Задача о наибольшей общей палиндромной подпоследовательности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(sta)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 12 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
'''[[Задача о наибольшей общей подпоследовательности]]''' (англ. ''longest common subsequence (LCS)'') - классическая и хорошо изученная проблема. В данной статье мы рассмотрим её модификацию, где эта последовательность также должна быть палиндромом.
+
'''[[Задача о наибольшей общей подпоследовательности]]''' (англ. ''longest common subsequence (LCS)'') {{---}} классическая и хорошо изученная проблема.
{{Определение|definition='''Палиндромом''' (англ. ''palindrom'') называется последовательность, которая одинаково читается как слева направо, так и справа налево.}}
 
'''Наибольшая общая подпалиндромная подпоследовательность''' (англ. ''The longest common palindromic sub-sequence (LCPS)'') - задача, являющаяся интересным вариантом классической задачи о поиске наибольшей общей подпоследовательности, которая находит наибольшую общую подпоследовательность среди двух последовательностей так, что она также является палиндромом.
 
  
==Постановка задачи==
+
'''[[Задача о наибольшей подпоследовательности-палиндроме]]''' (англ. ''longest palindromic subsequence (LPS)'') {{---}} также хорошо изучена.
Для последовательности <tex>X</tex>, мы обознамич его подпоследовательность <tex>x_{i}...x_{j} (1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n)</tex> как <tex>X_{i,j}</tex>. Для двух последовательностей <tex>X</tex> и <tex>Y</tex>, если общая подпоследовательность <tex>Z</tex> последовательносей <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> является палиндромом, то <tex>Z</tex> называется '''общей подпалиндромной подпоследовательностью''' (англ. ''common palindromicsubsequence''). Общая подпалиндромная последовательность, имеющая максимальную длину, называется '''наибольшей общей подпалиндромной подпоследовательностью''' (англ. ''The longest common palindromic sub-sequence (LCPS)'') и мы обозначим её как <tex>LCPS(X,Y)</tex>.
 
  
==Динамическое программирование==
+
Здесь мы рассмотрим задачу, которая объединяет две вышеперечисленные задачи в одну.
Заметим, что естественные классы подзадач для <tex>LCPS</tex> соответствуют парам подпоследовательностей из двух входных последовательностей. Основываясь на этом наблюдении мы сформулируем следующую теорему, которая доказывает оптимальную подструктуру свойств задачи <tex>LCPS</tex>.
+
{{Определение
 +
|definition = Для последовательности <tex>X</tex>, мы обозначим её подпоследовательность <tex>x_{i}...x_{j}\ (1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n)\ </tex> как <tex>X_{i,j}</tex>. Для двух последовательностей <tex>X</tex> и <tex>Y</tex>, если общая подпоследовательность <tex>Z</tex> последовательностей <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> является палиндромом, то <tex>Z</tex> называется '''общей подпалиндромной подпоследовательностью''' (англ. ''common palindromic subsequence''). Общая подпалиндромная последовательность, имеющая максимальную длину, называется '''наибольшей общей подпалиндромной подпоследовательностью''' (англ. ''longest common palindromic subsequence (LCPS)'') и мы обозначим её как <tex>LCPS(X,Y)</tex>.
 +
}}{{Задача
 +
|definition = '''Наибольшая общая подпалиндромная подпоследовательность''' {{---}} задача, являющаяся интересным вариантом классической задачи о поиске наибольшей общей подпоследовательности, которая также накладывает условия, что эта подпоследовательность должна быть палиндромом.
 +
}}
 +
==Наивное решение==
 +
Можно придумать такое решение данной задачи: найти наибольшую общую подпоследовательность, в ней найти наибольшую подпалиндромную подпоследовательность. Но, к сожалению, это решение '''неверно'''.
 +
===Контрпример===
 +
Возьмем две последовательности <tex>X=[1,\ 2,\ 3,\ 1]</tex> и <tex>Y=[1,\ 1,\ 2,\ 3]</tex>.
  
===Теорема 1===
+
Наибольшей общая подпоследовательность данных последовательностей равна <tex>LCS(X,Y) = [1,\ 2,\ 3]</tex> и в ней наибольшая подпалиндромная последовательность имеет длину <tex>1</tex>.
Пусть <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> - две последовательности длин <tex>n</tex> и <tex>m</tex> соответственно, а <tex>X_{i,j}</tex> и <tex>Y_{i,j}</tex> - две подпоследовательности последовательностей <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> соответственно. Пусть <tex>Z = z_{1}z_{2}...z_{u}</tex> - наибольшая общая подпалиндромная последовательность двух подпоследовательностей <tex>X_{i,j}</tex> и <tex>Y_{k,l}</tex>. Тогда выполняются следующие утверждения,
 
#Если <tex>x_i=x_j=y_k=y_l=a</tex> (для произвольного <tex>a</tex>), тогда <tex>z_1=z_u=a</tex> и <tex>z_2...z_{u-1}</tex> - наибольшая общая палиндромная подпоследовательность от подпоследовательностей <tex>X_{i+1,j-1}</tex> и <tex>Y_{k+1,l-1}</tex>.
 
#Если <tex>x_i=x_j=y_k=y_l</tex> не выполняется, то <tex>Z</tex> - наибольшая общая палиндромная подпоследовательность от подпоследовательностей (<tex>X_{i+1,j}</tex> и <tex>Y_{k,l}</tex>) или (<tex>X_{i,j-1}</tex> и <tex>Y_{k,l}</tex>) или (<tex>X_{i,j}</tex> и <tex>Y_{k+1,l}</tex>) или (<tex>X_{i,j}</tex> и <tex>Y_{k,l-1}</tex>).
 
  
На основании теоремы 1 мы напишем следующую рекурсивную формулу для длины наибольшей общей подпалиндромной подпоследовательности:
+
Но очевидно, что на самом деле последовательность <tex>Z=[1,\ 1]</tex> является наибольшим общей палиндромной подпоследовательностью <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> и имеет длину <tex>2</tex>.
 +
==Решение с помощью динамического программирования==
 +
Заметим, что в качестве подзадач для <tex>LCPS</tex>, в которых мы можем посчитать ответ, логично взять подпоследовательность от <tex>X</tex> и от <tex>Y</tex>. Основываясь на этом наблюдении мы сформулируем следующую теорему, которая доказывает оптимальную подструктуру свойств задачи <tex>LCPS</tex>, что даст возможность воспользоваться идеей [[Динамическое программирование | динамического программирования]].
 +
{{Теорема
 +
|statement=Пусть <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> {{---}} две последовательности длин <tex>n</tex> и <tex>m</tex> соответственно, а <tex>X_{i,j}</tex> и <tex>Y_{k,l}</tex> {{---}} две подпоследовательности последовательностей <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> соответственно. Пусть <tex>Z = z_{1}z_{2}...z_{u}</tex> {{---}} наибольшая общая подпалиндромная последовательность двух подпоследовательностей <tex>X_{i,j}</tex> и <tex>Y_{k,l}</tex>. Тогда выполняются следующие утверждения,
 +
 
 +
# Если <tex>x_i=x_j=y_k=y_l=a</tex> (для произвольного <tex>a</tex>), тогда <tex>z_1=z_u=a</tex> и <tex>Z_{2, u-1}</tex> {{---}} НОПП от подпоследовательностей <tex>X_{i+1,j-1}</tex> и <tex>Y_{k+1,l-1}</tex>.
 +
# Если <tex>x_i=x_j=y_k=y_l</tex> не выполняется, то <tex>Z</tex> {{---}} НОПП от подпоследовательностей (<tex>X_{i+1,j}</tex> и <tex>Y_{k,l}</tex>) или (<tex>X_{i,j-1}</tex> и <tex>Y_{k,l}</tex>) или (<tex>X_{i,j}</tex> и <tex>Y_{k+1,l}</tex>) или (<tex>X_{i,j}</tex> и <tex>Y_{k,l-1}</tex>).
 +
}}
 +
На основании теоремы мы напишем следующую рекурсивную формулу для длины наибольшей общей подпалиндромной подпоследовательности:
  
 
<tex>
 
<tex>
 
lcps[i,j,k,l] = \left\{\begin{array}{llcl}
 
lcps[i,j,k,l] = \left\{\begin{array}{llcl}
0&&;&i > j\ or\ k > l\\
+
0&&;&i > j\ \lor\ k > l\\
1&&;&(i = j)\ and\ (k = l)\ and\ (x_i=x_j=y_k=y_l)\\
+
1&&;&(i = j)\ \land\ (k = l)\ \land\ (x_i=x_j=y_k=y_l)\\
2+lcps[i+1,j-1,k+1,l-1]&&;&(i < j)\ and\ (k < l)\ ans\ (x_i=x_j=y_k=y_l)\\
+
2+lcps[i+1,j-1,k+1,l-1]&&;&(i < j)\ \land\ (k < l)\ \land\ (x_i=x_j=y_k=y_l)\\
\max{(}lcps[i+1,j,k,l],lcps[i,j-1,k,l],&&;&(i \leqslant j)\ and\ (k \leqslant l)\ and\ not(x_i=x_j=y_k=y_l)\\
+
\max{(}lcps[i+1,j,k,l],lcps[i,j-1,k,l],&&;&(i \leqslant j)\ \land\ (k \leqslant l)\ \land\ \lnot(x_i=x_j=y_k=y_l)\\
lcps[i,j,k+1,l],lcps[i,j,k,l-1])
+
\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:lcps[i,j,k+1,l],lcps[i,j,k,l-1])
 
\end{array}\right.
 
\end{array}\right.
 
</tex>
 
</tex>
  
Где <tex>lcps[i,j,k,l]</tex> - длина наибольшей общей палиндромной подпоследовательности от <tex>X_{i,j}</tex> и <tex>Y_{k,l}</tex>. Длина наибольшей общей палиндромной подпоследовательности от последовательностей <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> будет расположено в <tex>lcps[1,n,1,m]</tex>. Мы можем вычислить эту длину за время <tex>O(n^4)</tex> используя динамическое программирование.
+
Где <tex>lcps[i,j,k,l]</tex> {{---}} длина наибольшей общей палиндромной подпоследовательности от <tex>X_{i,j}</tex> и <tex>Y_{k,l}</tex>. Длина наибольшей общей палиндромной подпоследовательности от последовательностей <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> будет расположена в <tex>lcps[1,n,1,m]</tex>. Мы можем вычислить эту длину за время <tex>O(n^4)</tex> используя динамическое программирование.
 +
 
 +
===Реализация===
 +
Будем использовать динамику с запоминанием ответа (с мемоизацией). Оформим решения в виде рекурсивной функции <tex>lcps</tex>, которая возвращает ответ для подзадачи, на которую она была вызвана.<br> В массиве <tex>\mathtt{ans}</tex> хранятся ответы для подзадач. До запуска функции <tex>lcps</tex> заполним массив <tex>ans</tex> значением <tex>-1</tex>. Так как каждое значение считается не более одного раза и эта операция происходит за <tex>O(1)</tex>, мы получим асимптотику <tex>O(n^4)</tex>.
 +
 
 +
===Псевдокод===
 +
'''int''' lcps(i: '''int''', j: '''int''', k: '''int''', l: '''int''')
 +
  '''if''' (ans[i][j][k][l] <tex> \neq </tex> -1) <span style="color:Green">// если значение уже посчитано, то надо его вернуть</span>
 +
    '''return''' ans[i][j][k][l]
 +
  '''if''' (i > j '''or''' k > l)
 +
    ans[i][j][k][l] = 0
 +
    '''return''' 0
 +
  '''if''' (X[i] == X[j] == Y[k] == Y[l])
 +
    '''if''' (i == j '''and''' k == l)
 +
      ans[i][j][k][l] = 1
 +
      '''return''' 1     
 +
    '''else''' 
 +
      ans[i][j][k][l] = (2 + lcps(i + 1, j - 1, k + 1, l - 1))   
 +
      '''return''' ans[i][j][k][l]
 +
  ans[i][j][k][l] = max(lcps(i + 1, j, k, l), lcps(i, j - 1, k, l), lcps(i, j, k + 1, l), lcps(i, j, k, l - 1))
 +
  '''return''' ans[i][j][k][l]
 +
==См. также==
 +
* [[Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности]]
 +
* [[Задача о редакционном расстоянии, алгоритм Вагнера-Фишера]]
 +
==Источники информации==
 +
* [https://www.academia.edu/2015585/Computing_a_Longest_Common_Palindromic_Subsequence Academia.edu {{---}} Computing a Longest Common Palindromic Subsequence]
 +
 
 +
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория:Динамическое программирование]]
 +
[[Категория:Другие задачи динамического программирования]]
 +
[[Категория:Алгоритмы на строках]]

Текущая версия на 19:37, 4 сентября 2022

Задача о наибольшей общей подпоследовательности (англ. longest common subsequence (LCS)) — классическая и хорошо изученная проблема.

Задача о наибольшей подпоследовательности-палиндроме (англ. longest palindromic subsequence (LPS)) — также хорошо изучена.

Здесь мы рассмотрим задачу, которая объединяет две вышеперечисленные задачи в одну.

Определение:
Для последовательности [math]X[/math], мы обозначим её подпоследовательность [math]x_{i}...x_{j}\ (1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n)\ [/math] как [math]X_{i,j}[/math]. Для двух последовательностей [math]X[/math] и [math]Y[/math], если общая подпоследовательность [math]Z[/math] последовательностей [math]X[/math] и [math]Y[/math] является палиндромом, то [math]Z[/math] называется общей подпалиндромной подпоследовательностью (англ. common palindromic subsequence). Общая подпалиндромная последовательность, имеющая максимальную длину, называется наибольшей общей подпалиндромной подпоследовательностью (англ. longest common palindromic subsequence (LCPS)) и мы обозначим её как [math]LCPS(X,Y)[/math].
Задача:
Наибольшая общая подпалиндромная подпоследовательность — задача, являющаяся интересным вариантом классической задачи о поиске наибольшей общей подпоследовательности, которая также накладывает условия, что эта подпоследовательность должна быть палиндромом.

Наивное решение

Можно придумать такое решение данной задачи: найти наибольшую общую подпоследовательность, в ней найти наибольшую подпалиндромную подпоследовательность. Но, к сожалению, это решение неверно.

Контрпример

Возьмем две последовательности [math]X=[1,\ 2,\ 3,\ 1][/math] и [math]Y=[1,\ 1,\ 2,\ 3][/math].

Наибольшей общая подпоследовательность данных последовательностей равна [math]LCS(X,Y) = [1,\ 2,\ 3][/math] и в ней наибольшая подпалиндромная последовательность имеет длину [math]1[/math].

Но очевидно, что на самом деле последовательность [math]Z=[1,\ 1][/math] является наибольшим общей палиндромной подпоследовательностью [math]X[/math] и [math]Y[/math] и имеет длину [math]2[/math].

Решение с помощью динамического программирования

Заметим, что в качестве подзадач для [math]LCPS[/math], в которых мы можем посчитать ответ, логично взять подпоследовательность от [math]X[/math] и от [math]Y[/math]. Основываясь на этом наблюдении мы сформулируем следующую теорему, которая доказывает оптимальную подструктуру свойств задачи [math]LCPS[/math], что даст возможность воспользоваться идеей динамического программирования.

Теорема:
Пусть [math]X[/math] и [math]Y[/math] — две последовательности длин [math]n[/math] и [math]m[/math] соответственно, а [math]X_{i,j}[/math] и [math]Y_{k,l}[/math] — две подпоследовательности последовательностей [math]X[/math] и [math]Y[/math] соответственно. Пусть [math]Z = z_{1}z_{2}...z_{u}[/math] — наибольшая общая подпалиндромная последовательность двух подпоследовательностей [math]X_{i,j}[/math] и [math]Y_{k,l}[/math]. Тогда выполняются следующие утверждения,
  1. Если [math]x_i=x_j=y_k=y_l=a[/math] (для произвольного [math]a[/math]), тогда [math]z_1=z_u=a[/math] и [math]Z_{2, u-1}[/math] — НОПП от подпоследовательностей [math]X_{i+1,j-1}[/math] и [math]Y_{k+1,l-1}[/math].
  2. Если [math]x_i=x_j=y_k=y_l[/math] не выполняется, то [math]Z[/math] — НОПП от подпоследовательностей ([math]X_{i+1,j}[/math] и [math]Y_{k,l}[/math]) или ([math]X_{i,j-1}[/math] и [math]Y_{k,l}[/math]) или ([math]X_{i,j}[/math] и [math]Y_{k+1,l}[/math]) или ([math]X_{i,j}[/math] и [math]Y_{k,l-1}[/math]).

На основании теоремы мы напишем следующую рекурсивную формулу для длины наибольшей общей подпалиндромной подпоследовательности:

[math] lcps[i,j,k,l] = \left\{\begin{array}{llcl} 0&&;&i \gt j\ \lor\ k \gt l\\ 1&&;&(i = j)\ \land\ (k = l)\ \land\ (x_i=x_j=y_k=y_l)\\ 2+lcps[i+1,j-1,k+1,l-1]&&;&(i \lt j)\ \land\ (k \lt l)\ \land\ (x_i=x_j=y_k=y_l)\\ \max{(}lcps[i+1,j,k,l],lcps[i,j-1,k,l],&&;&(i \leqslant j)\ \land\ (k \leqslant l)\ \land\ \lnot(x_i=x_j=y_k=y_l)\\ \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:lcps[i,j,k+1,l],lcps[i,j,k,l-1]) \end{array}\right. [/math]

Где [math]lcps[i,j,k,l][/math] — длина наибольшей общей палиндромной подпоследовательности от [math]X_{i,j}[/math] и [math]Y_{k,l}[/math]. Длина наибольшей общей палиндромной подпоследовательности от последовательностей [math]X[/math] и [math]Y[/math] будет расположена в [math]lcps[1,n,1,m][/math]. Мы можем вычислить эту длину за время [math]O(n^4)[/math] используя динамическое программирование.

Реализация

Будем использовать динамику с запоминанием ответа (с мемоизацией). Оформим решения в виде рекурсивной функции [math]lcps[/math], которая возвращает ответ для подзадачи, на которую она была вызвана.
В массиве [math]\mathtt{ans}[/math] хранятся ответы для подзадач. До запуска функции [math]lcps[/math] заполним массив [math]ans[/math] значением [math]-1[/math]. Так как каждое значение считается не более одного раза и эта операция происходит за [math]O(1)[/math], мы получим асимптотику [math]O(n^4)[/math].

Псевдокод

int lcps(i: int, j: int, k: int, l: int)
  if (ans[i][j][k][l] [math] \neq [/math] -1) // если значение уже посчитано, то надо его вернуть
    return ans[i][j][k][l]
  if (i > j or k > l)
    ans[i][j][k][l] = 0
    return 0
  if (X[i] == X[j] == Y[k] == Y[l])
    if (i == j and k == l)
      ans[i][j][k][l] = 1
      return 1       
    else   
      ans[i][j][k][l] = (2 + lcps(i + 1, j - 1, k + 1, l - 1))    
      return ans[i][j][k][l]
  ans[i][j][k][l] = max(lcps(i + 1, j, k, l), lcps(i, j - 1, k, l), lcps(i, j, k + 1, l), lcps(i, j, k, l - 1))
  return ans[i][j][k][l]

См. также

Источники информации