Объём — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОВОРОТА)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 33 промежуточные версии 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
==ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОВОРОТА==
+
==Общий случай==
У нас есть гиперплоскость <tex>g</tex> и точки задающие её. В <tex>d</tex> мерном пространстве у нас будет <tex>d</tex> линейно независимых(ЛНЗ) точек <tex>a_1, a_2, \dots, a_d</tex>. Линейную независимость точек воспринимаем творчески.  
+
Объём в <tex>n</tex>-мерном пространстве определяется аналогично трехмерному случаю.  
{{Определение  
+
{{Определение
|definition=Будем называть набор из <tex>d</tex> точек '''линейно независимым''', если мы можем выбрать одну из них, провести вектора от нее до всех остальных и получить <tex>d-1</tex> ЛНЗ вектор.
+
|definition='''Объем''' {{---}} это сопоставляемая фигуре численная характеристика, такая, что:
 +
# У одинаковых фигур равные объемы (объем не меняется при движении фигуры как твердого целого);
 +
# Если одна фигура состоит из двух, то её объем равен сумме объемов её частей.  
 
}}
 
}}
 +
За единицу объема принимается объем <tex>n</tex>-мерного куба с ребром, равным единице.
  
Возьмем в нашем пространстве еще одну выделенную точку <tex>p</tex>. Получившийся набор <tex>a_1, a_2, \dots, a_d, p</tex> тоже будет ЛНЗ.
+
===Переход из одной системы координат в другую===
 +
Пускай мы посчитали объем в одной системе координат и теперь хотим перейти из нее в другую систему координат. Поскольку объем не инвариантен, он изменится.
  
Пусть у нас есть какая-то выделенная зарание система координат <tex>C</tex>. Эта система приходит обычно вместе с какой-то задачей, и обычно она декартова. И у нас тоже будет сейчас декартова.
+
{{Теорема
 +
|about=О замене переменных в <tex>n</tex>-кратном интеграле
 +
|statement= Пусть даны две <tex>n</tex>-мерные области: <tex>(D)</tex> в пространстве <tex>x_1 x_2\dots x_n</tex> и <tex>(\Delta)</tex> в пространстве <tex> \xi_1\xi_2\dots\xi_n</tex>, ограниченные каждая одной непрерывной {{---}} гладкой или кусочно-гладкой {{---}} поверхностью. Между ними с помощью формул
  
Мы знаем, что можно составить матрицу перехода, если умеем выразить координаты векторов в исходной базовой системе координат <tex>C</tex>.
+
<tex>
А в нашем случае мы это сделать, конечно, можем: поскольку вектор существует между любыми парами точек, просто сопредставим нашим точкам вектора, соединяющие начало координат <tex>O</tex> и очередную точку.
+
\begin{cases}
Значит, если нам известны координаты точек, то нам известны координаты векторов в ситеме <tex>C</tex>.
+
  x_1 = x_1(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n);
Запишем матрицу перехода и немножко преобразуем её:
+
  \\
 +
  x_2 = x_2(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n);
 +
  \\
 +
    \dotfill
 +
  \\
 +
  x_n = x_n(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n);
 +
\end{cases}
 +
</tex>
  
<tex>A = \begin{pmatrix} \overrightarrow{Oa_1} - \overrightarrow{Op} \\ \overrightarrow{Oa_2} - \overrightarrow{Op} \\ \dots \\ \overrightarrow{Oa_d} - \overrightarrow{Op} \end{pmatrix}^ \intercal =
+
устанавливается взаимно однозначное соответствие. Тогда, при обычных предположениях относительно производных и сохранения знака якобианом
\begin{pmatrix} a_1 - p \\ a_2 - p\\ \dots \\ a_d - p \end{pmatrix}^ \intercal  =
+
<tex> J =  
\begin{pmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ p & 1 \end{pmatrix}^ \intercal</tex>
+
\begin{vmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_1} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_1} & \cdots & \dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_1}  
 +
\\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_2} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_2} & \cdots &\dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_2}
 +
\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
 +
\\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_n} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_n} & \cdots &\dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_n}
 +
\end{vmatrix}
 +
</tex>,
  
В дальнейшем нас будут интересовать детерминант этой матрицы и его знак:
+
интеграл от непрерывной в <tex>(D)</tex> функции <tex>f(x_1, x_2, \dots, x_n)</tex> может быть преобразован по формуле
+
<tex>\displaystyle \idotsint\limits_{(D)}f(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n =
<tex>det(A) = \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ p & 1 \end{vmatrix}</tex>
+
\idotsint\limits_{(\Delta)}f(x_1(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n), \dots, x_n(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n))|J|\mathrm d\xi_1\dots \mathrm d\xi_n
 +
</tex>.
  
{{Лемма
 
|id=pOnPlane
 
|statement=Точка <tex>p</tex> лежит на плоскости <tex>g</tex> тогда и только тогда, когда определитель матрицы <tex>A</tex> равен <tex>0</tex>.
 
 
|proof=
 
|proof=
Плоскость <tex>g</tex> определяется замыканием набора <tex>a_1, a_2, \dots, a_d</tex> ЛНЗ точек, значит, если <tex>p</tex> принадлежит множеству, то <tex>p</tex> является линейной комбинацией этих точек. В этом случае мы с помощью преобразований можем получить нулевую стррочку в матрице <tex>A</tex>, значит, ее определитель будет ноль.
+
Подробное доказательство приведено в учебнике Фихтенгольца<ref>Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 3, 2003 г. {{---}} 440 c.</ref>.
 
}}
 
}}
Разобъем все точки пространства(кроме тех, что лежат на плоскости) на два множества в зависимости от того, какой знак для них будет иметь детерминант <tex>A</tex>. Покажем, что наша классификация осмысленна.
 
{{Лемма
 
|id= pConvex
 
|statement= Получившиеся множества будут выпуклыми.
 
|proof= По определению выпуклого множества. Возьмем две любые точки <tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex>, лежащие в одной области. По аксиоматике существует вектор <tex>\overrightarrow{p_1p_2}</tex>  и по определению можно сделать линейную комбинацию. Значит можем получить любую точку между <tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex>, лежащую с ними на одной прямой, отложив от <tex>p_1</tex> вектор <tex>\alpha \overrightarrow{p_1p_2}</tex>, где <tex>\alpha \in [0..1]</tex>. Если подставить это в определитель, то получим
 
  
<tex>\begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ p_1 + \alpha\overrightarrow{p_1p_2} & 1 \end{vmatrix} =  
+
===Вычисление объема===
\begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ \alpha p_2 + (1 - \alpha)p_1 & 1 \end{vmatrix} =  
+
Объём тела в <tex>n</tex>-мерном пространстве вычисляется как определённый интеграл
\alpha \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\  p_2 & 1 \end{vmatrix} +
+
 
(1 - \alpha) \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ p_1 & 1 \end{vmatrix} </tex>
+
<tex>\displaystyle \idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n </tex>,
Матрицы одинакового знака, и стоящие перед ними коэффициенты положительны. Значит, у нашей точки будет тот же знак определителя, что и у <tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex>.
+
 
}}
+
где <tex>\chi(x_1, \dots, x_n)</tex> – характеристическая функция геометрического образа тела.
 +
 
 +
==Вычисление объема простых фигур==
 +
===Параллелепипед===
 +
Пусть параллелепипед задаётся точкой <math>p</math>, и ЛНЗ векторами <math>\{\vec{a_i}\}_{i=0}^n</math>,
 +
<math>\chi(x_1, \dots, x_n)</math> — его характеристическая функция.
 +
Для вычисления объёма сначала сместим начало системы координат в точку <math>p</math>,
 +
а затем заменим базис на <math>\{\vec{a_i}\}_{i=0}^n</math>.
 +
В новой системе координат параллелепипед будет областью <math>\left[0,1\right]^n</math>.
 +
 
 +
<math> \displaystyle
 +
x_i = \sum_{j=1}^n (a_j - p)_i \xi_j \text{,}\\
 +
\frac{\partial x_i}{\partial \xi_j} = (a_j - p)_i \text{,}\\
 +
J =  
 +
\begin{vmatrix} (a_1 - p)_1 & (a_1 - p)_2 & \cdots & (a_1 - p)_n
 +
\\ (a_2 - p)_1 & (a_2 - p)_2 & \cdots &(a_2 - p)_n
 +
\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
 +
\\ (a_n - p)_1 & (a_n - p)_2 & \cdots &(a_n - p)_n
 +
\end{vmatrix} =
 +
\begin{vmatrix}
 +
a_1 - p \\ a_2 - p \\ \vdots \\ a_n - p
 +
\end{vmatrix} =
 +
\begin{vmatrix}
 +
a_1 & 1 \\ a_2 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & 1 \\ p & 1
 +
\end{vmatrix} \text{,}\\
 +
\idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n
 +
= \idotsint\limits_{\left[0,1\right]^n}\left|J\right|\mathrm d\xi_1 \dots \mathrm d\xi_n = \left|J\right|\text{.}
 +
</math>
 +
 
 +
== См. также==
 +
* [[Аффинное пространство]]
 +
 
 +
==Примечания==
 +
 
 +
<references />
 +
 
 +
== Источники информации ==
  
==ОБЪЕМ==
+
[[Категория: Вычислительная геометрия]]
 +
[[Категория: Основание вычислительной геометрии]]

Текущая версия на 19:13, 4 сентября 2022

Общий случай

Объём в [math]n[/math]-мерном пространстве определяется аналогично трехмерному случаю.

Определение:
Объем — это сопоставляемая фигуре численная характеристика, такая, что:
  1. У одинаковых фигур равные объемы (объем не меняется при движении фигуры как твердого целого);
  2. Если одна фигура состоит из двух, то её объем равен сумме объемов её частей.

За единицу объема принимается объем [math]n[/math]-мерного куба с ребром, равным единице.

Переход из одной системы координат в другую

Пускай мы посчитали объем в одной системе координат и теперь хотим перейти из нее в другую систему координат. Поскольку объем не инвариантен, он изменится.

Теорема (О замене переменных в [math]n[/math]-кратном интеграле):
Пусть даны две [math]n[/math]-мерные области: [math](D)[/math] в пространстве [math]x_1 x_2\dots x_n[/math] и [math](\Delta)[/math] в пространстве [math] \xi_1\xi_2\dots\xi_n[/math], ограниченные каждая одной непрерывной — гладкой или кусочно-гладкой — поверхностью. Между ними с помощью формул

[math] \begin{cases} x_1 = x_1(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n); \\ x_2 = x_2(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n); \\ \dotfill \\ x_n = x_n(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n); \end{cases} [/math]

устанавливается взаимно однозначное соответствие. Тогда, при обычных предположениях относительно производных и сохранения знака якобианом [math] J = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_1} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_1} & \cdots & \dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_1} \\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_2} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_2} & \cdots &\dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_n} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_n} & \cdots &\dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_n} \end{vmatrix} [/math],

интеграл от непрерывной в [math](D)[/math] функции [math]f(x_1, x_2, \dots, x_n)[/math] может быть преобразован по формуле

[math]\displaystyle \idotsint\limits_{(D)}f(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n = \idotsint\limits_{(\Delta)}f(x_1(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n), \dots, x_n(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n))|J|\mathrm d\xi_1\dots \mathrm d\xi_n [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Подробное доказательство приведено в учебнике Фихтенгольца[1].
[math]\triangleleft[/math]

Вычисление объема

Объём тела в [math]n[/math]-мерном пространстве вычисляется как определённый интеграл

[math]\displaystyle \idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n [/math],

где [math]\chi(x_1, \dots, x_n)[/math] – характеристическая функция геометрического образа тела.

Вычисление объема простых фигур

Параллелепипед

Пусть параллелепипед задаётся точкой [math]p[/math], и ЛНЗ векторами [math]\{\vec{a_i}\}_{i=0}^n[/math], [math]\chi(x_1, \dots, x_n)[/math] — его характеристическая функция. Для вычисления объёма сначала сместим начало системы координат в точку [math]p[/math], а затем заменим базис на [math]\{\vec{a_i}\}_{i=0}^n[/math]. В новой системе координат параллелепипед будет областью [math]\left[0,1\right]^n[/math].

[math] \displaystyle x_i = \sum_{j=1}^n (a_j - p)_i \xi_j \text{,}\\ \frac{\partial x_i}{\partial \xi_j} = (a_j - p)_i \text{,}\\ J = \begin{vmatrix} (a_1 - p)_1 & (a_1 - p)_2 & \cdots & (a_1 - p)_n \\ (a_2 - p)_1 & (a_2 - p)_2 & \cdots &(a_2 - p)_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (a_n - p)_1 & (a_n - p)_2 & \cdots &(a_n - p)_n \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 - p \\ a_2 - p \\ \vdots \\ a_n - p \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & 1 \\ p & 1 \end{vmatrix} \text{,}\\ \idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n = \idotsint\limits_{\left[0,1\right]^n}\left|J\right|\mathrm d\xi_1 \dots \mathrm d\xi_n = \left|J\right|\text{.} [/math]

См. также

Примечания

  1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 3, 2003 г. — 440 c.

Источники информации