Кратности собственных чисел

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Алгебраическая кратность[править]

Определение:
Алгебраической кратностью [math]m_i[/math], отвечающей собственному значению [math]\lambda_i[/math] называется порядок нильпотентности оператора [math]\mathcal{J}[/math](нильпотентной добавки в спектральной компоненте [math]\mathcal{A}_i[/math])

NB: [math]m_i[/math] - кратность корня [math]\lambda_i[/math] минимального полинома [math]p_A(\lambda)[/math]

NB2: [math]m_i[/math] - максимальный размер Жорданова блока в матрице [math]A_i=\lambda_i E_i + T_i[/math]

Геометрическая кратность[править]

Определение:
Геометрической(спектральной) кратностью [math]r_i \longleftrightarrow[/math] с.з [math]\lambda_i[/math] называется размерность собственного подпространства, соответствующего этому с.з:

[math]r_i = \dim L_{\lambda_i} = \dim Ker(A-\lambda_i J)[/math]

NB: [math]r_i[/math] равна числу Жордановых блоков в соответствующей матрице [math]A_i[/math] компоненты [math]\mathcal{A}_i[/math]

Полная кратность[править]

Определение:
Полной кратностью [math]n_i[/math], соответствующей с.з. [math]\lambda_i[/math] называется размерность ультраинвариантного подпространства, соответствующего этому с.з:

[math]n_i = \dim L_i = \dim Ker(A-\lambda_i J)^{m_i}[/math]

NB: [math]n_i[/math] - также кратность корня [math]\lambda_i[/math] характеристического полинома [math]\mathcal{X}_A(\lambda)[/math]

NB2: [math]n_i[/math] - также размер блока, соответствующего спектральной компоненте [math]\mathcal{A}_i[/math], т.е. размер матрицы [math]A_i=\lambda_i E_i + T_i[/math]

Теорема Гамильтона-Кэли[править]

Теорема (Гамильтон, Кэли):
Для любого оператора общего вида выполняются три факта:

[math]1)[/math] Полином [math]\mathcal{X}_A(\lambda)[/math] является аннулирующим

[math]2) \; \mathcal{X}_A(\lambda)\: \vdots \: p_A(\lambda)[/math]

[math]3) \; \mathcal{X}_A(\lambda)= p_A(\lambda) \Longleftrightarrow \forall i=1...n[/math] выполняется [math]m_i=n_i(r_i=1)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \mathcal{X}_A(\lambda)= \prod\limits_{i=1}^k{(\lambda - \lambda_i)^{n_i}}[/math];

[math] p_A(\lambda)= \prod\limits_{i=1}^k{(\lambda - \lambda_i)^{m_i}}[/math]; [math]m_i\le n_i[/math]; поделим одно на другое:

[math]\frac{\mathcal{X}_A(\lambda)}{p_A(\lambda)} = \prod\limits_{i=1}^k{(\lambda - \lambda_i)^{n_i-m_i}}[/math], т.е. второе утверждение верно

тогда характеристический полином получается из идеала соответствующего аннулирующего полинома и тождество Кэли сохраняется: [math]\mathcal{X}_A(\lambda)=0[/math]
[math]\triangleleft[/math]