Определения, 1 семестр, Кохась К.П. — различия между версиями
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
|
(не показана 1 промежуточная версия 1 участника) | |
(нет различий)
|
Текущая версия на 19:07, 4 сентября 2022
* - ТРЕБУЕТ ДОРАБОТКИ
1. Упорядоченная пара - семейство из двух элементов.
2. Декартово произведение множеств X и Y - множество упорядоченных пар (x; y) : x
X, y Y.3. Операции над множествами:
- (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В ( );
- (Пересечение множеств А и В: );
- (Объединение множеств А и В: );
- (Разность множеств: ;
-
-
- ...
- , и так далее..
— объединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:
- — «множество всего», «универсальное множество».
- \ — дополнение множества А, дополнительное множество к А до U;
4*. Пополненное множество вещественных чисел, операции и порядок в нем. Множество пополнено элементами
и . Причем для выполняется неравенство . Операции допишите или придумайте на экзамене5*. Подмножество в
, ограниченное сверху.6. Элемент
называется максимальным элементом множества, если .7. Последовательность
Определение: |
Последовательность — функция натурального аргумента:
— значения , — множество значений |
— сумма последовательностей.
— произведение последовательностей.
В общем, арифметические действия с последовательностями совершаются над элементами с одинаковыми номерами.
8. Образ множества
под действием отображения - множество всех f(x), где . Прообраз множества относительно отображения : { }9. Инъекция, сюръекция, биекция Инъективное отображение — переводит разные элементы A в разные элементы B:
Сюръективное отображение(на множестве B) — каждый элемент множества B является образом хотя бы одного элемента множества A:
Биективное отображение — инъекция + сюръекция — взаимно однозначное соответствие, обладает двумя предыдущими свойствами.
10. Целая часть числа y - наименьшее число
11. Законы де Моргана
Теорема (де Моргана): |
12. Векторозначная функция - функция, областью значений которой является не числовое множество, а что-нибудь посложнее. (например,
) (c) ИМ13*. Координатная функция
14. Графиком функции f называется множество
{ } (В оригинале Г c индексом f)15. Композиция отображений
16*. Сужение и продолжение отображений.
17*. Предел последовательности (эпсилон-дельта определение)
18. Предел последовательности (определение на языке окрестностей)
Определение: |
Число Записывают: | называется пределом последовательности , если:
19. Пусть — абстрактное множество.
— прямое произведение множества на себя
Определение: |
Отображение
| — называется метрикой на , если выполняются аксиомы
Если на определена метрика, то пара называется метрическим пространством, аббревиатура — МП.
Подпространство?
20*. Окрестность точки, проколотая окрестность, окрестности в R с чертой.
Определение: |
Пусть | — метрическое пространство, пусть , тогда открытый шар радиуса в точке — это множество
- окрестность точки . Проколотая - окрестность точки не включает в себя точку .
21. Векторное пространство Множество X называется векторным пространством над полем
, если введены 2 операции:- сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и
- умножения на скаляр (то есть элемент поля ), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие единственный элемент из , обозначаемый .
При этом на операции накладываются следующие условия:
- , для любых (коммутативность сложения);
- , для любых (ассоциативность сложения);
- существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности не пусто;
- для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).
- (ассоциативность умножения на скаляр);
- (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
- (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
- (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).
Элементы множества
называют векторами, а элементы поля — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.22. Норма в векторном пространстве
над полем вещественных или комплексных чисел — это отображение , обладающее следующими свойствами:- (неравенство треугольника);
Эти условия являются аксиомами нормы.
23. Скалярным произведением в векторном пространстве
над полем называется функция для элементов , принимающая значения в , определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:- для любых трех элементов и пространства и любых чисел справедливо равенство (линейность скалярного произведения по первому аргументу);
- для любых и справедливо равенство , где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);
- для любого имеем , причем только при (положительная определенность скалярного произведения).
Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.
24. Последовательность
сходится к бесконечности , если25.Верхняя, нижняя границы; супремум, инфимум
Определение: |
Если называется верхней границей множества А. Если , то A называется ограниченным снизу множеством.Если называется нижней границей множества А. , то A называется ограниченным множеством. | , то A называется ограниченным сверху множеством.
Определение: |
Если | — ограничено сверху, то наимешьшая из его верхних границ называется верхней гранью. ("супремум")
Определение: |
Если | — ограничено снизу, то наибольшая из его нижних границ называется нижней гранью. ("инфимум")
26. Функция f ограниченна сверху на E, если
27. Функция f строго возрастает на E, если
Функция f нестрого возрастает на E, если Монотонна = нестрого возрастает или убывает28.
. a - внутренняя точка D, если D - открытое множество, если все его точки внутренние IntD - внутренность множества D - множество всех внутренних точек множества D.29. a - предельная точка множества D, если
30. Множество D замкнуто, если содержит все свои предельные точки Замыкание множества D - (?) функция, возвращающая наименьшее по включению замкнутое множество, содержащее D. a - граничная точка множества D, если в любой эпсилон-окрестности точки a есть точки как принадлежащие D, так и не принадлежащие. Граница D - множество всех граничных точек множества D.
31.
- верхняя огибающая- нижняя огибающая
Верхним пределом
называют предел .Нижним пределом
называют предел .32.
- частичный предел , если33.
- МП, - другое МП, , a - предельные точки D.
- Определение по Коши:
- На языке окрестностей:
- по Гейне:
34.
называется пределом f(x) при по множеству35.
называется пределом справаназывается пределом слева
36
Определение: |
Семейство множеств | называется покрытием множества , если .
Определение: |
Пусть | — метрическое пространство, . Покрытие множества называется компактным, если из любого открытого покрытия можно извлечь конечное подпокрытие
37. Последовательность точек
метрического пространства называется фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши:для любого
существует такое натуральное , что для всех .38. Метрическое пространство (X, p) называется полным, если любая фундаментальная последовательность из X сходится.
39. Отображение
называется непрерывным в данной точке , если для любой окрестности найдется окрестность , такая что самой точки.40*. Непрерывность слева
41. Числовая функция вещественного переменного
равномерно непрерывна, еслиЗдесь важно, что выбор
зависит только от величины .42. Степенна́я фу́нкция — функция
, где показатель степени — некоторое вещественное числo. К степенным часто относят и функцию вида , где k — некоторый масштабный множитель.43. Показательная функция — математическая функция
, где называется «основанием», а — «показателем» степени.44. Логари́фм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. Обозначение:
. Из определения следует, что записи и равносильны.45-46. Пусть
и — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки , причем в этой окрестности не обращается в ноль. Говорят, что:-
- ;
является «O» большим от при , если существует такая константа , что для всех из некоторой окрестности точки имеет место неравенство
-
Иначе говоря, в первом случае отношение
в окрестности точки ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при .47. Функции f и g называются эквивалентными, если f - g = o(g), т.е. если
такое, что \{ } выполняется неравенство | | < | |48*. Асимптотически равные функции
49. Пусть функции
удовлетворяют свойству: для некоторой предельной точки области определения функции f(x). Последовательность функций , удовлетворяющая указанным условиям, называется асимптотической последовательностью. Ряд: , для которого выполняются условия :или эквивалентно:
называется асимптотическим разложением функции f (x) или её асимптотическим рядом. Этот факт отражается:
50. Наклонная асимптота — прямая вида
при условии существования пределовЗамечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!
Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен
), то наклонной асимптоты при (или ) не существует!51. Функция
называется дифференцируемой в точке
своей области определения , если существует такая линейная функция- ,
что для любой точки
области верно- ,
то есть, раскрывая символ «o» малое, если
- .
Множество всех функций, определённых и дифференцируемых во всех точках области
является кольцом.52. Пусть в некоторой окрестности точки
определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности можно представить в видеесли
существует.Определение через пределы:
Пусть в некоторой окрестности точки
определена функция Производной функции в точке называется предел, если он существует,Обозначения:
53. Для функции
, заданной на отрезке , каждое из выражений
называется дробной производной порядка
, , соответственно левосторонней и правосторонней. Дробные производные в приведенном виде называют обычно производными Римана — Лиувилля.54*. Производная n-го порядка
55. Пусть функция
бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный рядназывается рядом Тейлора функции
в точке .