Алгоритм Райта

Алгоритм Райта (англ. Raita algorithm) — алгоритм поиска подстроки в строке, который опубликовал Тим Райта в 1991 году, являющийся модификацией алгоритма Бойера-Мура и улучшающий его асимптотику.

Описание алгоритма

Алгоритм Райта ищет образец [math]x[/math] в заданном тексте [math]y[/math], сравнивания их символы. Окном текста [math]y[/math] будем называть последовательность символов [math]i \dots m - i + 1[/math], где [math]m[/math] — длина образца [math]x[/math]. Сравнение происходит в следующем порядке:

1. Последний символ образца сравнивается с самым правым символом окна.
2. Если они совпадают, то первый символ сравнивается с самым левым символом окна.
3. Если они опять совпали, то сравниваются символы, находящиеся в середине образца и окна.

Если все шаги прошли успешно, то начинаем сравнивать образец и текст посимвольно в обычном порядке, начиная с второго с конца символа. В противном случае вызываем функцию выполнения сдвига плохого символа, которая отработала в стадии препроцессинга. Эта функция аналогична той, которая была использована в фазе препроцессинга алгоритма Бойера-Мура. Кроме того, в третьем шаге, в зависимости от специфики текста, можно брать не средний символ, а случайный, либо с каким-то определенным индексом.

Псевдокод

Функция поиска индекса первого вхождения сивола в массиве [math]y[/math] с позиции [math] \mathtt{fromIndex}[/math] до позиции [math] \mathtt{toIndex}[/math]:

int findFirst(char[] y, int fromIndex, int toIndex, char symbol):
   for (i = fromIndex .. toIndex)
      if (y[i] == symbol)
         return i
   return -1

Проверка, что все символы в [math]y[/math] с позиции [math]\mathtt{fromIndex}[/math] и до [math]\mathtt{toIndex}[/math] и [math]x[/math] с начала и до конца совпадают:

boolean restEquals(char[] y, int fromIndex, char[] x, int toIndex):
   for (i = fromIndex .. toIndex)
      if (y[i] != x[i - fromIndex])
         return false
   return true

Стадия препроцессинга (совпадает со стадией препроцессинга в алгоритме Бойера-Мура):

int[] preBmBc(char[] x, int m): 
   int[] result = int[ASIZE]
   //Где ASIZE — размер алфавита
   for (i = 0 .. ASIZE - 1)
      result[i] = m;
   for (i = 0 .. m - 2)
      result[x[i]] = m - i - 1;
   return result

Основная стадия алгоритма:

void RAITA(char[] x, int m, char[] y, int n): 
   int[] bmBc
   char c, firstCh, middleCh, lastCh;
   if (m == 0)
      return
   else if (m == 1) 
      //Проверка на случай поиска вхождения одного символа
      int match = 0
      while (match < n) 
         match = findFirst(y, match, n - 1, x[0])
         if (match != -1) 
            print(match)
         else
            print("No matches")
         return
   //Вычисление массива плохих сиволов и объявление первого, последнего и среднего сиволов
   bmBc = preBmBc (x, m)
   firstCh = x[0];
   middleCh = x[m/2];
   lastCh = x[m - 1];
   //Поиск
   int j = 0
   while (j <= n - m) 
      c = y[j + m - 1]
      if (lastCh == c && middleCh == y[j + m / 2] && firstCh == y[j] &&   //Совпадение шаблона и окна из текста
         restEquals(y, j + 1, x, j + m - 2))
         print(j)
         return
      j += bmBc[c];
   print("No matches")

Асимптотика

• Фаза препроцессинга требует [math]O(m + \sigma)[/math] времени и памяти, где [math]\sigma[/math] — размер алфавита.
• В худшем случае поиск требует [math]O(m \cdot n)[/math] сравнений.

Пример: текст, состоящий только из букв [math]a[/math] и образец [math]aa..baa[/math]. В таком случае [math]BmBc[a][/math] будет равен [math]1[/math], то есть после каждой фазы сравнений мы будем сдвигаться на [math]1[/math]. Значит, всего будет [math]n[/math] фаз сравнений, а каждая фаза отработает за [math]m - 2[/math], поскольку расхождение будет только в третьем с конца символе, то мы сравним сначала последний, потом первый, потом средний, а затем пойдем с самого начала, сравнивая все символы подряд. Итого получаем асимптотику [math]O(m \cdot n)[/math]

• В лучшем случае требует [math] \Omega(n / m)[/math] сравнений.

Пример: текст вида [math]a..ba..ab..a[/math] и образец [math]ba..ab[/math]. В таком случае [math]BmBc[b][/math] будет равен [math]m - 1[/math]. Значит, всего будет не более чем [math]n / (m - 1)[/math] фаз сравнений, а каждая фаза (кроме той, в которой мы нашли вхождение строки) будет работать за [math]1[/math], поскольку расхождение будет уже в последних символах. Итого получаем асимптотику [math] \Omega(n / m)[/math]

Сравнение с Алгоритмом Бойера-Мура

Верхняя кривая — алгоритм Бойера-Мура, нижняя — Райта

В своей статье Тим Райта экспериментально проверил ускорение алгоритма на реальных текстах. Тесты были приведены в техническом отчете, написанном на английском языке. Длина текста составила [math]29 550[/math] символов. Использовался ASCII алфавит (подразумевается теоритический размер алфавита, равный [math]128[/math], в тексте было использовано только [math]85[/math] символов.) Шаблоны длиной [math]2-20[/math] символов случайно выбирались из текста, а затем проходил их поиск в тексте. (См. рисунок)

Результат показывает ускорение модификации алгоритма на [math]21-27\%[/math] относительно оригинального на всех шаблонах. Шаблон встречался в тексте как минимум один раз (из-за метода его выбора). Однако, результаты теста на шаблонах, которые не встречались в тексте, были очень похожи на верхнюю кривую. Очевидно, что шаблоны, имеющие часто встречающиеся суффиксы, такие как [math]-ion[/math] или [math]-ed[/math] вносят наибольший вклад в быстродействие модификации. (В алгоритме Бойера-Мура мы будем идти с конца, пока не найдем различия, то есть произведем сравнение на всем суффиксе, в то время как в алгоритме Райта мы выйдем сразу после несовпадения первых символов).

Кроме того, производительность растет с увеличением [math]m[/math], поскольку вклад сравнений первого, последнего и среднего символа уменьшается. С другой стороны, производительность ухудшается с уменьшением размера алфавита, поскольку вероятность того, что первый, средний и последний символ из шаблона и текста совпадут, увеличивается. Однако Тим Райта в своей статье пишет, что несмотря на теоритическую возможность ухудшения, на практике, скорее всего, разница будет заметна лишь на очень маленьких алфавитах (например, длины [math]2[/math]).

Пример

Пусть нам дана строка [math]y = GCATCGCAGAGAGTATACAGTACG[/math] и образец [math]x=GCAGAGAG[/math]

Построим массив [math]bmBc[/math]:

Рассмотрим шаги алгоритма:

Изображение	[math](j, bmBc[y[j]])[/math]	Описание
	[math](7, 1)[/math]	Сравниванием последние символы, они неравны, поэтому сдвигаемся.
	[math](8, 2)[/math]	Последние символы совпали, сравниваем первые, сдвигаемся.
	[math](10, 2)[/math]	Последние символы совпали, сравниваем первые, сдвигаемся.
	[math](12, 2)[/math]	Совпали последний, первый и средний символы, пробегаемся по всему шаблону и сравниваем символы. Нашли строчку в тексте. Продолжим работу (для примера, в обычном варианте на этом этапе мы можем выйти, если требуется найти только одно вхождение) и сдвинемся.
	[math](14, 1)[/math]	Делаем сравнение последних символов, оно неудачно, сдвигаемся.
	[math](15, 8)[/math]	Делаем сравнение последних символов, оно неудачно, сдвигаемся.
	[math](23, 2)[/math]	Последние символы совпали, сравниваем первые, сдвигаемся. Строка закончилась, выходим.

В итоге, чтобы найти одно вхождение образца длиной [math]m = 8[/math] в образце длиной [math]n = 24[/math], нам понадобилось [math]18[/math] сравнений символов.

См. также

• Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта
• Алгоритм Бойера-Мура
• Алгоритм Апостолико-Крочемора

Источники информации

• Exact string matching algorithms — Raita algorithm
• Wikipedia — Raita algorithm
• UFPE — Оригинальная статья