Изменения

Любая [[Конечная группа| конечная группа ]] <tex>G</tex> порядка <tex>n</tex> изоморфна некоторой подгруппе [[Умножение перестановок, обратная перестановка, группа перестановок|группы перестановок ]] (подгруппе симметрической группы <tex>S_n</tex>).

<tex>S_n</tex>(симметрическая группа) {{---}} множество перестановок с <tex>n</tex> элементами с операцией <tex>\circ</tex>. Пусть <tex>\circ</tex> {{---}} бинарная операция в конечной группе <tex>G=\{g_1, g_2,...\ldots,g_n\}</tex>.

<tex> f_g=\begin{bmatrix} g_1 & g_2 & ... \ldots & g_n \\ f_g(g_1) & f_g(g_2) & ... \ldots & f_g(g_n) \end{bmatrix},</tex> где <tex>f_g(x) = g \circ x</tex>.

Примером и иллюстрацией для данной теоремы является группа Рассмотрим конечную группу <tex> G= \mathbb Z_3=\{0, 1, 2\}</tex> с операцией <tex>\circ </tex> {{---}} группа остатков сложения по модулю <tex>3</tex>. Найдём подгруппу <tex>K</tex>, изоморфную группе <tex>\mathbb{Z}_3</tex>, то есть найдём отображение <tex>\mathbb{Z}_3</tex> в <tex>K</tex>. Пусть <tex>\ \varphi :\mathbb{Z}_3\rightarrow K</tex> <tex>K = \{\varphi(g) : g \in \mathbb{Z}_3\}</tex> и <tex> \varphi(g)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ f_g(0) & f_g(1) & f_g(2) \end{bmatrix}, с операцией сложения</tex> где <tex> f_g(x) = g \circ x</tex>.

Пусть При этом <tex>K\ subseteq S_3</tex>, где <tex>S_3</tex> {{---}} группа всех перестановок с <tex>3</tex> элементами с операцией <tex>\circ</tex>. То есть <tex> \varphi :(g)=\mathbbbegin{Zbmatrix}_30 & 1 & 2 \\ g\circ 0 & g\circ 1 & g\circ 2 \rightarrow S_3end{bmatrix}</tex>. Тогда находим три перестановки, составляющие группу <tex>K</tex>:

* [http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley's_theorem Wikipedia {{---}} Cayley's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia]