Изменения

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

== Определения ==

{{Определение

Если <tex> A \subset \mathbb R, \, \exists b, c \in \mathbb R : c \le A \le b </tex>, то A называется '''ограниченным''' множеством.

}}

{{Определение

|definition=

Если <tex> A </tex> {{---}} ограничено сверху, то наимешьшая из его верхних границ называется '''верхней гранью'''.

<tex> b = \sup A</tex> ("супремум")

}}

{{Определение

|definition=

Если <tex> A </tex> {{---}} ограничено снизу, то наибольшая из его нижних границ называется '''нижней гранью'''.

}}

{{Теорема

|statement=

|proof=

Пусть M {{---}} множество верхних границ А. Так как А ограничено сверху, то <tex> M \ne \varnothing </tex>.

#<tex> A \le d \Rightarrow d \in M </tex>.

#<tex> d \le M \Rightarrow d </tex> {{---}} наименьшая из верхних границ А.

Аналогично для нижней грани ограниченного снизу множества А.

}}

{{Определение

По аналогии определяются и промежутки типа <tex> (a, b] </tex>.

}}

{{Определение