Мощность множества

Определения

Определение:

Если А и В — произвольные множества, и между ними можно установить биекцию, то они равномощны: [math] |A| = |B| [/math]

Определение:

Множество называется конечным, если его элементы можно пересчитать, иначе оно называется бесконечным.

Определение:

Если [math] |A| = |\mathbb N| [/math], то A называется счетным множеством.

[math] A = \{a_1, a_2, \dots , a_n \dots \} [/math] — счетное множество.

Мощность счетных множеств минимальна по сравнению с другими бесконечными множествами.

Мощность Q

Утверждение:

Если А - бесконечное множество, то в нем содержится по меньшей мере одно счетное подмножество.

[math]\triangleright[/math]

[math] B \subset A [/math] [math] a_1 \in A \Rightarrow A \backslash \{ a_1 \} = A_1 [/math] — бесконечное множество. [math] a_2 \in A_1 \Rightarrow A_1 \backslash \{ a_2 \} = A_2 [/math] — также бесконечное множество. Продолжаем этот процесс далее до бесконечности. Тогда мы получим [math] B = \{a_1, a_2, \dots , a_n \dots \} \subset A [/math] — счетное множество.

[math]\triangleleft[/math]

Если [math] \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... \} [/math] — совокупность попарно различных элементов, то это — счетное множество.

Для счетных множеств часто применяется следующий важный факт:

Утверждение:

Не более чем счетное объединение не более, чем счетных множеств, не более, чем счетно, то есть, другими словами: Если все [math] A_n [/math] — счетное/конечное множество, то [math]\ \ | \bigcup\limits_n A_n | = |\mathbb N| [/math]

[math]\triangleright[/math]

Выпишем все элементы этих множеств в таблицу: [math]\ ||a^i_j||[/math], где [math]\ a^i_j \in A_i,\ i, j \in \mathbb N [/math] [math] \begin{pmatrix} a^1_1 & a^1_2 & a^1_3 & \cdots \\ \\ a^2_1 & a^2_2 & a^2_3 & \cdots \\ \\ a^3_1 & a^3_2 & a^3_3 & \cdots \\ \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix} [/math] Будем нумеровать их по диагоналям: [math] \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ a^1_1 & a^2_1 & a^1_2 & a^3_1 & a^2_2 & a^1_3 & \cdots \end{pmatrix} [/math] Таким образом мы установили биекцию между [math]\mathbb N [/math] и [math]\ \bigcup\limits_n A_n [/math], то есть [math]\ \ | \bigcup\limits_n A_n | = |\mathbb N| [/math] , что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

В частности, множество рациональных чисел [math] \mathbb Q [/math] — счетно.

Континуум

Определение:

Множество [math] I = [0, 1][/math] называется континуумом.

Утверждение:

[math] I [/math] — несчетное множество.

[math]\triangleright[/math]

Будем доказывать от противного. Применим принцип вложенных отрезков: Пусть [math] I = \{ x_1, x_2, ... , x_n, ... \} [/math] Разделим I на 3 части и назовем [math] \Delta_1 : x_1 \notin \Delta_1 [/math]. Такой отрезок всегда существует. Далее разобьем [math] \Delta_1 [/math] на 3 части. Назовем [math] \Delta_2 [/math] тот отрезок, который не содержит [math] x_2 [/math], и так далее.. В результате выстраивается система вложенных отрезков: [math] \{ \Delta_n : \Delta_{n+1} \subset \Delta_n, x_n \notin \Delta_n \} [/math] По свойству системы вложенных отрезков: [math] \exists d = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n [/math] [math] d \in I [/math]. Пусть теперь [math] d \in \{ x_i \} \Rightarrow d = x_{n_0} [/math]. По построению: [math] d = x_{n_0} \notin \Delta_{n_0} [/math], но [math] d \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n \Rightarrow d \in \Delta_{n_0} [/math], противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

Если [math] |A| = |I| [/math], то обычно говорят, что А обладает мощностью континиума:

Мощность R

Утверждение:

[math] |\mathbb R| = |I| [/math]

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим функцию [math] y = tg \, x, x \in ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) [/math] С ее помощью можно установить биекцию между множествами [math] \mathbb R [/math] и [math] ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) [/math]. Биекцию между множествами [math] (0, 1) [/math] и [math] ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) [/math] можно установить параллельным переносом и сжатием: [math] x \leftrightarrow (x \cdot \pi) - \frac {\pi}{2} [/math] Получили, что [math] |\mathbb R| = | ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) | = | (0, 1) | [/math]. Осталось доказать, что [math] |(0, 1)| = |[0, 1]| [/math]. Применим следующий прием: Пусть [math] a_1, a_2, ... , a_n, ... \in (0, 1) [/math] - попарно различны. Множество [math] A = \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... \} [/math] - счетное. Определим множество [math] B = A \cup \{ 0, 1 \} [/math]. Множество [math] B [/math] также счетное. Между счетными множествами можно установить биекцию: [math] B \leftrightarrow A \Rightarrow (0, 1) \backslash A \leftrightarrow [0, 1] \backslash B \Rightarrow (0, 1) \leftrightarrow [0, 1] \Rightarrow |(0, 1)| = |[0, 1]| [/math] В итоге получили, что [math] |\mathbb R| = |[0, 1]| [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Так как [math] \mathbb Q [/math] — счетно. [math] |\mathbb R \backslash \mathbb Q| = |I| \Rightarrow [/math] иррациональных чисел по мощности континииум.