Определения и формулировки, 3 семестр, Кохась К.П. — различия между версиями
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
|||
| (не показано 6 промежуточных версий 5 участников) | |||
| Строка 2: | Строка 2: | ||
'''ЕСЛИ НАХОДИТЕ ОШИБКИ ИСПРАВЛЯЙТЕ''' | '''ЕСЛИ НАХОДИТЕ ОШИБКИ ИСПРАВЛЯЙТЕ''' | ||
| + | == Фотки определений и формулировок == | ||
| + | [https://dl.dropbox.com/u/21779860/%21matan.zip photos] | ||
| + | |||
| + | В архиве фотки со всеми определениями в том порядке, в котором они даны выше. | ||
== Определения == | == Определения == | ||
| − | === | + | ===Жорданово множество=== |
| + | ===Объем жорданова множества=== | ||
| + | ===1- и 2-формы=== | ||
| + | ===Дифференциальная 1- или 2-форма в $\mathbb R^n$=== | ||
| + | ===Внешнее произведение форм=== | ||
| + | ===Внутреннее произведение=== | ||
| + | ===Интеграл 1-формы по ориентированной кривой=== | ||
| + | ===Ориентированная область в $\mathbb R^2$=== | ||
| + | ===Правоориентированная область=== | ||
| + | ===Дифференциал дифференциальной формы=== | ||
| + | ===Перенос формы при гладком отображении=== | ||
| + | ===Интеграл от 2-формы по ориентированной области в $\mathbb R^2$=== | ||
| + | ===Полукольцо=== | ||
| + | ===Алгебра=== | ||
| + | ===Сигма-алгебра=== | ||
| + | ===Объем=== | ||
| + | {{Определение | ||
| + | |definition= | ||
| + | <tex>\mu : P \rightarrow \overline{\mathbb R}</tex> — объем, если: | ||
| + | # <tex>\mu(\varnothing) = 0</tex> | ||
| + | # <tex>\forall A, A_1 ... A_n \in P : A = \underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}{A_i} \Rightarrow \mu A = \underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}{A_i}</tex> | ||
| + | # <tex>\forall A: \mu A \ge 0</tex> | ||
| − | + | Если <tex>\forall A : \mu A \neq +\infty</tex>, то объем называется конечным. | |
| + | }} | ||
| + | ===Мера=== | ||
| + | ===Сигма-конечная мера=== | ||
| + | ===Борелевская оболочка системы множеств=== | ||
| + | ===Борелевская сигма-алгебра в $\mathbb R^m$=== | ||
| + | ===Мера Лебега=== | ||
| + | ===Теорема о Лебеговском продолжении меры=== | ||
| + | ===Полная мера=== | ||
| + | ===Теорема о мерах, инвариантных относительно сдвига=== | ||
| + | ===Мера Лебега--Стилтьеса, мера Бореля--Стилтьеса=== | ||
| + | ===Степенчатая функция=== | ||
| + | ===Разбиение, допустимое для ступенчатеой функции=== | ||
| + | ===Измеримая функция=== | ||
| + | ===Свойство, выполняющееся почти везде=== | ||
| + | ===Сходимость почти везде=== | ||
| + | ===Сходимость по мере=== | ||
| + | ===Эквивалентные функции=== | ||
== Формулировки == | == Формулировки == | ||
| − | + | ===Характеризация жордановых множеств с помощью параллелепипедов=== | |
| − | === | + | ===Аддитивность интеграла по жорданову множеству. Усиленная аддитивность=== |
| − | + | ===Теорема Фубини=== | |
| + | ===Свойства переноса 1-форм (внешнее произведение, диффернциал, вычисление на векторе)=== | ||
| + | ===Свойства объема: усиленная монотонность, конечная полуаддитивность, "субтрактивность"=== | ||
| + | ===Теорема об эквивалентности счетной аддитивности и счетной полуаддитивности=== | ||
| + | ===Теорема о непрерывности снизу=== | ||
| + | ===Теорема о непрерывности сверху=== | ||
| + | ===Счетная аддитивность классического объема=== | ||
| + | ===Регулярность меры Лебега=== | ||
| + | ===Лемма о переносе меры с помощью отображения=== | ||
| + | ===Лемма о сохранении измеримости=== | ||
| + | ===Теорема о сохранении измеримости при гладком отображении=== | ||
| + | ===Сохранение меры Лебега при ортогональных преобразованиях=== | ||
| + | ===Лемма "о структуре компактного оператора"=== | ||
| + | ===Теорема о преобразовании меры Лебега при линейном отображении=== | ||
| + | ===Теорема об измеримости пределов и супремумов=== | ||
| + | ===Характеризация измеримых функций с помощью ступенчатых=== | ||
| + | ===Измеримость монотонной функции=== | ||
| + | ===Теорема Лебега о сходимости почти везде и сходимости по мере=== | ||
| + | ===Теорема Рисса о сходимости по мере и сходимости почти везде=== | ||
Текущая версия на 19:11, 4 сентября 2022
* - ТРЕБУЕТ ДОРАБОТКИ
ЕСЛИ НАХОДИТЕ ОШИБКИ ИСПРАВЛЯЙТЕ
Содержание
- 1 Фотки определений и формулировок
- 2 Определения
- 2.1 Жорданово множество
- 2.2 Объем жорданова множества
- 2.3 1- и 2-формы
- 2.4 Дифференциальная 1- или 2-форма в $\mathbb R^n$
- 2.5 Внешнее произведение форм
- 2.6 Внутреннее произведение
- 2.7 Интеграл 1-формы по ориентированной кривой
- 2.8 Ориентированная область в $\mathbb R^2$
- 2.9 Правоориентированная область
- 2.10 Дифференциал дифференциальной формы
- 2.11 Перенос формы при гладком отображении
- 2.12 Интеграл от 2-формы по ориентированной области в $\mathbb R^2$
- 2.13 Полукольцо
- 2.14 Алгебра
- 2.15 Сигма-алгебра
- 2.16 Объем
- 2.17 Мера
- 2.18 Сигма-конечная мера
- 2.19 Борелевская оболочка системы множеств
- 2.20 Борелевская сигма-алгебра в $\mathbb R^m$
- 2.21 Мера Лебега
- 2.22 Теорема о Лебеговском продолжении меры
- 2.23 Полная мера
- 2.24 Теорема о мерах, инвариантных относительно сдвига
- 2.25 Мера Лебега--Стилтьеса, мера Бореля--Стилтьеса
- 2.26 Степенчатая функция
- 2.27 Разбиение, допустимое для ступенчатеой функции
- 2.28 Измеримая функция
- 2.29 Свойство, выполняющееся почти везде
- 2.30 Сходимость почти везде
- 2.31 Сходимость по мере
- 2.32 Эквивалентные функции
- 3 Формулировки
- 3.1 Характеризация жордановых множеств с помощью параллелепипедов
- 3.2 Аддитивность интеграла по жорданову множеству. Усиленная аддитивность
- 3.3 Теорема Фубини
- 3.4 Свойства переноса 1-форм (внешнее произведение, диффернциал, вычисление на векторе)
- 3.5 Свойства объема: усиленная монотонность, конечная полуаддитивность, "субтрактивность"
- 3.6 Теорема об эквивалентности счетной аддитивности и счетной полуаддитивности
- 3.7 Теорема о непрерывности снизу
- 3.8 Теорема о непрерывности сверху
- 3.9 Счетная аддитивность классического объема
- 3.10 Регулярность меры Лебега
- 3.11 Лемма о переносе меры с помощью отображения
- 3.12 Лемма о сохранении измеримости
- 3.13 Теорема о сохранении измеримости при гладком отображении
- 3.14 Сохранение меры Лебега при ортогональных преобразованиях
- 3.15 Лемма "о структуре компактного оператора"
- 3.16 Теорема о преобразовании меры Лебега при линейном отображении
- 3.17 Теорема об измеримости пределов и супремумов
- 3.18 Характеризация измеримых функций с помощью ступенчатых
- 3.19 Измеримость монотонной функции
- 3.20 Теорема Лебега о сходимости почти везде и сходимости по мере
- 3.21 Теорема Рисса о сходимости по мере и сходимости почти везде
Фотки определений и формулировок
В архиве фотки со всеми определениями в том порядке, в котором они даны выше.
Определения
Жорданово множество
Объем жорданова множества
1- и 2-формы
Дифференциальная 1- или 2-форма в $\mathbb R^n$
Внешнее произведение форм
Внутреннее произведение
Интеграл 1-формы по ориентированной кривой
Ориентированная область в $\mathbb R^2$
Правоориентированная область
Дифференциал дифференциальной формы
Перенос формы при гладком отображении
Интеграл от 2-формы по ориентированной области в $\mathbb R^2$
Полукольцо
Алгебра
Сигма-алгебра
Объем
| Определение: |
| — объем, если:
|
