Алгебра и геометрия 1 курс — различия между версиями
Kabanov (обсуждение | вклад) м (переименовал Линейная алгебра 1 курс в Алгебра и геометрия 1 курс) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
| (не показаны 24 промежуточные версии 8 участников) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| + | [https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AjPEefj9KfXGdDJXSGlSQ2prMm9yVkk4VThDY2owa1E#gid=0 Координация конспектов]. [[Алгебра и геометрия 1 курс:Билеты 2 семестра | Билеты второго семестра]]. | ||
== Линейные операторы == | == Линейные операторы == | ||
| − | * [[ | + | * [[Линейный оператор | Линейные операторы и их матричная запись. Примеры]] |
* [[Пространство линейных операторов | Пространство линейных операторов]] | * [[Пространство линейных операторов | Пространство линейных операторов]] | ||
| − | * [[Алгебра | Алгебра. Примеры. Изоморфизм алгебр | + | * [[Алгебра | Алгебра. Примеры. Изоморфизм алгебр. Алгебра операторов и матриц]] |
| − | + | * [[Обратная матрица]] | |
| − | * [[Обратная матрица | ||
| − | |||
* [[Ядро и образ линейного оператора | Ядро и образ линейного оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.]] | * [[Ядро и образ линейного оператора | Ядро и образ линейного оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.]] | ||
* [[Обратный оператор | Обратный оператор. Критерий существования обратного оператора.]] | * [[Обратный оператор | Обратный оператор. Критерий существования обратного оператора.]] | ||
| + | |||
| + | == Тензорная алгебра == | ||
| + | * [[Замена базиса | Замена базиса. Преобразование координат векторов Х и Х* при замене базиса. Преобразование матрицы линейного оператора А при замене базиса. Преобразование подобия.]] | ||
| + | * [[Тензор | Тензоры (ковариантность, независимое от ПЛФ определение). Пространство тензоров. Свертка тензора. Транспонирование тензора.]] | ||
| + | * [[Определитель линейного оператора. Внешняя степень оператора.]] | ||
| + | * [[Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей.]] | ||
| + | |||
| + | == Cпектральный анализ линейных операторов в конечномерном пространстве == | ||
| + | * [[Инвариантные подпространства | Инварианты линейного оператора. Инвариантные подпространства.]] | ||
| + | * [[Собственные векторы и собственные значения | Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: основные определения, свойства, существование, вычисление.]] | ||
| + | * [[Cпектральный анализ линейного оператора с простым спектром | Cпектральный анализ линейного оператора с простым спектром: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.]] | ||
| + | * [[Cпектральный анализ скалярного оператора | Cпектральный анализ скалярного оператора: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.]] | ||
| + | * [[Спектральный анализ линейного оператора скалярного типа | Спектральная теорема и функциональное исчисление для скалярного оператора. Инварианты скалярного оператора. Тождество Кэли.]] | ||
| + | |||
| + | == Cпектральный анализ линейных операторов в конечномерном пространстве: операторы общего вида == | ||
| + | * [[Ультраинвариантные подпространства | Ультраинвариантные подпространства.]] | ||
| + | * [[Алгебра скалярных полиномов | Алгебра скалярных полиномов. Идеал. Минимальный полином.]] | ||
| + | * [[Алгебра операторных полиномов | Алгебра операторных полиномов. Минимальный полином линейного оператора.]] | ||
| + | * [[Разложение линейного пространства в сумму подпространств. 2-я теорема о ядре и образе. Теорема о проекторах.]] | ||
| + | * [[Минимальный полином и инвариантные подпространства | Минимальный полином и инвариантные подпространства. Спектральная теорема для линейного оператора произвольного вида.]] | ||
| + | * [[Нильпотентные операторы | Нильпотентные операторы (определение, простейшие свойства). Жорданова клетка. Структура нильпотентного оператора. Базис Жордана (обзор)]] | ||
| + | * [[Жорданова форма матрицы линейного оператора | Жорданова форма матрицы линейного оператора.]] | ||
| + | * [[Кратности собственных чисел | Кратности собственных чисел (алгебраическая, геометрическая, полная). Теорема Гамильтона-Кэли.]] | ||
| + | |||
| + | == Евклидово пространство == | ||
| + | * [[Метрические, нормированные и евклидовы пространства | Метрические, нормированные и евклидовы пространства.]] | ||
| + | * [[Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство | Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство. Основные неравенства.]] | ||
| + | * [[Комплексное евклидово пространство | Комплексное евклидово пространство. Основные неравенства.]] | ||
| + | * [[Ортогональность | Ортогональность. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта]] | ||
| + | * [[Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор. Задача о перпендикуляре | Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор. Задача о перпендикуляре.]] | ||
| + | * [[Ортогональные системы векторов | Ортогональные системы векторов: коэффициенты Фурье, неравенство Бесселя, равенство Парсеваля.]] | ||
| + | * [[Метрический тензор | Метрический тензор. Естественный изоморфизм евклидова и сопряженного ему пространств.]] | ||
| + | * [[Ковариантность и контравариантность| Ковариантные и контравариантные координаты вектора. Операции поднятия и опускания индексов.]] | ||
| + | * [[Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор | Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор в евклидовом пространстве: основные определения и свойства, теоремы о скалярном типе эрмитова и самосопряженного оператора, спектральная теорема, минимальное свойство, приведение эрмитовой матрицы к диагональному виду унитарным преобразованием.]] | ||
| + | * [[Унитарный и ортогональный операторы | Унитарный и ортогональный операторы: основные определения и свойства, теорема о скалярном типе унитарного оператора, спектральная теорема.]] | ||
| + | * [[Квадратичные формы | Квадратичные формы: основные определения, приведение к каноническому виду методом Лагранжа, приведение к каноническому виду унитарным преобразованием, закон инерции квадратичной формы, одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов]] | ||
| + | |||
| + | |||
| + | [[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]] | ||
Текущая версия на 19:33, 4 сентября 2022
Координация конспектов. Билеты второго семестра.
Содержание
Линейные операторы
- Линейные операторы и их матричная запись. Примеры
- Пространство линейных операторов
- Алгебра. Примеры. Изоморфизм алгебр. Алгебра операторов и матриц
- Обратная матрица
- Ядро и образ линейного оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.
- Обратный оператор. Критерий существования обратного оператора.
Тензорная алгебра
- Замена базиса. Преобразование координат векторов Х и Х* при замене базиса. Преобразование матрицы линейного оператора А при замене базиса. Преобразование подобия.
- Тензоры (ковариантность, независимое от ПЛФ определение). Пространство тензоров. Свертка тензора. Транспонирование тензора.
- Определитель линейного оператора. Внешняя степень оператора.
- Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей.
Cпектральный анализ линейных операторов в конечномерном пространстве
- Инварианты линейного оператора. Инвариантные подпространства.
- Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: основные определения, свойства, существование, вычисление.
- Cпектральный анализ линейного оператора с простым спектром: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
- Cпектральный анализ скалярного оператора: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
- Спектральная теорема и функциональное исчисление для скалярного оператора. Инварианты скалярного оператора. Тождество Кэли.
Cпектральный анализ линейных операторов в конечномерном пространстве: операторы общего вида
- Ультраинвариантные подпространства.
- Алгебра скалярных полиномов. Идеал. Минимальный полином.
- Алгебра операторных полиномов. Минимальный полином линейного оператора.
- Разложение линейного пространства в сумму подпространств. 2-я теорема о ядре и образе. Теорема о проекторах.
- Минимальный полином и инвариантные подпространства. Спектральная теорема для линейного оператора произвольного вида.
- Нильпотентные операторы (определение, простейшие свойства). Жорданова клетка. Структура нильпотентного оператора. Базис Жордана (обзор)
- Жорданова форма матрицы линейного оператора.
- Кратности собственных чисел (алгебраическая, геометрическая, полная). Теорема Гамильтона-Кэли.
Евклидово пространство
- Метрические, нормированные и евклидовы пространства.
- Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство. Основные неравенства.
- Комплексное евклидово пространство. Основные неравенства.
- Ортогональность. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта
- Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор. Задача о перпендикуляре.
- Ортогональные системы векторов: коэффициенты Фурье, неравенство Бесселя, равенство Парсеваля.
- Метрический тензор. Естественный изоморфизм евклидова и сопряженного ему пространств.
- Ковариантные и контравариантные координаты вектора. Операции поднятия и опускания индексов.
- Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор в евклидовом пространстве: основные определения и свойства, теоремы о скалярном типе эрмитова и самосопряженного оператора, спектральная теорема, минимальное свойство, приведение эрмитовой матрицы к диагональному виду унитарным преобразованием.
- Унитарный и ортогональный операторы: основные определения и свойства, теорема о скалярном типе унитарного оператора, спектральная теорема.
- Квадратичные формы: основные определения, приведение к каноническому виду методом Лагранжа, приведение к каноническому виду унитарным преобразованием, закон инерции квадратичной формы, одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов
