1sumwu

[math]1 \mid\mid \sum w_i U_i[/math]

Задача:

Есть один станок и [math]n[/math] работ. Для каждой работы заданы время выполнения [math] p_i,[/math] дедлайн [math]d_i[/math] и стоимость выполнения этой работы [math]w_i \geqslant 0[/math]. Необходимо минимизировать [math]\sum w_i U_i[/math].

Наивное решение

В общем случае, когда времена выполнения работ [math]p_i[/math] могут быть сколь угодно большими или, например, дробными, данная задача может быть решена с помощью перебора.

Будем перебирать все перестановки чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math], обозначающих номера заданий. При получении очередной перестановки просто будем пытаться выполнять задания в указанном порядке. Если значение [math]\sum \limits_{i=1}^n w_i U_i[/math], полученное при данном расположении заданий, лучше, чем предыдущие результаты, то обновляем ответ.

Данное решение будет работать за [math] \mathcal{O}(n \cdot n!)[/math].

Перебор с битовыми масками

Далее широко будет использоваться следующий факт:

Лемма:

Пусть все работы отсортированы в порядке неубывания дедлайнов [math]d_i[/math]. Тогда существует оптимальное расписание вида [math]i_1, i_2, \ldots, i_s, i_{s+1}, \ldots, i_n [/math], такое, что [math]i_1 \lt i_2 \lt \ldots \lt i_s [/math] — номера работ, которые успеют выполниться вовремя, а [math]i_{s+1}, \ldots, i_n [/math] — номера просроченных работ.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть у нас есть некоторое оптимальное раписание [math]S[/math]. Получим необходимое нам расписание путем переставления некоторых работ. Если работа с номером [math] i[/math] выполнится в [math]S[/math] с опозданием, то переставим эту работу в конец. При этом, так как работа просрочна в оптимальном расписании [math]S[/math], при такой перестановке не произойдет увеличения целевой функции. Если работы с номерами [math]i[/math] и [math]j[/math] в расписании [math]S[/math] выполняются вовремя, но при этом [math]d_i \lt d_j [/math], и [math]j[/math] стоит в [math]S[/math] раньше [math]i[/math], то переставим работу с номером [math]j[/math] так, чтобы она выполнялась после работы [math]i[/math]. Таким образом, каждая из работ, находившихся в [math]S[/math] между [math]j[/math] и [math]i[/math], включая [math]i[/math], будет выполняться в новом расписании на [math]p_j[/math] единиц времени раньше. Эта перестановка не повлияет на оптимальнось расписания: Ни одна из работ, котарая успевала выполниться в расписании [math]S[/math], не попадет в список просроченных работ при переставлении её на более раннее время. Число работ, не успевающих выполниться вовремя, не может уменьшится, иначе бы возникло противоречие с исходным выбором [math]S[/math], как оптимального решения. Поскольку [math]d_i \lt d_j [/math] и работа [math]i[/math] будет заканчиваться на [math]p_j[/math] единиц времени раньше, то стоящая сразу после нее работа [math]j[/math] тоже будет успевать выполниться.

[math]\triangleleft[/math]

Наше решение будет построено на переборе всех битовых масок. При построении решения мы будем опираться на доказанную лемму.

Если бит, соответствующий заданию с номером [math]i[/math] равен [math]1[/math], то это задание должно быть записано в список заданий, которые, возможно, успеют выполниться. Далее мы сортируем задания из этого списка по времени неубывания дедлайнов, а те задания, что не попали в этот список, должны быть отправлены в конец расписания в любом порядке. Далее проверяем полученное возможное расписание на корректность, и, в случае успеха, обновляем ответ.

Перебор всех масок может быть произведен за [math]\mathcal{O}(2 ^ n)[/math], и [math]\mathcal{O}(n)[/math] на пересчет ответа. Таким образом, это решение будет работать за [math]\mathcal{O}(n \cdot 2^n)[/math].

Псевдополиномиальное решение

В ситуации, когда времена выполнения работ [math]p_i[/math] целочисленные, а значение [math] \sum\limits_{i=1}^n p_i [/math] не очень большое, то для решения данной задачи можно применить динамическое программирование.

Описание алгоритма

Обозначим [math]T = \sum\limits_{i=1}^n p_i[/math]. Для всех [math]t = 0, 1, \ldots, T [/math] и [math]j = 1, \ldots, n[/math] будем рассчитывать [math]F_j(t)[/math] — значение целевой функции [math]\sum w_i U_i[/math], при условии, что были рассмотрены первые [math]j[/math] работ и общее время выполнения тех из них, что будут закончены вовремя, не превышает времени [math]t[/math].

1. Если [math]0 \leqslant t \leqslant d_j [/math] и работа [math]j[/math] успевает выполниться вовремя в расписании, соответствующем [math]F_j(t)[/math], то [math]F_j(t) = F_{j- 1}(t - p_j)[/math], иначе [math]F_j(t) = F_{j- 1}(t) + w_i[/math].
2. Если [math]t \gt d_j[/math], то [math]F_j(t) = F_{j}(d_j)[/math], поскольку все работы с номерами [math]j = 1, \ldots, j[/math], законченные позже, чем [math] d_j \geqslant \ldots \geqslant d_1 [/math], будут выполнены с опозданием.

Отсюда, получим соотношение:

[math] F_j(t) = \left \{\begin{array}{ll} \min(F_{j-1}(t-p_j), F_{j-1}(t) + w_j), & 0 \leqslant t \leqslant d_j \\ F_j(d_j), & d_j \lt t \lt T \end{array} \right. [/math]

В качестве начальных условий следует взять [math]F_j(t) = \infty [/math] при [math]t \lt 0, j = 0,\ldots, n [/math] и [math]F_0(t) = 0 [/math] при [math]t \geqslant 0 [/math].

Ответом на задачу будет [math]F_n(d_n)[/math].

Псевдокод

Приведенный ниже алгоритм вычисляет [math]F_j(t)[/math] для [math]j = 0,\ldots, n [/math] и [math]t = 0,\ldots, d_j [/math].

• За [math]p_{max}[/math] обозначим самое большое из времен выполнения заданий.
• Значения [math] F_j(t)[/math] будем хранить в массиве [math]F[j][t][/math].
• В массиве [math]w[i] [/math] хранятся стоимости выполнения работ, в [math]d[i] [/math] — дедлайны, а в [math]p[i] [/math] — продолжительности выполнения.

 function [math] \mathrm{getAnswer}(p : [/math] int[math]\mathbf{[n]},[/math] [math] w : [/math] int[math]\mathbf{[n]},[/math] [math] d : [/math] int[math]\mathbf{[n]} ):[/math] int
   int [math]T = 0 [/math]
   for [math]i = 1 .. n[/math]
      [math]T = T + p[i][/math]
   int [math]F[][][/math]
   сортируем работы по неубыванию времен дедлайнов [math]d[i][/math]
   for [math]t = -p_{max}[/math] to [math]-1[/math]
     for [math]j = 0[/math] to [math]n[/math]
       [math]F[j][t] = \infty[/math]
   for [math]t = 0[/math] to [math]T[/math]
     [math]F[0][t] = 0[/math]
   for [math]j = 1[/math] to [math]n[/math]
     for [math]t = 0[/math] to [math]d[j][/math]
       if [math] F[j-1][t] + w[j]  \lt  F[j-1][t-p[j]] [/math]   
          [math] F[j][t] = F[j-1][t] + w[j] [/math]
       else
         [math]  F[j][t] = F[j-1][t-p[j]] [/math]
     for [math]t = d[j] + 1[/math] to [math]T[/math]
       [math] F[j][t] = F[j][d[j]] [/math]
   return [math] F[n][d[n]] [/math]

Для того, чтобы найти само расписание, по доказанной выше лемме, нам достаточно найти множество работ [math]L[/math], которые будут выполнены с опозданием. Это может быть сделано следующим способом:

 function [math] \mathrm{getLate}(F : [/math] int[math]\mathbf{[n][p_{max}]},[/math] [math] p : [/math] int[math]\mathbf{[n]},[/math] [math] w : [/math] int[math]\mathbf{[n]},[/math] [math] d : [/math] int[math]\mathbf{[n]} ):[/math] set<int>
   int [math]t = d[n][/math]
   set<int> [math]L = \varnothing[/math]
   for [math]j = n[/math] downto [math]1[/math]
     [math]t = \min(t, d[j])[/math]
     if [math] F[j][t] = F[j-1][t] + w[j] [/math] 
       [math] L = L \cup \{j\} [/math]
     else
       [math] t = t - p[j] [/math]
   return [math]L[/math]

Согласно лемме, само расписание будет состоять из работ, не попавших в [math]L[/math], отсортированных по неубыванию [math]d_i[/math] и работ из [math]L[/math], записанных в конец в любом порядке.

Время работы

В функции [math]\mathrm{getAnswer}[/math] пересчет динамики происходит за [math] \mathcal{O}(n T)[/math], а функция [math]\mathrm{getLate}[/math] восстанавливает список просроченных работ за [math] \mathcal{O}(n)[/math]. Дальнейшее восстановление расписания происходит в худшем случае за [math] \mathcal{O}(n \log n)[/math]. Отсюда видно, что время работы приведенного выше алгоритма — [math] \mathcal{O}\Big(n \sum\limits_{i=1}^n p_i\Big)[/math].

См. также

• Классификация задач
• [math] 1 \mid r_i,p_i=p \mid \sum w_i U_i[/math]
• [math]1 \mid p_{i} = 1 \mid \sum w_{i}U_{i}[/math]
• [math]R2 \mid \mid C_{max}[/math]

Источники информации

• P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 26 - 28