Цифровая сортировка

Цифровая сортировка — один из алгоритмов сортировки, использующих внутреннюю структуру сортируемых объектов.

Алгоритм

Пример цифровой сортировки трехзначных чисел

При цифровой сортировке данные разбиваются на "разряды", после чего они сортируются какой-либо устойчивой сортировкой по каждому разряду, в порядке от младшего разряда к старшему. Для чисел наиболее часто в качестве устойчивой сортировки применяют сортировку подсчетом.

Корректность алгоритма

Докажем, что данный алгоритм работает верно, используя метод математической индукции по номеру разряда. Для простоты рассуждений будем предполагать, что объекты сортируются по неубыванию. Пусть [math] n [/math] — количество разрядов в сортируемых объектах.

• База: [math] n = 1 [/math]. Очевидно, что алгоритм работает верно, потому что в таком случае мы просто сортируем младшие разряды какой-то заранее выбранной стабильной сортировкой.
• Переход: Пусть для [math] n = k [/math] алгоритм правильно отсортировал элементы по [math] k [/math] младшим разрядам. Покажем, что в таком случае, при сортировке по [math] (k + 1) [/math]-ому разряду, объекты также будут отсортированы в правильном порядке. Вспомогательная сортировка разобьет все объекты на группы, в которых [math] (k + 1) [/math]-ый разряд объектов одинаковый. Рассмотрим такие группы. Для сортировки по отдельным разрядам мы используем стабильную сортировку, следовательно порядок объектов с одинаковым [math] (k + 1) [/math]-ым разрядом не изменился. Но по предположению индукции по предыдущим [math] k [/math] разрядам объекты были отсортированы правильно, и поэтому в каждой такой группе объекты будут отсортированы верно. Также верно, что сами группы находятся в правильном относительно друг друга порядке, а, следовательно, и все элементы отсортированы правильно по [math] (k + 1) [/math]-ым младшим разрядам.

Псевдокод

В качестве примера рассмотрим сортировку чисел. Как говорилось выше, в такой ситуации в качестве стабильной сортировки применяют сортировку подсчетом, так как обычно количество различных значений разрядов не превосходит количества сортируемых элементов. Ниже приведен псевдокод цифровой сортировки, которой подается массив [math] A [/math] [math] m [/math]-разрядных чисел размера [math] n [/math]. Функция [math] digit(x, i) [/math] возвращает [math] i [/math]-ый разряд числа [math] x [/math]. Так же считаем, что значения разрядов меньше [math] k [/math].

 radixSort(A)
     for i = 1 to m                                  
         for j = 0 to k - 1                             // обнуление вспомогательного массива С, 
             C[j] = 0;                                  // использующегося в качестве счетчика
         for j = 0 to n - 1
             C[digit(A[j], i)] = C[digit(A[j], i)] + 1; 
         for j = 1 to k - 1
             C[j] = C[j] + C[j - 1];
         for j = n - 1 to 0                             // заполняем вспомогательный массив B, в котором после каждой итерации
             B[C[digit(A[j], i)]] = A[j];               // внешнего цикла числа отсортированы по младшим i битам
             C[digit(A[j], i)] = C[digit(A[j], i)] - 1;
         A = B;

Сложность

Пусть [math] m [/math] — количество разрядов, [math] n [/math] — количество объектов, которые нужно отсортировать, [math] T(n) [/math] — время работы устойчивой сортировки. Цифровая сортировка выполняет [math] k [/math] итераций, на каждой из которой выполняется устойчивая сортировка и не более [math] O(1) [/math] других операций. Следовательно время работы цифровой сортировки — [math] O(k \cdot T(n)) [/math].

Рассмотрим отдельно случай сортировки чисел. Пусть в качестве аргумента сортировке передается массив, в котором содержатся [math] n [/math] [math] m [/math]-значных чисел, и каждая цифра может принимать значения от [math] 0 [/math] до [math] k - 1 [/math]. Тогда цифровая сортировка позволяет отсортировать данный массив за время [math] O(m \cdot (n + k)) [/math], если устойчивая сортировка имеет время работы [math] O(n + k) [/math]. Если [math] k [/math] небольшое, то оптимально выбирать в качестве устойчивой сортировки сортировку подсчетом.

Если количество разрядов — константа, а [math] k = O(n) [/math], то сложность цифровой сортировки составляет [math] O(n) [/math], то есть она линейно зависит от количества сортируемых чисел.

Литература

• Дональд Кнут Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск
• Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Алгоритмы: построение и анализ

Ссылки

• Визуализатор1 — Java-аплет.
• Визуализатор2 — Java-аплет.