Определения и формулировки, 3 семестр, Кохась К.П.

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

* - ТРЕБУЕТ ДОРАБОТКИ

ЕСЛИ НАХОДИТЕ ОШИБКИ ИСПРАВЛЯЙТЕ

Содержание

Фотки определений и формулировок[править]

photos

В архиве фотки со всеми определениями в том порядке, в котором они даны выше.

Определения[править]

Жорданово множество[править]

Объем жорданова множества[править]

1- и 2-формы[править]

Дифференциальная 1- или 2-форма в $\mathbb R^n$[править]

Внешнее произведение форм[править]

Внутреннее произведение[править]

Интеграл 1-формы по ориентированной кривой[править]

Ориентированная область в $\mathbb R^2$[править]

Правоориентированная область[править]

Дифференциал дифференциальной формы[править]

Перенос формы при гладком отображении[править]

Интеграл от 2-формы по ориентированной области в $\mathbb R^2$[править]

Полукольцо[править]

Алгебра[править]

Сигма-алгебра[править]

Объем[править]

Определение:
[math]\mu : P \rightarrow \overline{\mathbb R}[/math] — объем, если:
  1. [math]\mu(\varnothing) = 0[/math]
  2. [math]\forall A, A_1 ... A_n \in P : A = \underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}{A_i} \Rightarrow \mu A = \underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}{A_i}[/math]
  3. [math]\forall A: \mu A \ge 0[/math]
Если [math]\forall A : \mu A \neq +\infty[/math], то объем называется конечным.


Мера[править]

Сигма-конечная мера[править]

Борелевская оболочка системы множеств[править]

Борелевская сигма-алгебра в $\mathbb R^m$[править]

Мера Лебега[править]

Теорема о Лебеговском продолжении меры[править]

Полная мера[править]

Теорема о мерах, инвариантных относительно сдвига[править]

Мера Лебега--Стилтьеса, мера Бореля--Стилтьеса[править]

Степенчатая функция[править]

Разбиение, допустимое для ступенчатеой функции[править]

Измеримая функция[править]

Свойство, выполняющееся почти везде[править]

Сходимость почти везде[править]

Сходимость по мере[править]

Эквивалентные функции[править]

Формулировки[править]

Характеризация жордановых множеств с помощью параллелепипедов[править]

Аддитивность интеграла по жорданову множеству. Усиленная аддитивность[править]

Теорема Фубини[править]

Свойства переноса 1-форм (внешнее произведение, диффернциал, вычисление на векторе)[править]

Свойства объема: усиленная монотонность, конечная полуаддитивность, "субтрактивность"[править]

Теорема об эквивалентности счетной аддитивности и счетной полуаддитивности[править]

Теорема о непрерывности снизу[править]

Теорема о непрерывности сверху[править]

Счетная аддитивность классического объема[править]

Регулярность меры Лебега[править]

Лемма о переносе меры с помощью отображения[править]

Лемма о сохранении измеримости[править]

Теорема о сохранении измеримости при гладком отображении[править]

Сохранение меры Лебега при ортогональных преобразованиях[править]

Лемма "о структуре компактного оператора"[править]

Теорема о преобразовании меры Лебега при линейном отображении[править]

Теорема об измеримости пределов и супремумов[править]

Характеризация измеримых функций с помощью ступенчатых[править]

Измеримость монотонной функции[править]

Теорема Лебега о сходимости почти везде и сходимости по мере[править]

Теорема Рисса о сходимости по мере и сходимости почти везде[править]