Дек

Определение

Дек

Дек (от англ. deque — double ended queue) — структура данных, представляющая из себя список элементов, в которой добавление новых элементов и удаление существующих производится с обоих концов. Эта структура поддерживает как FIFO, так и LIFO, поэтому на ней можно реализовать как стек, так и очередь. В первом случае нужно использовать только методы головы или хвоста, во втором — методы push и pop двух разных концов. Дек можно воспринимать как двустороннюю очередь. Он имеет следующие операции:

• [math] \mathtt{empty} [/math] — проверка на наличие элементов,
• [math] \mathtt{pushBack} [/math] (запись в конец) — операция вставки нового элемента в конец,
• [math] \mathtt{popBack} [/math] (снятие с конца) — операция удаления конечного элемента,
• [math] \mathtt{pushFront} [/math] (запись в начало) — операция вставки нового элемента в начало,
• [math] \mathtt{popFront} [/math] (снятие с начала) — операция удаления начального элемента.

Реализации

Дек расходует только [math]O(n)[/math] памяти, на хранение самих элементов.

Простая реализация

В данной реализации изначально [math] \mathtt{head = n - 1} [/math] и [math] \mathtt{tail = n - 1} [/math]. Ключевые поля:

• [math]\mathtt{d[0\dots 2 \times n - 1]}[/math] — массив, с помощью которого реализуется дек, способный вместить не более [math]n[/math] элементов,
• [math]\mathtt{head}[/math] — индекс головы дека,
• [math]\mathtt{tail}[/math] — индекс хвоста.

Дек состоит из элементов [math]\mathtt {d[head\dots tail - 1]}[/math]. Если происходит максимум [math]\mathtt {n}[/math] добавлений, то массив длины [math]\mathtt {2 \times n}[/math] может вместить в себя все добавленные элементы.

boolean empty():
  return head == tail

function pushBack(x : T):
  d[tail++] = x

T popBack():
  if (empty()) 
    return error "underflow" 
  return d[--tail]

function pushFront(x : T):
  d[--head] = x

T popFront():
  if (empty()) 
    return error "underflow" 
  return d[head++]

Циклический дек на массиве константной длины

Во всех циклических реализациях изначально присвоены следующие значения [math] \mathtt{head = 0} [/math] и [math] \mathtt{tail = 0} [/math]. Ключевые поля:

• [math]\mathtt{d[0\dots n-1]}[/math] — массив, с помощью которого реализуется дек, способный вместить не более [math]n[/math] элементов,
• [math]\mathtt{head}[/math] — индекс головы дека,
• [math]\mathtt{tail}[/math] — индекс хвоста.

Дек состоит из элементов [math]\mathtt {d[head\dots tail-1]}[/math] или [math]\mathtt {d[0\dots tail-1]}[/math] и [math]\mathtt {d[head\dots n-1]}[/math]. Всего он способен вместить не более [math]n[/math] элементов. В данной реализации учитывается переполнение и правильно обрабатывается изъятие из пустого дека. Недостатком является константная длина массива, хранящего элементы. Все операции выполняются за [math]O(1)[/math].

function pushBack(x : T):
  if (head == (tail + 1) % n)
    return error "overflow"
  d[tail] = x
  tail = (tail + 1) % n

T popBack():
  if (empty()) 
    return error "underflow" 
  tail = (tail - 1 + n) % n
  return d[tail]

function pushFront(x : T):
  if (head == (tail + 1) % n)
    return error "overflow"
  head = (head - 1 + n) % n
  d[head] = x

T popFront():
  if (empty()) 
    return error "underflow" 
  T ret = d[head]
  head = (head + 1) % n
  return ret

Циклический дек на динамическом массиве

Ключевые поля:

• [math]\mathtt{n}[/math] — размер массива,
• [math]\mathtt{d[0\dots n-1]}[/math] — массив, в котором хранится дек,
• [math]\mathtt{newDeque[0\dots newSize]}[/math] — временный массив, где хранятся элементы после перекопирования,
• [math]\mathtt{head}[/math] — индекс головы дека,
• [math]\mathtt{tail}[/math] — индекс хвоста.

Дек состоит из элементов [math]\mathtt {d[head\dots tail-1]}[/math] или [math]\mathtt {d[0\dots tail-1]}[/math] и [math]\mathtt {d[head\dots n-1]}[/math]. Если реализовывать дек на динамическом массиве, то мы можем избежать ошибки переполнения. При выполнении операций [math]\mathtt{pushBack}[/math] и [math]\mathtt{pushFront}[/math] происходит проверка на переполнение и, если нужно, выделяется большее количество памяти под массив. Также происходит проверка на избыточность памяти, выделенной под дек при выполнении операций [math]\mathtt{popBack}[/math] и [math]\mathtt{popFront}[/math]. Если памяти под дек выделено в четыре раза больше размера дека, то массив сокращается в два раза. Для удобства выделим в отдельную функцию [math]\mathtt{size}[/math] получение текущего размера дека.

int size()
  if tail > head
    return n - head + tail
  else
    return tail - head

function pushBack(x : T):
  if (head == (tail + 1) % n)
    T newDeque[n * 2]
    for i = 0 to n - 2
      newDeque[i] = d[head]
      head = (head + 1) % n
    d = newDeque
    head = 0
    tail = n - 1
    n *= 2
  d[tail] = x
  tail = (tail + 1) % n

T popBack():
  if (empty()) 
    return error "underflow"
  if (size() < n / 4)
    T newDeque[n / 2]
    int dequeSize = size()
    for i = 0 to dequeSize - 1
      newDeque[i] = d[head]
      head = (head + 1) % n
    d = newDeque
    head = 0
    tail = dequeSize
    n /= 2
  tail = (tail - 1 + n) % n
  return d[tail]

function pushFront(x : T):
  if (head == (tail + 1) % n)
    T newDeque[n * 2]
    for i = 0 to n - 2
      newDeque[i] = d[head]
      head = (head + 1) % n
    d = newDeque
    head = 0
    tail = n - 1
    n *= 2
  head = (head - 1 + n) % n
  d[head] = x

T popFront():
  if (empty()) 
    return error "underflow" 
  if (size() < n / 4)
    T newDeque[n / 2]
    int dequeSize = size()
    for i = 0 to dequeSize - 1
      newDeque[i] = d[head]
      head = (head + 1) % n
    d = newDeque
    head = 0
    tail = dequeSize
    n /= 2
  T ret = d[head]
  head = (head + 1) % n
  return ret

На списке

Ключевые поля:

• ListItem(data : T, next : ListItem, prev : ListItem) — конструктор,
• [math]\mathtt{tail}[/math] — ссылка на хвост,
• [math]\mathtt{head}[/math] — ссылка на голову.

Дек очень просто реализуется на двусвязном списке. Он состоит из элементов [math]\mathtt {head\dots tail}[/math]. Элементы всегда добавляются либо в [math]\mathtt{tail.prev}[/math], либо в [math]\mathtt{head.next}[/math]. В данной реализации не учитывается изъятие из пустого дека.

function initialize():
  head = ListItem(null, null, null)
  tail = ListItem(null, null, head)
  head.next = tail

function pushBack(x : T):
  head = ListItem(x, head, null)
  head.next.prev = head

T popBack():
  data = head.data
  head = head.next
  return data

function pushFront(x : T):
  tail = ListItem(x, null, tail)
  tail.prev.next = tail

T popFront():
  data = tail.data
  tail = tail.prev
  return data

На двух стеках

Ключевые поля:

• [math]\mathtt{leftStack}[/math] — ссылка на хвост,
• [math]\mathtt{rightStack}[/math] — ссылка на голову.

Храним два стека — [math]\mathtt{leftStack}[/math] и [math]\mathtt{rightStack}[/math]. Левый стек используем для операций [math]\mathtt{popBack}[/math] и [math]\mathtt{pushBack}[/math], правый — для [math]\mathtt{popFront}[/math] и [math]\mathtt{pushFront}[/math]. Если мы хотим работать с левым стеком и при этом он оказывается пустым, то достаем нижнюю половину элементов из правого и кладем в левый, воспользовавшись при этом локальным стеком. Аналогично с правым стеком. Худшее время работы — [math]O(n)[/math].

function pushBack(x : T):
  leftStack.push(x)

T popBack():
  if not leftStack.empty()
    return leftStack.pop() 
  else
    int size = rightStack.size()
    Stack<T> local
    for i = 0 to size / 2 
      local.push(rightStack.pop())
    while not rightStack.empty()
      leftStack.push(rightStack.pop())
    while not local.empty()
      rightStack.push(local.pop())
    return leftStack.pop()

function pushFront(x : T):
  rightStack.push(x)

T popFront():
  if not rightStack.empty()
    return rightStack.pop() 
  else
    int size = leftStack.size()
    Stack<T> local
    for i = 0 to size / 2 
      local.push(leftStack.pop())
    while not leftStack.empty()
      rightStack.push(leftStack.pop())
    while not local.empty()
      leftStack.push(local.pop())
    return rightStack.pop()

Лемма:

Амортизированная стоимость операции в таком деке — [math]O(1)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Воспользуемся методом предоплаты для доказательства. Достаточно доказать, что между двумя балансировками происходит достаточно амортизирующих их операций. Вначале в обоих стеках пусто, поэтому они сбалансированы. Рассмотрим дек после очередной балансировки, будем использовать две монеты для операций [math]\mathtt{push}[/math] и [math]\mathtt{pop}[/math] — одну для самой операции, а другую — в качестве резерва. Разберем худший случай: после очередной балансировки происходит удаление всех элементов только из одного стека. В таком случае при удалении кладем одну резервную монету на элемент из другого стека. Тогда учетная стоимость следующей балансировки равна нулю, поскольку на всех элементах дека лежит по монете.

[math]\triangleleft[/math]

См. также

• Стек
• Очередь
• Персистентный дек

Источники информации

• Википедия — Дек
• Wikipedia — Deque
• Open Data Structures — Building a Deque from Two Stacks