Турниры

Определение:

Турнир (англ. Tournament) — ориентированный граф, между любой парой различных вершин которого есть ровно одно ориентированное ребро.

Турниром из [math]n[/math] вершин можно изобразить исход игры между [math]n[/math] людьми, где каждый играет с каждым. Тогда ребро будет ориентировано от выигравшего человека к проигравшему.

Турниры из трех вершин

Свойства турниров

Оценка количества турниров в графе

Если в турнире опустить ориентацию ребер, то мы получим полный граф. А так как существует два варианта ориентации каждого ребра, то количество турниров в графе из [math]n[/math] вершин равно [math]2^{\frac{n\cdot(n-1)}{2}}[/math].

Транзитивность

Транзитивный турнир с 8 вершинами

Турнир, в котором [math](a, b)\land(b, c) \Rightarrow (a, c)[/math], называется транзитивным. В транзитивном турнире вершины могут быть полностью упорядочены в порядке достижимости.

Теорема:

Пусть [math]T=\langle V, E\rangle[/math] — турнир, [math]| V| = n[/math]. Тогда следующие утверждения эквивалентны: [math]T[/math] транзитивен; [math]T[/math] не содержит циклов длины [math]3[/math]; [math]T[/math] ациклический; множества, составленные из [math]\deg^{-}[/math] или [math]\deg^{+}[/math] для каждой вершины [math]T[/math], есть [math]\{ 0, 1, 2,..., n - 1\} [/math]; [math]T[/math] содержит ровно один гамильтонов путь.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]1 \Rightarrow 2:[/math] Пусть существует цикл длины [math]3: (u, v), (v, w), (w, u). [/math] Однако по транзитивности должно существовать ребро [math](u, w)[/math], т.е. между [math]u, w[/math] есть [math]2[/math] противоположно направленных ребра, что невозможно по определению турнира. [math]2 \Rightarrow 3:[/math] Пусть в графе содержится цикл длины [math]k \neq 3[/math]. Это не может быть цикл длины [math]2[/math] (противоречит определению турнира). Обозначим его вершины в порядке обхода [math]v_1, v_2, \ldots, v_k, k \geqslant 4[/math]. Заметим, что т.к. нет циклов длины [math]3[/math], выполнена транзитивность (в противном случае существовали бы ребра [math](u, v), (v, w), (w, u)[/math]). Докажем по индукции, что существует ребро [math](v_1, v_{k - 1}).[/math] База индукции [math]k = 3[/math]: [math](v_1, v_2) , (v_2, v_3) \in E \Rightarrow (v_1, v_3) \in E [/math] (по транзитивности). Переход индукции Пусть доказано для всех [math]i \lt k - 1[/math], что [math](v_1, v_i) \in E[/math], также известно, что [math](v_i, v_{i+1}) \in E[/math], тогда по транзитивности [math](v_1, v_{i+1}) \in E[/math]. Таким образом, в транзитивном турнире содержится цикл длины [math]3[/math] — противоречие (см. предыдущий пункт). [math]3 \Rightarrow 4: [/math] Обозначим множество значений степеней исхода как [math]Deg^{+}(T)[/math]. Докажем индукцией по [math]n[/math]. База индукции [math]n = 1[/math]: верно, т.к. есть одна вершина степени [math]0[/math] Переход индукции Пусть доказано для [math]n - 1[/math]. В ациклическом графе существует сток [math]t, deg^{+}t = 0[/math]. Рассмотрим граф [math]T-t[/math]. [math]Deg^{+}(T - t) = \{0, 1, \ldots, n - 2\}[/math] . Т.к. из каждой [math]v \in V \setminus \{t\}[/math] ведет одно ребро в [math]t[/math], [math] Deg^{+}(T)=\{deg^{+}t\} \cup \{x + 1 \mid x \in Deg^{+}(T -t)\} = \{0, 1, \ldots, n - 1\}[/math]. Для степеней захода можно доказать аналогично, рассмотрев исток вместо стока. [math]4 \Rightarrow 5: [/math] По теореме Редеи-Камиона, в любом турнире есть гамильтонов путь, докажем индукцией по [math]n[/math], что этот путь единственный. База индукции [math]n = 1[/math]: верно, путь из одной вершины. Переход индукции Рассмотрим вершину [math]s: deg^{-}(s) = 0[/math]. Она будет первой в гамильтоновом пути (иначе мы в нее не зайдем). Рассмотрим граф [math]T - s[/math]. Т.к. [math]s[/math] была соединена со всеми его вершинами, их степени меньше на [math]1[/math] соответствующих степеней в исходном турнире, значит [math]Deg^{-}(T-s)=\{0,1, \ldots, n - 2\}[/math], следовательно в [math]T-s[/math] существует единственный гамильтонов путь [math]v_1, v_2, \ldots v_{n -1}[/math] (по предположению). Пусть существуют [math]2[/math] гамильтонова пути, начинающиеся на [math]s[/math], но тогда существуют 2 пути в [math]T-s[/math] — противоречие. [math]5 \Rightarrow 1: [/math] Пусть [math]P=v_1, v_2, \ldots, v_n[/math] — единственный гамильтонов путь. Пусть найдется [math]m[/math] — наименьший индекс такой, что в вершину [math]v_m[/math] идет ребро из вершины с большим индексом, а [math]v_k[/math] — вершина с наибольшим индексом, из которой ребро ведет в [math]v_m[/math]. Возможно несколько случаев: [math] m \neq 1, k \neq n: [/math] Из [math]v_{m -1}[/math] ведет ребро в [math]v_{m+1}[/math] (по минимальности [math]m[/math]), а из [math]v_m[/math] ведет ребро в [math]v_{k +1}[/math] (по максимальности [math]k[/math]). Тогда будет существовать еще один гамильтонов путь [math]P_1 = v_1, \ldots, v_{m-1}, v_{m+1}, \ldots, v_{k}, v_m, v_{k+1}, \ldots, v_n[/math]. [math] m \neq 1, k = n: [/math] [math]P_1 = v_1, \ldots, v_{m-1}, v_{m+1}, \ldots, v_{n}, v_m[/math]. [math] m = 1, k \neq n:[/math] [math]P_1 = v_2, \ldots, v_{k}, v_1, v_{k+1}[/math] [math] m = 1, k = n:[/math] [math]P_1 = v_2, \ldots, v_n, v_1[/math] Замечание Может достигаться равенство [math]m + 1 = n[/math], в этом случае нужно исключить из пути [math]2[/math] последовательных вхождения [math]v_n[/math]. Во всех случаях получаем противоречие с единственностью гамильтонова пути, значит не существует такого [math]m[/math], т.е [math](v_i, v_j) \in E \Leftrightarrow i \lt j[/math]. Значит [math]\forall i, j, k: 1 \leqslant i, j, k \leqslant n[/math] [math] (v_i, v_j) \in E \land (v_j, v_k) \in E \Rightarrow i \lt j \land j \lt k \Rightarrow (v_i, v_k) \in E [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теория Рамсея

Транзитивные турниры играют существенную роль в теории Рамсея, изучающей условия, при которых в произвольно формируемых математических объектах обязан появиться некоторый порядок. В частности, любой турнир с [math]n[/math] вершинами содержит транзитивный подтурнир с [math]1+\lfloor\log_2 n\rfloor[/math] вершинами. Для его построения выберем любую вершину [math]v[/math] как часть этого подтурнира и построим подтурнир рекурсивно на множестве либо входящих соседей вершины [math]v[/math], либо на множестве исходящих соседей, в зависимости от того, какое множество больше.

Конденсация

Утверждение:

Конденсация любого турнира является транзитивным турниром.

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]2[/math] компоненты сильной связности [math]U, V[/math], найдутся [math]u \in U, v \in V: (u, v) \in E[/math], либо [math](v, u) \in E [/math], значит в конденсации есть либо ребро [math](U,V)[/math], либо [math](V,U)[/math]. Т.к. мы рассмотрели произвольную пару вершин конденсации турнира, она является турниром. Конденсация любого орграфа ациклична, а по доказанной теореме, это означает, что она транзитивна.

[math]\triangleleft[/math]

Таким образом, даже если турнир не является транзитивным, сильно связанные компоненты турнира могут быть вполне упорядочены. В самом деле, по теореме, в турнире существует гамильтонов путь, значит вершины могут быть упорядочены по своим позициям в этом пути.

Сильно связные турниры

Определение:

Турнир называется сильно связным, если из любой вершины существуют пути до всех других.

Определение:

Турнир называется гамильтоновым, если он содержит гамильтонов цикл.

Негамильтонов турнир

Не все турниры гамильтоновы. Определение не исключает существование вершины с [math]\deg^{-}[/math] или [math]\deg^{+}[/math] равной нулю — в первую нельзя войти, а из второй — выйти. Однако отсутствие таких вершин не означает, что турнир гамильтонов (пример — на рисунке справа).

Теорема Редеи-Камиона устанавливает два следующих факта:

1. Все турниры полугамильтоновы.
2. Турнир гамильтонов тогда и только тогда, когда он сильно связен.

См. также

• Гамильтоновы графы
• Теорема Редеи-Камиона
• Поиск гамильтонова цикла за [math]O(n\cdot log(n))[/math]

Источники информации

• Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы — НИЦ РХД, 2001. — ISBN 5-93972-076-5
• Wikipedia — Турнир
• [1]