Изменения

== Основные Используемые определения == 

|definition = Правила вида <tex>A \to \varepsilon</tex> называются '''<tex>\varepsilon</tex>-правилами''' (англ. ''<tex>\varepsilon</tex>-rule'').

|definition = Назовем КС-грамматику Нетерминал <tex>G=(N,\Sigma, P, S)A</tex> грамматикой без называется '''<tex>\varepsilon</tex>-правил порождающим''' (или неукорачивающей), если либо<br/>:(1) <tex>P</tex> не содержит англ. ''<tex>\varepsilon</tex>-правил, либо :(2generating'') есть точно одно <tex>\varepsilon</tex>-правило <tex>S \to \varepsilon</tex> и <tex>S</tex> не встречается в правых частях остальных правил из <tex>P</tex>.}}{{Определение|definition = Нетерминал <tex>A</tex> называется <tex>\varepsilon</tex>-порождающим, если <tex>A \Rightarrow^* \varepsilon</tex>.

== Алгоритм удаления &epsilon;-правил из грамматики ===== Поиск поиска &epsilon;-порождающих нетерминалов ===''Схема алгоритма'Вход:'':1) Если ' КС-грамматика <tex>A \rightarrow Gamma=\langle N,\Sigma, P, S \varepsilonrangle</tex> — правило грамматики <tex>G.<br/tex>, то '''Выход:''' множество <tex>A\varepsilon</tex> —-порождающих нетерминалов. # Найти все <tex>\varepsilon</tex>-порождающий нетерминалправила. Составить множество, состоящее из нетерминалов, входящих в левые части таких правил.:2) Если # Перебираем правила грамматики <tex>B \rightarrow C_1C_2...C_kGamma</tex> — . Если найдено правило грамматики <tex>GA \rightarrow C_1C_2 \ldots C_k</tex>, где для которого верно, что каждый <tex>C_i</tex> — принадлежит множеству, то добавить <tex>\varepsilonA</tex>-порождающий нетерминалв множество.# Если на шаге 2 множество изменилось, то <tex>B</tex> — <tex>\varepsilon</tex>-порождающий нетерминалповторить шаг 2.

|statement = Нетерминал <tex>A</tex> является Описанный выше алгоритм находит все <tex>\varepsilon</tex>-порождающим тогда и только тогда, когда вышеприведенный алгоритм идентифицирует <tex>A</tex> как порождающие нетерминалы грамматики <tex>\varepsilonGamma</tex>-порождающий.|proof = Индукция по длине кратчайшего порождения <tex>A \Rightarrow^*\varepsilon</tex>:''База.'' Для доказательства корректности алгоритма достаточно показать, что, если множество <tex>A \Rightarrow^*\varepsilon</tex> за один шаг-порождающих нетерминалов на очередной итерации алгоритма не изменялось, то есть <tex>A \rightarrow\varepsilon</tex>. алгоритм нашел все <tex>\varepsilon</tex>-порождающий нетерминал <tex>A</tex> обнаруживается алгоритмом согласно первому пункту алгоритмапорождающие нетерминалы.

:''Индукция.'' Пусть после завершения алгоритма существуют нетерминалы такие, что они являются <tex>A \Rightarrow^*\varepsilon</tex> за -порождающими, но не были найдены алгоритмом. Выберем из этих нетерминалов нетерминал <tex>B</tex>, из которого выводится <tex>n\varepsilon</tex> за наименьшее число шагов. Тогда первых шаг порождения в грамматике есть правило <tex>A B \rightarrow C_1C_2...\ldots C_k</tex>, где каждый нетерминал <tex>C_i \Rightarrow^* \varepsilon</tex> за менее, чем {{---}} <tex>n\varepsilon</tex> шагов-порождающий. По индукционному предположению каждый нетерминал Каждый <tex>C_i</tex> обнарудивается как входит в множество <tex>\varepsilon</tex>-порождающийпорождающих нетерминалов, так как иначе вместо <tex>B</tex> необходимо было взять <tex>C_i</tex>. Тогда нетерминал Следовательно, на одной из итераций алгоритма <tex>B</tex> уже добавился в множество <tex>A\varepsilon</tex> обнаружиться вторым пунктом алгоритма как -порождающих нетерминалов. Противоречие. Следовательно, алгоритм находит все <tex>\varepsilon</tex>-порождающийпорождающие нетерминалы.

=== Схема алгоритма удаления &epsilonМодификация с очередью ===Заведем несколько структур:*<tex>\mathtt{isEpsilon[nonterm_i]} \ </tex> {{---}} для каждого нетерминала будем хранить пометку, является он <tex>\varepsilon</tex>-порождающим или нет.*<tex>\mathtt{concernedRules[nonterm_i]} \ </tex> {{---}} для каждого нетерминала будем хранить список номеров тех правил, в правой части которых он встречается;*<tex>\mathtt{counter[rule_i]} \ </tex> {{---}} для каждого правила будем хранить счетчик количества нетерминалов в правой части, которые еще не помечены <tex>\varepsilon</tex>-порождающими;*<tex>\mathtt{Q} \ </tex> {{---}} очередь нетерминалов, помеченных <tex>\varepsilon</tex>-порождающими, но еще не обработанных. Сначала проставим <tex>\mathtt{false}</tex> в <tex>\mathtt{isEpsilon} \ </tex> для всех нетерминалов, а в <tex>\mathtt{counter} \ </tex> для каждого правила запишем количество нетерминалов справа от него. Те правила, для которых <tex>\mathtt{counter} \ </tex> сразу же оказался нулевым, добавим в <tex>\mathtt{Q}</tex> и объявим истинным соответствующий <tex>\mathtt{isEpsilon}</tex>, так как это <tex>\varepsilon</tex>-правила. Теперь будем доставать из очереди по одному нетерминалу, смотреть на список <tex>\mathtt{concernedRules} \ </tex> для него и уменьшать <tex>\mathtt{counter}</tex> для всех правил оттуда. Если <tex>\mathtt{counter} \ </tex> какого-то правила в этот момент обнулился, то нетерминал из грамматики левой части этого правила помечается <tex>\varepsilon</tex>-порождающим, если еще не был помечен до этого, и добавляется в <tex>\mathtt{Q}</tex>. Продолжаем, пока очередь не станет пустой. === Время работы алгоритма ===''ВходБазовый алгоритм работает за <tex>O(\left| \Gamma \right| ^ 2)</tex>. В алгоритме с модификацией нетерминал попадает в очередь ровно один раз, соответственно ровно один раз мы пройдемся по списку правил, в правой части которых он лежит.'' КС грамматика Суммарно получается <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex> G. === Пример ===(NРассмотрим грамматику,причем сразу пронумеруем правила:#<tex>S\Sigma, P, rightarrow ABC</tex>#<tex>S)\rightarrow DS </tex>#<tex>A\rightarrow \varepsilon</tex>#<tex>B\rightarrow AC</tex>#<tex>C\rightarrow \varepsilon</tex>#<tex>D\rightarrow d</tex> ''Поскольку правило 6 содержит справа терминалы, оно заведомо не будет влиять на ответ, поэтому мы не будем его учитывать.''

''ВыходПостроим массив списков <tex>\mathtt{concernedRules}</tex>.'' КС грамматика {| class="wikitable"| colspan=5 |<tex> G'=(N,\Sigma, P', S) : L(G) = L(G') - mathtt{\varepsilonconcernedRules}</tex>.|-!<tex>S</tex>!<tex>A</tex>!<tex>B</tex>!<tex>C</tex>!<tex>D</tex>|-|2|1, 4|1|1, 4|2|}

''Схема алгоритма{| class="wikitable" style="border:solid 2px gray"!style="border-right:solid 2px gray"|<tex>\mathtt{Q}</tex>!style="border-right:''solid 2px gray" colspan=5| <tex>\mathtt{isEpsilon}</tex>!style="border-right:1) Найти все solid 2px gray" colspan=5| <tex>\varepsilonmathtt{counter}</tex>!Комментарий|-порождаюшие нетерминалы.!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2) Удалить все |<tex>\varepsilonleft \{ \right \}</tex> !style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-правила из top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2|Зададим начальные значения массивам <tex>\mathtt{counter} \ </tex> и <tex>P\mathtt{isEpsilon}</tex>.|-|0|0|0|0|style="border-right:solid 2px gray"|0|3) Рассмотрим правила вида (*)|2|0|2|style="border-right:solid 2px gray"|0|-|style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\left \{A ,C \rightarrow right \alpha_0 B_1 }</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2 |Заметим, что правила 3 и 5 являются <tex>\alpha_1 B_2 \alpha_2 varepsilon</tex>-правилами.Пометим левые нетерминалы из этих правил и добавим их в очередь.. B_k После этого в <tex>\alpha_kmathtt{Q}</tex> лежит <tex>A</tex> и <tex>C</tex>, где а <tex>\alpha_imathtt{counter} \ </tex> — последовательности остался без изменений.|-|0|1|0|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|3|2|0|2|style="border-right:solid 2px gray"|0|-|style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\left\{C \right\}</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2|Достанем из терминалов и нетерминаловочереди <tex>A</tex>, декрементируем те счетчики, которые относятся к связанным с ним правилам. К очереди ничего не добавится.|-|0|1|0|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|2|2|0|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|-|style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\left\{B \right\}</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>B_j!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex> — !style="border-top:solid 2px gray"|<tex>\varepsilonC</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-порождающие нетерминалыtop:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2|Достанем из очереди <tex>C</tex>. Добавить все возможные правила вида (*), После проведения действий из алгоритма в которых либо присутствует, либо отсутствует очередь добавится <tex>B_jB</tex>, кроме правила .|-|0|1|1|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|1|2|0|0|style="border-right:solid 2px gray"|0|-|style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>A \rightarrow left\{S \right\varepsilon}</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2|Достанем из очереди <tex>B</tex>. После действий алгоритма в очередь добавится <tex>S</tex>. Такое правило может возникнуть, если все |-|1|1|1|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|0|2|0|0|style="border-right:solid 2px gray"|0|-|style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\alpha_i left\{ \right\}</tex>!style= "border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2|Достанем из очереди <tex>S</tex>. Ничего не добавится в очередь и она останется пустой. Алгоритм закончил свое выполнение. Итого в множество <tex>\varepsilon</tex>-правил входят все нетерминалы, кроме <tex>D</tex>.|-|1|1|1|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|0|1|0|0|style="border-right:solid 2px gray"|0|}

Если применять алгоритм без модификации с очередью, то действия будут следующие:# Возьмём множество состоящее из <tex>\varepsilon</tex>-порождающих нетерминалов <tex>\lbrace A, C \rbrace</tex>.# Добавим <tex>B</tex> в множество, так как правая часть правила <tex>B\rightarrow AC</tex> состоит только из нетерминалов из множества.# Повторим второй пункт для правила <tex>S\rightarrow ABC</tex> и получим множество <tex>\lbrace A, B, C, S \rbrace</tex>.# Больше нет нерассмотренных правил, содержащих справа только нетерминалы из множества. Таким образом <tex>\varepsilon</tex>-порождающими нетерминалами являются <tex>A</tex>, <tex>B</tex>, <tex>C</tex> и <tex>S</tex>. == Алгоритм удаления &epsilon;-правил из грамматики =='''Вход:''' КС-грамматика <tex> \Gamma=\langle N,\Sigma, P, S \rangle</tex>.<br/>'''Выход:''' КС-грамматика <tex> \Gamma'=\langle N,\Sigma, P', S' \rangle</tex> без <tex>\varepsilon</tex>-правил (может присутствовать правило <tex>S \rightarrow \varepsilon</tex>, но в этом случае <tex>S</tex> не встречается в правых частях правил); <tex>L(\Gamma') = L(\Gamma)</tex>. # Добавить все правила из <tex>P</tex> в <tex>P'</tex>.# Найти все <tex>\varepsilon</tex>-порождаюшие нетерминалы.# Для каждого правила вида <tex>A \rightarrow \alpha_0 B_1 \alpha_1 B_2 \alpha_2 \ldots B_k \alpha_k \ </tex> (где <tex>\alpha_i</tex> — последовательности из терминалов и нетерминалов, <tex>B_j</tex> — <tex>\varepsilon</tex>-порождающие нетерминалы) добавить в <tex>P'</tex> все возможные варианты правил, в которых либо присутствует, либо удалён каждый из нетерминалов <tex>B_j\; (1 \leqslant j \leqslant k)</tex>.# Удалить все <tex>\varepsilon</tex>-правила из <tex>P'</tex>.# Если в исходной грамматике <tex>\Gamma</tex> выводилось <tex>\varepsilon</tex>, то необходимо добавить новый нетерминал <tex>S'</tex>, сделать его стартовым, добавить правило <tex>S' \rightarrow S|\varepsilon</tex>. === Доказательство корректности алгоритма ===

|statement= Если грамматика <tex>G\Gamma'</tex> была построена с помощью описанного выше алгоритма по грамматике <tex>G\Gamma</tex>, то <tex>L(G\Gamma') = L(G\Gamma) - \varepsilon</tex>.|proof=Сначала докажем, что, если не выполнять шаг 5 алгоритма, то получится грамматика <tex>\Gamma' : L(\Gamma') = L(\Gamma) \setminus \lbrace \varepsilon \rbrace </tex>.<br/>

<tex>A \oversetunderset{*\Gamma'}{\Rightarrow}^*w</tex> тогда и только тогда, когда <tex>A \underset{G'\Gamma}{\Rightarrow}}^*w</tex> и <tex>w \ne \varepsilon</tex>(*). <tex>\Rightarrow</tex>Пусть <tex>A \ne Sunderset{\Gamma')}{\Rightarrow}^*w</tex>&nbsp; тогда и только тогда&nbsp; <tex>w \ne \varepsilon</tex>.<br/>Докажем индукцией по длине порождения в грамматике <tex>\Gamma'</tex>, когда что <tex>A \oversetunderset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex>.<br/> '''База'''. <tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow} w</tex>.<br/>В этом случае в <tex>\Gamma'</tex> есть правило <tex>A \rightarrow w</tex>. По построению <tex>\Gamma'</tex> в <tex>\Gamma</tex> есть правило <tex>A \rightarrow \alpha</tex>, причем <tex>\alpha</tex> — цепочка <tex>w</tex>, элементы которой, возможно, перемежаются <tex>\varepsilon</tex>-порождающими нетерминалами. Тогда в <tex>\Gamma</tex> есть порождения <tex>A \underset{G\Gamma}{\Rightarrow}\alpha \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex>&nbsp; и&nbsp; .<br/>'''Предположение индукции'''. Пусть из <tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w \ne \varepsilon</tex>менее, чем за <tex>n</tex> шагов, следует, что <tex>A \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex>.<br/>'''Переход'''.Пусть в порождении <tex>n</tex> шагов, <tex>n > 1</tex>. Тогда оно имеет вид <tex>A\underset{\Gamma'}{\Rightarrow}X_1 X_2 \ldots X_k \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w</tex>, где <tex>X_i \in N \cup \Sigma </tex>. Первое использованное правило должно быть построено по правилу грамматики <tex>\Gamma</tex> <tex>A \rightarrow Y_1 Y_2 \ldots Y_m</tex>, где последовательность <tex>Y_1 Y_2 \ldots Y_m</tex> совпадает с последовательностью <tex>X_1 X_2 \ldots X_k</tex>, символы которой, возможно, перемежаются <tex>\varepsilon</tex>-порождающими нетерминалами.<br/>Цепочку <tex>w</tex> можно разбить на <tex>w_1 w_2 \ldots w_k</tex>, где <tex>X_i \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w_i</tex>. Если <tex>X_i</tex> — терминал, то <tex>w_i = X_i</tex>, a если нетерминал, то порождение <tex>X_i \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w_i</tex> содержит менее <tex>n</tex> шагов. По предположению <tex>X_i \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w_i</tex>, значит <tex>A \underset {\Gamma}{\Rightarrow} Y_1 Y_2 \ldots Y_m \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^* X_1 X_2 \ldots X_k \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^* w_1 w_2 \ldots w_k = w</tex>.

Пусть <tex>A \overset{*}underset{\underset{GGamma}{\Rightarrow}}^*w</tex>&nbsp; и&nbsp; <tex>w \ne \varepsilon</tex>.<br/> Докажем индукцией по длине порожденияв грамматике <tex>\Gamma</tex>, что <tex>A \overset{*}underset{\underset{GGamma'}{\Rightarrow}}^*w</tex>.<br/> Обозначим длину порождения за <tex>p</tex>.<br/>:'''БазисБаза'''. <tex>p = 1A \underset{\Gamma}{\Rightarrow} w</tex>.<br/>Правило <tex>A \rightarrow w</tex> является правилом присутствует в <tex>G\Gamma</tex>. Поскольку <tex>w \ne \varepsilon</tex>, эта это же правило будет и в <tex>G\Gamma'</tex>, поэтому <tex>A \overset{*}underset{\underset{GGamma'}{\Rightarrow}}^*w</tex>.<br/>:'''Предположениеиндукции'''. Пусть из <tex>[A \overset{*}underset{\underset{GGamma}{\Rightarrow}}^*w\ne \varepsilon</tex>&nbsp; и&nbsp; менее, чем за <tex>n</tex> шагов, следует, что <tex>w \ne \varepsilon] \Rightarrow [A \overset{*}underset{\underset{GGamma'}{\Rightarrow}}^*w (A \ne S')]</tex>&nbsp; верно для <tex>p < n</tex>.<br/>:'''Переход'''. <tex>p = n</tex><br/>Пусть в порождении <tex>n</tex> шагов, <tex>n > 1</tex>. Тогда оно имеет вид <tex>A\underset{G\Gamma}{\Rightarrow}Y_1 Y_2...\ldots Y_m\overset{*}underset{\underset{GGamma}{\Rightarrow}}^*w</tex>, где <tex>Y_i \in N \cup \Sigma </tex>. Цепочку <tex>w</tex> можно разбить на <tex>w_1 w_2...\ldots w_m</tex>, где <tex>Y_i \overset{*}underset{\underset{G'Gamma}{\Rightarrow}}^*w_i</tex>.<br/>Пусть <tex>X_1Y_{i_1}, X_2Y_{i_2}, ... X_k\ldots, Y_{i_p}</tex> будут теми — подпоследовательность, состоящая из всех элементов, таких, что <tex>Y_jw_{i_k} \ne \varepsilon</tex>(в порядке записи), для которых то есть <tex>w_i Y_{i_1} Y_{i_2} \ldots Y_{i_p} \underset{\ne Gamma}{\varepsilonRightarrow}^*w</tex>. <tex>k p \ge geqslant 1</tex>, поскольку <tex>w \ne \varepsilon</tex>.<br/> Таким образом Значит, <tex>A \rightarrow X_1 X_2 ... X_kY_{i_1} Y_{i_2} \ldots Y_{i_p}</tex> является правилом в <tex>G\Gamma'</tex> по построению <tex>G\Gamma'</tex>. Утверждаем, что <tex> X_1 X_2...X_k \overset{*}{\underset{G}{\Rightarrow}}w</tex>, поскольку только <tex>Y_j</tex>, которых нет среди <tex>X_1, X_2, ... X_k</tex>, использованы для порождения <tex>\varepsilon</tex> и не вносят ничего в порождение <tex>w<br/tex>.Так как каждое из порождений <tex>Y_j Y_i \overset{*}underset{\underset{GGamma}{\Rightarrow}}w_j^*w_i</tex> содержит менее <tex>n</tex> шагов, к ним можно применить предположение индукции и заключить, что , если <tex>w_j w_i \ne \varepsilon</tex>, то <tex>Y_j Y_i \overset{*}underset{\underset{GGamma'}{\Rightarrow}}w_j^*w_i</tex>.<br/>Таким образом , <tex>A \underset{G\Gamma'}{\rightarrowRightarrow} Y_{i_1} Y_{i_2} X_1 X_2 ... X_k \oversetldots Y_{*i_p}{\underset{G\Gamma'}{\Rightarrow}} ^* w</tex>. Подставив <tex>S</tex> вместо <tex>A</tex> в утверждение (*), видим, что <tex>w \in L(\Gamma)</tex> для <tex>w \ne \varepsilon</tex> тогда и только тогда, когда <tex>w \in L(\Gamma')<br/tex>Ч.т.дТак как после выполнения шага 5 алгоритма в <tex>\Gamma'</tex> могло добавиться только пустое слово <tex>\varepsilon</tex>, то язык, задаваемый КС-грамматикой <tex>\Gamma'</tex>, совпадает с языком, задаваемым КС-грамматикой <tex>\Gamma</tex>.

Теперь <tex>\left| \Gamma \right| = O(n)</tex>. Из нетерминала <tex>S</tex> можно доказать корректность:вывести <tex>2^n</tex> сочетаний нетерминалов <tex>T_i</tex>. Таким образом в худшем случае алгоритм работает за <tex>O(2^{{Утверждение\left| \Gamma \right|})</tex>.<br>Рассмотрим теперь грамматику с устраненными [[Удаление_длинных_правил_из_грамматики|длинными правилами]]. После применения данного алгоритма, который работает за <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex>, в грамматике станет на <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex> больше правил, но при этом все они будут размером <tex>O(1)</tex>. Итого по-прежнему <tex>\left| \Gamma \right|statement=Алгоритм корректен: O(n)</tex>. Однако алгоритм удаления <tex>\varepsilon</tex>-правил будет работать за <tex>LO(G\left| \Gamma \right|)=L</tex>, поскольку для каждого правила можно будет добавить только <tex>O(G'1)</tex>сочетаний нетерминалов. |proof=== Пример ===Рассмотрим грамматику:Подставив :<tex>S\rightarrow ABCd</tex> вместо :<tex>A\rightarrow a|\varepsilon</tex> в утверждении выше, видим, что :<tex>w B\in L(G)rightarrow AC</tex> для :<tex>w C\ne rightarrow c|\varepsilon</tex> тогда  В ней <tex>A</tex>, <tex>B</tex> и только тогда, когда <tex>w C</tex> являются <tex>\in L(G')varepsilon</tex>-порождающими нетерминалами.# Переберём для каждого правила все возможные сочетания &epsilon;-порождающих нетерминалов и добавим новые правила:#* <tex>S\rightarrow Ad|ABd|ACd|Bd|BCd|Cd|d</tex> для <tex>S \rightarrow ABCd</tex>#* <tex>B \rightarrow A|C</tex> для <tex>B \rightarrow AC<br/tex> Очевидно, что # Удалим праила <tex>A\rightarrow \varepsilon </tex> и <tex>C\rightarrow \in L(G)varepsilon</tex> тогда и только тогда, когда  В результате мы получим новую грамматику без <tex>\varepsilon </tex>-правил: :<tex>S\in L(G')rightarrow Ad|ABd|ACd|ABCd|Bd|BCd|Cd|d</tex>.:<tex>A\rightarrow a<br/tex> Таким образом, :<tex>B\rightarrow A|AC|C</tex>:<tex>L(G)=L(G')C\rightarrow c</tex> == См. также ==* [[Контекстно-свободные_грамматики,_вывод,_лево-_и_правосторонний_вывод,_дерево_разбора|Контекстно-свободные грамматики]]* [[Нормальная_форма_Хомского|Нормальная форма Хомского]] == Источники информации ==* ''Хопкрофт Д. , Мотвани Р., Ульман Д.'' '''Введение в теорию автоматов, языков и вычислений''', 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 273: ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)}}* [http://en.wikipedia.org/wiki/Chomsky_normal_form Wikipedia — Chomsky normal form]