Алгебра и геометрия 1 курс:Билеты 2 семестра — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(→‎билет №26)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 16 промежуточных версий 4 участников)
Строка 77: Строка 77:
 
===билет №16===  
 
===билет №16===  
 
#[[Тензор|Тензоры (ковариантность, независимое от ПЛФ определение). Пространство тензоров.]]
 
#[[Тензор|Тензоры (ковариантность, независимое от ПЛФ определение). Пространство тензоров.]]
−
#[[Жорданова форма матрицы линейного оператора.]]
+
#[[Жорданова форма матрицы линейного оператора]].
 
#[[Ортогональность|Ортогональность. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.]]
 
#[[Ортогональность|Ортогональность. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.]]
  
Строка 131: Строка 131:
  
 
===билет №27===  
 
===билет №27===  
−
#Ядро и образ линейного  оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.
+
#[[Ядро и образ линейного  оператора|Ядро и образ линейного  оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.]]
−
#Ультраинвариантные подпространства.
+
#[[Ультраинвариантные подпространства]]
−
#Унитарный и ортогональный операторы: основные определения и свойства.
+
#[[Унитарный и ортогональный операторы|Унитарный и ортогональный операторы: основные определения и свойства.]]
  
 
===билет №28===  
 
===билет №28===  
−
#Обратный оператор. Критерий существования обратного оператора.
+
#[[Обратный оператор|Обратный оператор. Критерий существования обратного оператора.]]
−
#Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: основные определения и свойства.
+
#[[Собственные векторы и собственные значения|Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: основные определения и свойства.]]
−
#Эрмитов и самосопряженный операторы в евклидовом пространстве: спектральная теорема, минимальное свойство.
+
#[[Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор|Эрмитов и самосопряженный операторы в евклидовом пространстве: спектральная теорема, минимальное свойство.]]
  
 
===билет №29===  
 
===билет №29===  
−
#Преобразование координат векторов  Х  и  Х* при  замене базиса.
+
#[[Замена базиса|Преобразование координат векторов  Х  и  Х* при  замене базиса.]]
−
#Спектральная теорема и инварианты скалярного оператора. Тождество Кэли.
+
#[[Спектральная теорема|Спектральная теорема и инварианты скалярного оператора. Тождество Кэли.]]
−
#Эрмитов и самосопряженный операторы в евклидовом пространстве: теоремы о скалярном типе эрмитова и самосопряженного оператора.
+
#[[Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор|Эрмитов и самосопряженный операторы в евклидовом пространстве: теоремы о скалярном типе эрмитова и самосопряженного оператора.]]
  
 
===билет №30===  
 
===билет №30===  
−
#Преобразование матрицы линейного оператора  А при  замене базиса. Преобразование подобия.
+
#[[Замена базиса|Преобразование матрицы линейного оператора  А при  замене базиса. Преобразование подобия.]]
−
#Алгебра скалярных полиномов. Идеал.  Минимальный полином.
+
#[[Алгебра скалярных полиномов|Алгебра скалярных полиномов. Идеал.  Минимальный полином.]]
−
#Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор в евклидовом пространстве: основные определения и свойства.
+
#[[Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор|Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор в евклидовом пространстве: основные определения и свойства.]]
  
 
===билет №31===  
 
===билет №31===  
−
#Обратная матрица: критерий обратимости, метод Гаусса вычисления обратной матрицы.
+
#[[Обратная матрица|Обратная матрица: критерий обратимости, метод Гаусса вычисления обратной матрицы.]]
−
#Cпектральный  анализ линейного оператора с простым спектром: спектр,  диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
+
#[[Cпектральный анализ линейного оператора с простым спектром|Cпектральный  анализ линейного оператора с простым спектром: спектр,  диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.]]
−
#Ковариантные и контравариантные координаты вектора. Операции поднятия и  опускания индексов.
+
#[[Ковариантность и контравариантность|Ковариантные и контравариантные координаты вектора. Операции поднятия и  опускания индексов.]]
  
 
===билет №32===  
 
===билет №32===  
−
#Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей.
+
#[[Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей.]]
−
#Спектральная теорема и функциональное исчисление для скалярного оператора.
+
#[[Спектральная теорема|Спектральная теорема и функциональное исчисление для скалярного оператора.]]
−
#Метрический тензор. Естественный изоморфизм евклидова и сопряженного ему пространств.
+
#[[Метрический тензор|Метрический тензор. Естественный изоморфизм евклидова и сопряженного ему пространств.]]
  
 
===билет №33===  
 
===билет №33===  
−
#Транспонирование тензора.
+
#[[Тензор|Транспонирование тензора.]]
−
#Разложение линейного пространства в сумму подпространств. 2-я теорема о ядре и образе. Теорема о проекторах.
+
#[[Разложение линейного пространства в сумму подпространств. 2-я теорема о ядре и образе. Теорема о проекторах.]]
−
#Ортогональные системы векторов: коэффициенты Фурье, неравенство Бесселя, равенство  Парсеваля.
+
#[[Ортогональные системы векторов|Ортогональные системы векторов: коэффициенты Фурье, неравенство Бесселя, равенство  Парсеваля.]]
  
 
===билет №34===  
 
===билет №34===  
−
#Определитель линейного оператора. Внешняя степень оператора.
+
#[[Определитель линейного оператора. Внешняя степень оператора.]]
−
#Структура нильпотентного оператора. Базис Жордана (обзор).
+
#[[Нильпотентные операторы|Структура нильпотентного оператора. Базис Жордана (обзор).]]
−
#Задача о перпендикуляре.
+
#[[Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор. Задача о перпендикуляре|Задача о перпендикуляре.]]
  
 
===билет №35===  
 
===билет №35===  
−
#Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей.
+
#[[Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей.]]
−
#Алгебра операторных полиномов. Минимальный полином линейного оператора.
+
#[[Алгебра операторных полиномов|Алгебра операторных полиномов. Минимальный полином линейного оператора.]]
−
#Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор.
+
#[[Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор. Задача о перпендикуляре|Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор.]]
  
 
===билет №36===  
 
===билет №36===  
−
#Тензоры (ковариантность, независимое от ПЛФ определение). Пространство тен-зоров.
+
#[[Тензор|Тензоры (ковариантность, независимое от ПЛФ определение). Пространство тензоров.]]
−
#Жорданова форма матрицы линейного оператора.
+
#[[Жорданова форма матрицы линейного оператора]]
−
#Ортогональность. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
+
#[[Ортогональность|Ортогональность. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.]]
  
 
===билет №37===  
 
===билет №37===  
−
#Преобразование матрицы линейного оператора  А при  замене базиса. Преобразование подобия.
+
#[[Замена базиса|Преобразование матрицы линейного оператора  А при  замене базиса. Преобразование подобия.]]
−
#Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: существование, вычисление.
+
#[[Собственные векторы и собственные значения|Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: существование, вычисление.]]
−
#Комплексное евклидово пространство. Основные неравенства.
+
#[[Комплексное евклидово пространство|Комплексное евклидово пространство. Основные неравенства.]]
  
 
===билет №38===  
 
===билет №38===  
−
#Ядро и образ линейного  оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.
+
#[[Ядро и образ линейного оператора|Ядро и образ линейного  оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.]]
−
#Cпектральный  анализ скалярного оператора: спектр,  диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
+
#[[Cпектральный анализ скалярного оператора|Cпектральный  анализ скалярного оператора: спектр,  диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.]]
−
#Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство. Основные неравенства.
+
#[[Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство|Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство. Основные неравенства.]]
  
 
===билет №39===  
 
===билет №39===  
−
#Транспонирование тензора.
+
#[[Тензор|Транспонирование тензора.]]
−
#Алгебра скалярных полиномов. Идеал. Минимальный полином.
+
#[[Алгебра скалярных полиномов|Алгебра скалярных полиномов. Идеал. Минимальный полином.]]
−
#Метрические, нормированные и евклидовы пространства.
+
#[[Метрические, нормированные и евклидовы пространства]]
  
 
===билет №40===  
 
===билет №40===  
−
#Свертка  тензора.
+
#[[Тензор|Свертка  тензора.]]
−
#Кратности собственных чисел (алгебраическая, геометрическая, полная). Теорема Гамильтона-Кэли.
+
#[[Кратности собственных чисел|Кратности собственных чисел (алгебраическая, геометрическая, полная). Теорема Гамильтона-Кэли.]]
−
#Квадратичные формы: закон инерции квадратичной формы.
+
#[[Квадратичные формы|Квадратичные формы: закон инерции квадратичной формы.]]

Текущая версия на 19:29, 4 сентября 2022

Господа, я был бы очень рад, если бы вы продолжили мою работу.

билет №1

  1. Линейный оператор
  2. Собственные векторы и собственные значения
  3. Квадратичные формы

билет №2

  1. Пространство линейных операторов
  2. Кратности собственных чисел
  3. Квадратичные формы

билет №3

  1. Алгебра
  2. Cпектральный анализ скалярного оператора
  3. Квадратичные формы

билет №4

  1. Алгебра
  2. Нильпотентные операторы
  3. Квадратичные формы

билет №5

  1. Обратная матрица
  2. Инвариантные подпространства
  3. Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор

билет №6

  1. Обратная матрица
  2. Минимальный полином и инвариантные подпространства
  3. Унитарный и ортогональный операторы

билет №7

  1. Ядро и образ линейного оператора
  2. Собственные векторы и собственные значения
  3. Унитарный и ортогональный операторы

билет №8

  1. Обратный оператор
  2. Собственные векторы и собственные значения
  3. Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор

билет №9

  1. Замена базиса
  2. Спектральная теорема
  3. Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор

билет №10

  1. Замена базиса
  2. Cпектральный анализ линейного оператора с простым спектром
  3. Ковариантность и контравариантность

билет №11

  1. Обратная матрица: критерий обратимости, метод Гаусса вычисления обратной матрицы
  2. Спектральный анализ линейного оператора с простым спектром: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема
  3. Ковариантные и контравариантные координаты вектора. Операции поднятия и опускания индексов

билет №12

  1. Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей
  2. Спектральная теорема и функциональное исчисление для скалярного оператора
  3. Метрический тензор. Естественный изоморфизм евклидова и сопряженного ему пространств

билет №13

  1. Транспонирование тензора
  2. Разложение линейного пространства в сумму подпространств. 2-я теорема о ядре и образе. Теорема о проекторах
  3. Ортогональные системы векторов: коэффициенты Фурье, неравенства Бесселя и Парсеваля

билет №14

  1. Определитель линейного оператора. Внешняя степень оператора.
  2. Cтруктура нильпотентного оператора. Базис Жордана (обзор).
  3. Задача о перпендикуляре.

билет №15

  1. Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей.
  2. Алгебра операторных полиномов. Минимальный полином линейного оператора.
  3. Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор.

билет №16

  1. Тензоры (ковариантность, независимое от ПЛФ определение). Пространство тензоров.
  2. Жорданова форма матрицы линейного оператора.
  3. Ортогональность. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

билет №17

  1. Преобразование матрицы линейного оператора А при замене базиса. Преобразование подобия.
  2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: существование, вычисление.
  3. Комплексное евклидово пространство. Основные неравенства.

билет №18

  1. Ядро и образ линейного оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.
  2. Cпектральный анализ скалярного оператора: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
  3. Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство. Основные неравенства.

билет №19

  1. Транспонирование тензора.
  2. Алгебра скалярных полиномов. Идеал. Минимальный полином.
  3. Метрические, нормированные и евклидовы пространства

билет №20

  1. Свертка тензора.
  2. Кратности собственных чисел (алгебраическая, геометрическая, полная). Теорема Гамильтона-Кэли.
  3. Квадратичные формы: закон инерции квадратичной формы.

билет №21

  1. Линейные операторы и их матричная запись. Примеры.
  2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: существование, вычисление.
  3. Квадратичные формы: одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов.

билет №22

  1. Пространство линейных операторов
  2. Кратности собственных чисел (алгебраическая, геометрическая, полная). Теорема Гамильтона-Кэли
  3. Квадратичные формы: закон инерции квадратичной формы.

билет №23

  1. Алгебра. Примеры. Изоморфизм алгебр.
  2. Cпектральный анализ скалярного оператора: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
  3. Квадратичные формы: приведение к каноническому виду унитарным преобразованием.

билет №24

  1. Алгебра операторов и матриц.
  2. Нильпотентные операторы (определение, простейшие свойства). Жорданова клетка.
  3. Квадратичные формы: основные определения, приведение к каноническому виду методом Лагранжа.

билет №25

  1. Обратная матрица: критерий обратимости, метод Гаусса вычисления обратной матрицы.
  2. Инварианты линейного оператора. Инвариантные подпространства.
  3. Приведение эрмитовой матрицы к диагональному виду унитарным преобразованием.

билет №26

  1. Обратная матрица: критерий обратимости, вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы.
  2. Минимальный полином и инвариантные подпространства. Спектральная теорема для линейного оператора произвольного вида.
  3. Унитарный оператор: теорема о скалярном типе унитарного оператора, спектральная теорема.

билет №27

  1. Ядро и образ линейного оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.
  2. Ультраинвариантные подпространства
  3. Унитарный и ортогональный операторы: основные определения и свойства.

билет №28

  1. Обратный оператор. Критерий существования обратного оператора.
  2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: основные определения и свойства.
  3. Эрмитов и самосопряженный операторы в евклидовом пространстве: спектральная теорема, минимальное свойство.

билет №29

  1. Преобразование координат векторов Х и Х* при замене базиса.
  2. Спектральная теорема и инварианты скалярного оператора. Тождество Кэли.
  3. Эрмитов и самосопряженный операторы в евклидовом пространстве: теоремы о скалярном типе эрмитова и самосопряженного оператора.

билет №30

  1. Преобразование матрицы линейного оператора А при замене базиса. Преобразование подобия.
  2. Алгебра скалярных полиномов. Идеал. Минимальный полином.
  3. Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор в евклидовом пространстве: основные определения и свойства.

билет №31

  1. Обратная матрица: критерий обратимости, метод Гаусса вычисления обратной матрицы.
  2. Cпектральный анализ линейного оператора с простым спектром: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
  3. Ковариантные и контравариантные координаты вектора. Операции поднятия и опускания индексов.

билет №32

  1. Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей.
  2. Спектральная теорема и функциональное исчисление для скалярного оператора.
  3. Метрический тензор. Естественный изоморфизм евклидова и сопряженного ему пространств.

билет №33

  1. Транспонирование тензора.
  2. Разложение линейного пространства в сумму подпространств. 2-я теорема о ядре и образе. Теорема о проекторах.
  3. Ортогональные системы векторов: коэффициенты Фурье, неравенство Бесселя, равенство Парсеваля.

билет №34

  1. Определитель линейного оператора. Внешняя степень оператора.
  2. Структура нильпотентного оператора. Базис Жордана (обзор).
  3. Задача о перпендикуляре.

билет №35

  1. Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей.
  2. Алгебра операторных полиномов. Минимальный полином линейного оператора.
  3. Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор.

билет №36

  1. Тензоры (ковариантность, независимое от ПЛФ определение). Пространство тензоров.
  2. Жорданова форма матрицы линейного оператора
  3. Ортогональность. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

билет №37

  1. Преобразование матрицы линейного оператора А при замене базиса. Преобразование подобия.
  2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: существование, вычисление.
  3. Комплексное евклидово пространство. Основные неравенства.

билет №38

  1. Ядро и образ линейного оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.
  2. Cпектральный анализ скалярного оператора: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
  3. Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство. Основные неравенства.

билет №39

  1. Транспонирование тензора.
  2. Алгебра скалярных полиномов. Идеал. Минимальный полином.
  3. Метрические, нормированные и евклидовы пространства

билет №40

  1. Свертка тензора.
  2. Кратности собственных чисел (алгебраическая, геометрическая, полная). Теорема Гамильтона-Кэли.
  3. Квадратичные формы: закон инерции квадратичной формы.
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Алгебра_и_геометрия_1_курс:Билеты_2_семестра&oldid=85327»