Отношение порядка — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «Бинарное отношение <math>R</math> на множестве <math>X</math> называется '''отношением п...»)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 25 промежуточных версий 10 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
[[Бинарное отношение]] <math>R</math> на [[Множества|множестве]] <math>X</math> называется '''отношением порядка''', или '''отношением частичного порядка''', если имеют место
+
== Определения ==
−
* ''[[Рефлексивное_отношение|Рефлексивность]]'': <math>\forall x (xRx)</math>
+
{{Определение
−
* ''[[Транзитивное_отношение|Транзитивность]]'': <math>\forall x \forall y \forall z (x R y \land y R z \Rightarrow x R z)</math>;
+
|definition =
−
* ''[[Антисимметричное_отношение|Антисимметричность]]'': <math>\forall x \forall y (x R y \land y R x \Rightarrow x = y)</math>.
+
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением частичного порядка''' (англ. ''partial order relation''), если оно обладает следующими свойствами:
 +
* [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]] (англ. ''reflexivity''): <tex>\forall a \in X: aRa</tex>.
 +
* [[Антисимметричное отношение|Антисимметричность]] (англ. ''antisymmetry''): <tex>\forall a, b \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRa</tex>, то <tex> a = b </tex>.
 +
* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]] (англ. ''transitivity''): <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRc</tex>, то <tex>aRc</tex>.
 +
}}
 +
Множество <tex>X</tex>, на котором введено отношение частичного порядка, называется '''частично упорядоченным'''.
  
−
Множество <math>X</math>, на котором введено отношение частичного порядка, называется '''частично упорядоченным'''.
+
Отношение частичного порядка также называют '''нестрогим порядком''' (англ. ''non-strict order'').
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''строгим отношением частичного порядка''' (англ. ''strict order relation''), если оно обладает следующими свойствами:
 +
* [[Рефлексивное отношение|Антирефлексивность]] (англ. ''irreflexivity''): <tex>\forall a \in X: aRa </tex> — не выполняется.
 +
* [[Антисимметричное отношение|Антисимметричность]] (англ. ''antisymmetry''): <tex>\forall a, b \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRa</tex>, то <tex> a = b </tex>.
 +
* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]]:  (англ. ''transitivity'') <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRc</tex>, то <tex>aRc</tex>.
 +
}}
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением линейного порядка''' (англ. ''total order relation''), если оно является отношением частичного порядка и обладает следующим свойством:
 +
<tex>\forall a \in X \forall b \in X</tex> либо <tex>aRb</tex>, либо <tex>bRa</tex>.
 +
}}
 +
Множество <tex>X</tex>, на котором введено отношение линейного порядка, называется '''линейно упорядоченным''' (англ. ''total order'').
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением полного порядка''' (англ. ''well-order relation''), если оно является отношением линейного порядка и обладает следующим свойством:
 +
<tex>\forall Y \subset  X \exists a \in Y \forall b \in Y: aRb</tex>.
 +
}}
 +
Множество <tex>X</tex>, на котором введено отношение полного порядка, называется '''полностью упорядоченным''' (англ. ''well-order'').
  
−
Отношение <math>R</math>, удовлетворяющее условиям рефлексивности, транзитивности, антисимметричности также называют ''нестрогим'', или ''рефлексивным частичным порядком'' и обычно обозначают символом <math>\leqslant</math>. Если условие рефлексивности заменить на условие антирефлексивности:
+
Отношение нестрогого порядка обозначают символом <tex>\leqslant</tex>. Запись вида <tex>a \leqslant b</tex> читают как «<tex>a</tex> меньше либо равно <tex>b</tex>».
−
: <math>\forall x \neg(xRx)</math>,
 
−
то получим определение ''строгого'', или ''антирефлексивного частичного порядка'', обозначаемое обычно символом <math><</math>.
 
−
В общем случае, если <math>R</math> — транзитивное, антисимметричное отношение, то
 
−
: <math>R_{\leqslant} = R \cup \{(x, x) | x \in X\}</math> — рефлексивный порядок
 
−
: <math>R_{<} = R \setminus \{(x, x) | x \in X\}</math> — антирефлексивный порядок.
 
  
−
Отношение частичного порядка <math>R</math> называется ''линейным порядком'', если выполнено условие
+
Отношение строгого порядка обозначают символом <tex><</tex>. Запись вида <tex>a < b</tex> читают как «<tex>a</tex> меньше <tex>b</tex>».
−
: <math>\forall x \forall y (x R y \lor y R x)</math>
 
−
Множество <math>X</math>, на котором введено отношение линейного порядка, называется '''линейно упорядоченным''', или ''цепью''.
 
  
−
Отношение <math>R</math>, удовлетворяющее только условиям рефлексивности и транзитивности, называется '''квазипорядком''', или ''предпорядком''.
+
== Примеры ==
 +
 
 +
* На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого, причем линейного порядка, но не полного.
 +
* Отношение «является делителем» на множестве натуральных чисел является отношением частичного порядка.
 +
* Отношение «меньше или равно» является отношением полного порядка на множестве натуральных чисел.
 +
* Отношение «лексикографически не меньше» на множестве всех возможных слов, составленных из букв русского алфавита, является отношением полного порядка.
 +
* Отношение «состоит в подчинении» на множестве работников компании является отношением нестрогого порядка.
 +
* Можно рассмотреть отношение «не младше» на множестве некоторой группы людей. Для соблюдения всех тонкостей скажем, что их даты рождения различны. Это отношение транзитивно (если ''человек A'' не младше ''человека B'', а ''человек B'' не младше ''человека C'', то ''человек A'' не младше ''человека C''), антисимметрично (если ''человек A'' не младше ''человека B'' и ''человек B'' не младше ''человека A'', то это один и тот же человек) и рефлексивно (каждый человек не младше самого себя). Из этого следует, что данное отношение является отношением частичного линейного порядка.
 +
 
 +
* Отношение «является делителем» на множестве целых чисел не является отношением частичного порядка. Это легко видеть на следующем примере: <tex> 2 </tex> делится на <tex> -2 </tex>, а <tex> -2 </tex> делится на <tex> 2 </tex>.  Однако <tex> 2 \neq -2</tex>.
 +
* Отношение «больше или равно по модулю» на множестве комплексных чисел не является отношением порядка. Из равенства модулей не следует равенство самих чисел, тем самым нарушается антисимметричность. Это демонстрирует данный пример: модули комплексных чисел <tex> 3 + 4i </tex> и <tex> 4 + 3i </tex> равны, но сами числа разные.
 +
 
 +
==См. также==
 +
* [[Бинарное_отношение|Бинарное отношение]]
 +
* [[Композиция_отношений|Композиция отношений]]
 +
* [[Отношение_эквивалентности|Отношение эквивалентности]]
  
−
== Примеры ==
+
== Источники информации ==
−
* На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого.
+
* Новиков Ф. А. {{---}} Дискретная математика для программистов: Учебник для вузов. 3-е изд. {{---}} СПБ.: Питер, 2009 {{---}} 50 с.
−
* Отношение Делимость|делимости на множестве целых чисел являются отношением нестрогого порядка.
+
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Total_order Wikipedia {{---}} Total order]
 +
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0 Википедия {{---}} Отношение порядка]
 +
* [http://ru.math.wikia.com/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0 Wikia {{---}} Отношение порядка]
 +
 
 +
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория: Отношения]]

Текущая версия на 19:41, 4 сентября 2022

Определения

Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется отношением частичного порядка (англ. partial order relation), если оно обладает следующими свойствами:

Множество [math]X[/math], на котором введено отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным.

Отношение частичного порядка также называют нестрогим порядком (англ. non-strict order).

Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется строгим отношением частичного порядка (англ. strict order relation), если оно обладает следующими свойствами:


Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется отношением линейного порядка (англ. total order relation), если оно является отношением частичного порядка и обладает следующим свойством: [math]\forall a \in X \forall b \in X[/math] либо [math]aRb[/math], либо [math]bRa[/math].

Множество [math]X[/math], на котором введено отношение линейного порядка, называется линейно упорядоченным (англ. total order).

Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется отношением полного порядка (англ. well-order relation), если оно является отношением линейного порядка и обладает следующим свойством: [math]\forall Y \subset X \exists a \in Y \forall b \in Y: aRb[/math].

Множество [math]X[/math], на котором введено отношение полного порядка, называется полностью упорядоченным (англ. well-order).

Отношение нестрогого порядка обозначают символом [math]\leqslant[/math]. Запись вида [math]a \leqslant b[/math] читают как «[math]a[/math] меньше либо равно [math]b[/math]».

Отношение строгого порядка обозначают символом [math]\lt [/math]. Запись вида [math]a \lt b[/math] читают как «[math]a[/math] меньше [math]b[/math]».

Примеры

  • На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого, причем линейного порядка, но не полного.
  • Отношение «является делителем» на множестве натуральных чисел является отношением частичного порядка.
  • Отношение «меньше или равно» является отношением полного порядка на множестве натуральных чисел.
  • Отношение «лексикографически не меньше» на множестве всех возможных слов, составленных из букв русского алфавита, является отношением полного порядка.
  • Отношение «состоит в подчинении» на множестве работников компании является отношением нестрогого порядка.
  • Можно рассмотреть отношение «не младше» на множестве некоторой группы людей. Для соблюдения всех тонкостей скажем, что их даты рождения различны. Это отношение транзитивно (если человек A не младше человека B, а человек B не младше человека C, то человек A не младше человека C), антисимметрично (если человек A не младше человека B и человек B не младше человека A, то это один и тот же человек) и рефлексивно (каждый человек не младше самого себя). Из этого следует, что данное отношение является отношением частичного линейного порядка.
  • Отношение «является делителем» на множестве целых чисел не является отношением частичного порядка. Это легко видеть на следующем примере: [math] 2 [/math] делится на [math] -2 [/math], а [math] -2 [/math] делится на [math] 2 [/math]. Однако [math] 2 \neq -2[/math].
  • Отношение «больше или равно по модулю» на множестве комплексных чисел не является отношением порядка. Из равенства модулей не следует равенство самих чисел, тем самым нарушается антисимметричность. Это демонстрирует данный пример: модули комплексных чисел [math] 3 + 4i [/math] и [math] 4 + 3i [/math] равны, но сами числа разные.

См. также

Источники информации

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Отношение_порядка&oldid=85839»