Представление функции класса DM с помощью медианы

Теорема:

Любую монотонную самодвойственную булеву функцию (self-Dual, Monotone) можно представить как некоторую суперпозицию функции медианы(majority function, median operator).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Единственная унарная функция из класса DM — проектор. С помощью медианы её можно выразить так: [math] P_1(x) = \langle x, x, x\rangle [/math]. Бинарных функций из класса DM всего две. Рассмотрим эти функции : [math] ~f(0,0) \lt f(1,1)[/math] и [math] f(0,0) = \lnot f(1,1)[/math], следовательно, [math] f(0,0)=0[/math] и [math] f(1,1)=1 [/math] [math] ~f(0,1) = \lnot f(1,0)[/math] Из первого и второго пункта видно, что подходят только проекторы — [math] P_1,P_2 [/math] Теперь покажем, как эти функции можно представить с помощью медианы : [math] P_1 = \langle x, x, y \rangle, P_2 = \langle x, y, y\rangle[/math]. Только четыре тернарные функции принадлежат классу DM. Рассмотрим эти функции : Заметим, что для всех таких функций [math] f(0,0,0) \lt f(1,1,1)[/math] и [math] f(0,0,0) = \lnot f(1,1,1), [/math] следовательно [math], f(0,0,0) = 0 [/math] и [math] f(1,1,1) = 1 [/math] [math]f(1,0,0)= 1 \Rightarrow\left\{\begin{matrix} f(0,1,1) = \lnot f(1,0,0) = 0 \\ f(0,0,1) = f(0,1,0)= 0 \\ f(1,0,1) = f(1,1,0) = 1 \end{matrix}\right.\Rightarrow f=P_1 [/math]   [math]f(0,1,0)= 1 \Rightarrow\left\{\begin{matrix} f(1,0,1) = \lnot f(0,1,0) = 0 \\ f(0,0,1) = f(1,0,0)= 0 \\ f(1,1,0) = f(0,1,1)= 1 \end{matrix}\right.\Rightarrow f=P_2 [/math]   [math]f(0,0,1)= 1 \Rightarrow\left\{\begin{matrix} f(1,1,0) = \lnot f(1,0,0) = 0 \\ f(1,0,0) = f(0,1,0) = 0 \\ f(1,0,1) = f(0,1,1) = 1 \end{matrix}\right.\Rightarrow f=P_3 [/math] [math]f(1,0,0) = f(0,1,0) = f(0,0,1) = 0, [/math] следовательно, [math] f = \langle x_1,x_2,x_3\rangle [/math] Покажем как эти функции представляются с помощью медианы : [math] P_1 = \langle x, x, y\rangle [/math] [math] P_2 = \langle x, y, y\rangle [/math] [math] P_3 = \langle x, z, z\rangle [/math]. Теперь рассмотрим произвольную монотонную самодвойственную функцию [math] f : \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B} [/math] для [math] n \gt 3 [/math]. Обозначим аргументы [math] x_4, x_5 \dots x_n [/math] за [math] \bar x [/math], то есть [math] f(x_1, x_2, x_3, x_4 \dots x_n) = f(x_1, x_2, x_3, \bar x) [/math]. Тогда введем три функции от [math]n - 1[/math] аргумента : [math] f_1(x_1, x_2, \bar x) = f(x_1, x_2, x_2, \bar x) [/math] [math] f_2(x_2, x_3, \bar x) = f(x_3, x_2, x_3, \bar x) [/math] [math] f_3(x_3, x_1, \bar x) = f(x_1, x_1, x_3, \bar x) [/math] Очевидно, они также самодвойственны и монотонны из определения [math]f[/math], и [math]f[/math] можно выразить одной из функций [math] f_1, f_2, f_3 [/math], так как два из трех аргументов точно совпадут. Теперь выразим [math]f[/math] через [math] f_1, f_2, f_3 [/math] : [math] f(x_1 \dots x_n) = \langle f_1(x_1, x_2, \bar x), f_2(x_2, x_3, \bar x), f_3(x_3, x_1, \bar x) \rangle [/math] Все три аргумента равны : [math] x_1 = x_2 = x_3 [/math], тогда, очевидно, что равенство выполняется. Равны два аргумента : [math] x_1 = x_2 \ne x_3 [/math] (случаи [math] x_1 = x_3 \ne x_2 [/math] и [math] x_2 = x_3 \ne x_3 [/math] доказываются аналогично). Тогда : [math] f = f(x_1, x_1, x_3, \bar x)[/math], [math] f_1 = f(x_1, x_1, x_1, \bar x)[/math], [math]f_2 = f(x_3, x_1, x_3, \bar x)[/math], [math]f_3 = f(x_1, x_1, x_3, \bar x)[/math].Рассмотрим два случая : [math] x_1 = x_2 = 0, x_3 = 1.[/math] Тогда можно упорядочить [math] f_1, f_2, f_3 [/math] по возрастанию наборов их переменных (используя свойство их монотонности): [math] f(0, 0, 0, \bar x) \le f(0, 0, 1, \bar x) \le f(1, 0, 1, \bar x) [/math]. Так как [math] f(0, 0, 1, \bar x) [/math] зажато между двумя остальными функциями, то она и будет медианой [math] f_1, f_2, f_3 [/math]. [math] x_1 = x_2 = 1, x_3 = 0 [/math]. Доказывается аналогично.

[math]\triangleleft[/math]

Интересный сайт, где можно посмотреть количество таких функций при каждом n.