Основные определения, связанные со строками — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Базовые определения)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 13 промежуточных версий 11 участников)
Строка 5: Строка 5:
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 +
|id=alphabet
 
|definition =
 
|definition =
 
'''Алфавит''' (англ. ''alphabet'') {{---}} конечное непустое [[Множества|множество]] символов. Условимся обозначать алфавит большой греческой буквой <tex>\Sigma</tex>.
 
'''Алфавит''' (англ. ''alphabet'') {{---}} конечное непустое [[Множества|множество]] символов. Условимся обозначать алфавит большой греческой буквой <tex>\Sigma</tex>.
Строка 11: Строка 12:
 
Наиболее часто используются следующие алфавиты:
 
Наиболее часто используются следующие алфавиты:
 
* <tex>\Sigma=\{0, 1\}</tex> {{---}} бинарный или двоичный алфавит.
 
* <tex>\Sigma=\{0, 1\}</tex> {{---}} бинарный или двоичный алфавит.
−
* <tex>\Sigma=\{a, b, ...,z\}</tex> {{---}} множество строчных букв английского алфавита.
+
* <tex>\Sigma=\{a, b, \dots,z\}</tex> {{---}} множество строчных букв английского алфавита.
 
* <tex>\Sigma = \left\{0, 1, 2, \dots, 9\right\} </tex> {{---}} алфавит цифр.
 
* <tex>\Sigma = \left\{0, 1, 2, \dots, 9\right\} </tex> {{---}} алфавит цифр.
 
* <tex>\Sigma = \left\{\cdot, -\right\} </tex> {{---}} алфавит, лежащий в основе азбуки Морзе.
 
* <tex>\Sigma = \left\{\cdot, -\right\} </tex> {{---}} алфавит, лежащий в основе азбуки Морзе.
Строка 68: Строка 69:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id=border
 
|id=border
−
|definition='''Бордер''' (англ. ''circumfix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \gamma \alpha = \alpha \eta = \alpha \mu \alpha</tex>.
+
|definition='''Бордер''' (англ. ''circumfix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \gamma \alpha = \alpha \eta</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 91: Строка 92:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=Пусть известна строка <tex>\tau</tex> {{---}} период <tex>\alpha</tex> и <tex>|\alpha|</tex>, тогда можно восстановить всю строку <tex>\alpha</tex>.
 
|statement=Пусть известна строка <tex>\tau</tex> {{---}} период <tex>\alpha</tex> и <tex>|\alpha|</tex>, тогда можно восстановить всю строку <tex>\alpha</tex>.
−
|proof=Из определения периода строки следует, что <tex>\alpha[1 \dots |\tau|] = \alpha[|\tau| + 1 \dots 2 \cdot |\tau|] = \dots = \alpha[|\tau| \cdot (k - 1) + 1 \dots |\tau| \cdot k] </tex>, где <tex>k = </tex> <tex dpi="140">\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \rfloor</tex>.  
+
|proof=Из определения периода строки следует, что <tex>\alpha[1 \dots |\tau|] = \alpha[|\tau| + 1 \dots 2 \cdot |\tau|] = \dots = \alpha[|\tau| \cdot (k - 1) + 1 \dots |\tau| \cdot k] </tex>, где <tex>k = </tex> <tex dpi="140">\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor</tex>.  
  
−
Таким образом <tex>\alpha = </tex><tex dpi="140">\sum \limits_{i=1}^{\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \rfloor}</tex><tex> \tau + \tau[1 \dots |\alpha| \bmod |\tau|]</tex>.
+
Таким образом <tex>\alpha = </tex><tex dpi="140">\sum \limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor}</tex><tex> \tau + \tau[1 \dots |\alpha| \bmod |\tau|]</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 110: Строка 111:
  
 
Пусть <tex>\beta = abr\underline{aca}dabra</tex>, тогда <tex>\alpha = aca</tex> {{---}} подстрока строки <tex>\beta</tex>.
 
Пусть <tex>\beta = abr\underline{aca}dabra</tex>, тогда <tex>\alpha = aca</tex> {{---}} подстрока строки <tex>\beta</tex>.
 +
 +
{{Определение
 +
|id=repetition
 +
|definition='''Тандемным повтором''' (англ. ''repetition'') называется непустая строка вида <math>\alpha\alpha</math>.
 +
}}
 +
 +
{{Определение
 +
|id=palindrome
 +
|definition='''Палиндромом''' (англ. <i>Palindrome</i>) называется строка вида <tex>\alpha\overline{\alpha}</tex> или <tex>\alpha c\overline{\alpha}</tex>, где <tex>\overline{\alpha}</tex> {{---}} развернутая строка <tex>\alpha</tex>, <tex>c</tex> {{---}} любой символ.
 +
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 118: Строка 129:
 
''или''
 
''или''
  
−
2. <tex> \mathcal {9} k : k \leqslant \min(|\alpha|, |\beta|) </tex> и <tex> \alpha[k] < \beta[k] </tex>, при этом <tex> \mathcal {8} j < k : \alpha_j = \beta_j </tex>
+
2. <tex> \mathcal \exists k : k \leqslant \min(|\alpha|, |\beta|) </tex> и <tex> \alpha[k] < \beta[k] </tex>, при этом <tex> \mathcal \forall j < k : \alpha_j = \beta_j </tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 153: Строка 164:
 
* <tex>(\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)</tex> {{---}} аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.
 
* <tex>(\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)</tex> {{---}} аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.
 
* <tex>(\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*</tex> {{---}} содержит все двоичные векторы и пустую строку.
 
* <tex>(\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*</tex> {{---}} содержит все двоичные векторы и пустую строку.
−
* Если <tex>L_p</tex> — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык <tex>(L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*))</tex> будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.
+
* Если <tex>L_p</tex> — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык <tex>(L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*)) \ \ </tex> будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.
 
* <tex>\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}</tex>.
 
* <tex>\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}</tex>.
  

Текущая версия на 19:35, 4 сентября 2022

Базовые определения

Определение:
Символ (англ. symbol) — объект, имеющий собственное содержание и уникальную читаемую форму.


Определение:
Алфавит (англ. alphabet) — конечное непустое множество символов. Условимся обозначать алфавит большой греческой буквой [math]\Sigma[/math].


Наиболее часто используются следующие алфавиты:

  • [math]\Sigma=\{0, 1\}[/math] — бинарный или двоичный алфавит.
  • [math]\Sigma=\{a, b, \dots,z\}[/math] — множество строчных букв английского алфавита.
  • [math]\Sigma = \left\{0, 1, 2, \dots, 9\right\} [/math] — алфавит цифр.
  • [math]\Sigma = \left\{\cdot, -\right\} [/math] — алфавит, лежащий в основе азбуки Морзе.
  • Нотные знаки


Определение:
Слово (англ. string) или цепочка — конечная последовательность символов некоторого алфавита.


Определение:
Длина цепочки (англ. string length) — число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки [math]w[/math] обычно обозначают [math]|w|[/math].


Определение:
[math]\Sigma^k[/math] — множество цепочек длины [math]k[/math] над алфавитом [math]\Sigma[/math].


Определение:
[math]\Sigma^* = \bigcup \limits _{k=0}^\infty \Sigma^k[/math] — множество всех цепочек над алфавитом [math]\Sigma[/math].


Определение:
Пусть [math]\alpha,\ \beta \in \Sigma^*[/math]. Тогда [math] \alpha \cdot \beta [/math] или [math] \alpha \beta [/math] обозначает их конкатенацию (англ. concatenation), то есть цепочку, в которой последовательно записаны цепочки [math] \alpha [/math] и [math] \beta [/math].


Определение:
Пустая цепочка (англ. empty string) — цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую [math] \varepsilon [/math], можно рассматривать как цепочку в любом алфавите. Для любой строки [math]\alpha \in \Sigma^k[/math] верно [math] : \alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha[/math].


Множество строк с операцией конкатенации и нейтральным элементом пустой строкой образует свободный моноид.

Отношения между строками

Определение:
Префикс (англ. prefix) строки [math]\beta[/math] — строка [math]\alpha : \beta = \alpha \gamma[/math].


Пусть [math]\beta = \underline{abr}acadabra[/math], тогда [math]\alpha = abr[/math] — префикс [math]\beta[/math].


Определение:
Суффикс (англ. suffix) строки [math]\beta[/math] — строка [math]\alpha : \beta = \gamma \alpha [/math].


Пусть [math]\beta = abracada\underline{bra}[/math], тогда [math]\alpha = bra[/math] — суффикс [math]\beta[/math].


Определение:
Бордер (англ. circumfix) строки [math]\beta[/math] — строка [math]\alpha : \beta = \gamma \alpha = \alpha \eta[/math].


Пусть [math]\beta = \underline{abra}cad\underline{abra}[/math], тогда [math]\alpha = abra[/math] — бордер [math]\beta[/math].


Определение:
[math]\alpha[i][/math] — символ строки [math]\alpha[/math], находящийся на [math]i[/math]-ой позиции.


Пусть [math]\beta = cacao[/math], тогда [math]\beta[1] = c, \beta[4] = a [/math].


Определение:
Период (англ. period) строки [math]\alpha[/math] — число [math]p : \forall i = 1 \ldots |\alpha| - p, \alpha [i] = \alpha[i + p][/math].


Пусть [math]\alpha = acaacaa[/math], тогда [math]p = 3[/math] — период строки [math]\alpha = acaacaa[/math].


Утверждение:
Пусть известна строка [math]\tau[/math] — период [math]\alpha[/math] и [math]|\alpha|[/math], тогда можно восстановить всю строку [math]\alpha[/math].
[math]\triangleright[/math]

Из определения периода строки следует, что [math]\alpha[1 \dots |\tau|] = \alpha[|\tau| + 1 \dots 2 \cdot |\tau|] = \dots = \alpha[|\tau| \cdot (k - 1) + 1 \dots |\tau| \cdot k] [/math], где [math]k = [/math] [math]\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor[/math].

Таким образом [math]\alpha = [/math][math]\sum \limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor}[/math][math] \tau + \tau[1 \dots |\alpha| \bmod |\tau|][/math].
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Строка [math]\alpha \neq \varepsilon[/math] c периодом [math]p \neq |\alpha|[/math], называется сильнопериодической, если [math]|\alpha| \bmod p = 0[/math].


Строка [math]\alpha = acaacaaca[/math] является сильнопериодической с периодом [math]p = 3[/math].


Определение:
Подстрока (англ. substring) — некоторая непустая подпоследовательность подряд идущих символов строки.


Пусть [math]\beta = abr\underline{aca}dabra[/math], тогда [math]\alpha = aca[/math] — подстрока строки [math]\beta[/math].


Определение:
Тандемным повтором (англ. repetition) называется непустая строка вида [math]\alpha\alpha[/math].


Определение:
Палиндромом (англ. Palindrome) называется строка вида [math]\alpha\overline{\alpha}[/math] или [math]\alpha c\overline{\alpha}[/math], где [math]\overline{\alpha}[/math] — развернутая строка [math]\alpha[/math], [math]c[/math] — любой символ.


Определение:
Строка [math]\alpha[/math] лексикографически меньше строки [math]\beta[/math] ([math]\alpha \lt \beta[/math]), если

1. [math]\alpha[/math] — префикс [math]\beta[/math]

или

2. [math] \mathcal \exists k : k \leqslant \min(|\alpha|, |\beta|) [/math] и [math] \alpha[k] \lt \beta[k] [/math], при этом [math] \mathcal \forall j \lt k : \alpha_j = \beta_j [/math]


Строка [math]\alpha = aca \lt \beta = acaaba[/math], так как является префиксом [math]\beta[/math].

Строка [math]\alpha = acaa \lt \beta = acab[/math], так как [math]a \lt b[/math].

Формальные языки

Определение:
Язык (англ. language) над алфавитом [math]\Sigma[/math] — некоторое подмножество [math]\Sigma^*[/math]. Иногда такие языки называют формальными (англ. formal), чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.

Отметим, что язык в [math]\Sigma[/math] не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы [math]\Sigma[/math]. Поэтому, если известно, что [math]L[/math] является языком над [math]\Sigma[/math], то можно утверждать, что [math]L[/math] — это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством [math]\Sigma[/math].

Операции над языками

Пусть [math]L[/math] и [math]M[/math] — языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.

  1. Теоретико-множественные операции:
    • [math]L \cup M[/math] — объединение,
    • [math]L \cap M [/math] — пересечение,
    • [math]L \setminus M[/math] — разность,
    • [math]\overline{L}=\Sigma^* \setminus L[/math] — дополнение.
  2. Конкатенация: [math]LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}[/math].
  3. Конкатенация с обратным языком: [math]LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}[/math]; конкатенация с обратным словом: [math]Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, y \in \Sigma^*[/math].
  4. Степень языка: [math]L^k=\begin{cases} \{\varepsilon\}, k = 0\\ LL^{k-1}, k \gt 0. \end{cases} [/math]
  5. Замыкание Клини: [math]L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i[/math].
  6. Гомоморфизм

Примеры

  • [math](\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)[/math] — язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.
  • [math](\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)[/math] — аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.
  • [math](\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*[/math] — содержит все двоичные векторы и пустую строку.
  • Если [math]L_p[/math] — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык [math](L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*)) \ \ [/math] будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.
  • [math]\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}[/math].

Гомоморфизм языков

Определение:
Пусть даны два алфавита [math]\Sigma_1, \Sigma_2[/math]. Гомоморфизмом называется такое отображение [math] \varphi \colon \Sigma_{1}^{*} \to \Sigma_{2}^{*}[/math], что:
  • [math]\varphi(\varepsilon) = \varepsilon[/math], то есть сохраняет пустую строку
  • [math]\forall w_1, w_2 \in \Sigma_1^*: \varphi(w_1w_2) = \varphi(w_1)\varphi(w_2)[/math], то есть сохраняет конкатенацию


Определение:
Образом языка [math]L \subset \Sigma_1^* [/math] при гомоморфизме [math]\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*[/math] (иногда называют прямым гомоморфизмом) называется язык [math]M = \varphi(L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ \varphi(x) \mid x \in L \}[/math].
Заметим, что [math]\varphi[/math] будет гомоморфизмом моноидов [math]\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle[/math] и [math]\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle[/math]


Определение:
Прообразом языка [math]M \subset \Sigma_2^*[/math] при гомоморфизме [math]\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*[/math] (иногда называют обратным гомоморфизмом) называется язык [math]L = \varphi^{-1}(M) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ x \mid \varphi(x) \in M \}[/math].
Заметим, что [math]\varphi[/math] будет гомоморфизмом моноидов [math]\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle[/math] и [math]\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle[/math]


Примеры

  • тривиальные гомоморфизмы
    • обнуляющий: [math] \varphi(x) = \varepsilon, x \in L [/math], тогда [math] \varphi(L) = \{ \varepsilon \} [/math]
    • тождественный: [math] \varphi(x) = x, x \in L [/math], тогда [math] \varphi(L) = L [/math] и [math] \varphi^{-1}(L) = L[/math]
  • гомоморфизм цепочек — функция, подставляющая некоторую строку вместо каждого символа. Более формально, для заданного отображения [math] h\colon \Sigma_1 \to \Sigma_1^* [/math] гомоморфизмом цепочек будет функция [math] \varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^* [/math], действующая от каждого символа строки из языка следующим образом [math] \varphi(\overline{c_1 c_2 ... c_n}) = h(c_1)h(c_2) ... h(c_k) [/math]. Регулярные языки замкнуты относительно гомоморфизма цепочек
  • солнечный язык из детских игр (когда после каждой гласной в слове надо добавлять букву "С" и эту же гласную) может быть представлен в виде гомоморфизма языков, где все согласные символы отображаются сами в себя, а гласный символ [math] z [/math] переходит в [math] zCz [/math]
  • циклический гомоморфизм: зафиксируем порядок символов в алфавите, будем отображать каждый символ в следующий, а последний — в первый. Обратным гомоморфизмом будет отображение каждого символа в предыдущий.

См. также

Источники информации

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Основные_определения,_связанные_со_строками&oldid=85567»