up Two String-Matching Algorithms