Двусторонний алгоритм

Двусторонний алгоритм (англ. Two Way algorithm) — алгоритм поиска подстроки в строке.

Характерные черты

• Требует упорядоченный алфавит,
• этап предобработки занимает [math]O(m)[/math] времени и константное количество памяти,
• этап поиска за время [math]O(n)[/math], где [math]m[/math] — длина образца, а [math]n[/math] — длина текста.

Описание алгоритма

Строка [math]x[/math] разбивается на две части [math]u[/math] и [math]v[/math] так, что [math]x = uv[/math]. Затем фаза поиска в двустороннем алгоритме состоит в сравнении символов [math]v[/math] слева направо, и затем, если на первом этапе не происходит несовпадений, в сравнении символов [math]u[/math] справа налево (второй этап). Фаза предобработки, таким образом, заключается в поиске подходящего разбиения [math](u, v)[/math].

Определение:

[math](u, v)[/math] — разбиение строки [math]x[/math], если [math]x = uv[/math].

Определение:

Пусть [math](u, v)[/math] — разбиение [math]x[/math]. Повторение в [math](u, v)[/math] — слово [math]w[/math] такое, что для него выполнены следующие условия: [math]w[/math] — суффикс [math]u[/math] или [math]u[/math] — суффикс [math]w[/math]. [math]w[/math] — префикс [math]v[/math] или [math]v[/math] — префикс [math]w[/math].

Определение:

Длина повторения в [math](u, v)[/math] называется локальным периодом; наименьший локальный период записывается как [math]r(u, v)[/math]. Каждое разбиение [math]x[/math] на [math](u, v)[/math] имеет как минимум одно повторение. Очевидно, что [math]1 \leqslant r(u, v) \leqslant |x|[/math]

Определение:

Разбиение [math]x[/math] на [math](u, v)[/math] такое, что [math]r(u, v) = per(x)[/math] называется критическим разбиением [math]x[/math].

Если [math](u, v)[/math] — критическое разбиение [math]x[/math], то на позиции [math]|u|[/math] в [math]x[/math] общий и локальный периоды одинаковы. Двусторонний алгоритм находит критическое разбиение [math](u, v)[/math] такое, что [math]|u| \lt per(x)[/math] и длина [math]|u|[/math] минимальна. Чтобы найти критическое разбиение [math](u, v)[/math] мы сперва вычислим [math]z[/math] — максимальный суффикс [math]x[/math] в лексикографическом порядке, характерном для заданного алфавита [math]\leqslant[/math] и максимальный суффикс [math]\widetilde{z}[/math] для обратного лексикографического порядка [math]\geqslant[/math]. Затем [math](u, v)[/math] выбираются так, что [math]|u| = \max(|z|, |\widetilde{z}|)[/math].

Фаза поиска в двустороннем алгоритме состоит из сравнения символов [math]v[/math] слева направо и символов [math]u[/math] справа налево. Когда происходит несовпадение при просмотре [math]k[/math]-го символа в [math]v[/math], производится сдвиг длиной [math]k[/math]. Когда происходит несовпадение при просмотре [math]u[/math] или когда образец встретился в строке, производится сдвиг длиной [math]per(x)[/math]. Такие действия приводят к квадратичной работе алгоритма в худшем случае, но этого можно избежать запоминанием префикса: когда производится сдвиг длиной [math]per(x)[/math], длина совпадающего префикса образца в начале "окна" (а именно [math]m - per(x)[/math]) после сдвига запоминается, чтобы не просматривать ее заново при следующем проходе.

Псевдокод

function twoWaySearch(String pattern, String text): vector<int>
    //предобработка [math]-[/math] вычисление критической позиции (в которой строка делится на [math]u[/math] и [math]v[/math])
    [math]\langle[/math]l1, p1[math]\rangle[/math] = maxSuffix(pattern, [math]\leqslant[/math])
    [math]\langle[/math]l2, p2[math]\rangle[/math] = maxSuffix(pattern, [math]\geqslant[/math])
    [math]\langle[/math]l, p[math]\rangle[/math] = l1 [math]\geqslant[/math] l2 ? [math]\langle[/math]l1, p1[math]\rangle[/math] : [math]\langle[/math]l2, p2[math]\rangle[/math]
    //[math]p[/math] [math]-[/math] период [math]x[/math], [math]l[/math] [math]-[/math] такая критическая позиция, что [math]l\lt p[/math]
    vector<int>  occurences  // набор всех вхождений образца в текст
    int pos = 0
    int memPrefix = 0
    while pos + pattern.length [math]\leqslant[/math] text.length
    //первый этап: просмотр [math]v[/math] слева направо
        int i = max(l, memPrefix) + 1
        while i [math]\leqslant[/math] pattern.length and pattern[i] = text[pos + i]
            i++
        if i [math]\leqslant[/math] pattern.length
            pos = pos + max(i - l, memPrefix - p + 1)
            memPrefix = 0
        else
            //второй этап: просмотр [math]u[/math] справа налево
            int j = l
            while j [math] \gt  [/math] memPrefix and pattern[j] [math]=[/math] text[pos + j]
                j--
            if j [math]\leqslant[/math] memPrefix
                occurences.pushBack(pos)  
            pos = pos + p
            memPrefix = pattern.length - p
    return occurences

Ценность алгоритма

Двусторонний алгоритм отчасти похож на алгоритм Бойера-Мура (просмотр символов справа налево и сдвиг позиции при несовпадении на втором этапе), и в лучшем случае работает немногим медленнее его, а в худшем — значительно превосходит, но главное отличие двустороннего алгоритма от алгоритмов Кнута-Морриса-Пратта и Бойера-Мура — константное количество затрачиваемой дополнительной памяти.

Именно этот алгоритм (при выполнении ряда условий) используется в реализации поиска подстроки в glibc.

См. также

• Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта
• Алгоритм Бойера-Мура

Источники информации

• Оригинал статьи (M. Crochemore, D. Perrin)
• Краткое описание алгоритма, пример работы