Алгебра и геометрия 1 курс — различия между версиями
Gfv (обсуждение | вклад) (→Cпектральный анализ линейных операторов в конечномерном пространстве) |
Gfv (обсуждение | вклад) (→Евклидово пространство) |
||
| Строка 39: | Строка 39: | ||
* [[Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство | Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство. Основные неравенства.]] | * [[Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство | Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство. Основные неравенства.]] | ||
* [[Комплексное евклидово пространство | Комплексное евклидово пространство. Основные неравенства.]] | * [[Комплексное евклидово пространство | Комплексное евклидово пространство. Основные неравенства.]] | ||
| − | * [[Ортогональность | Ортогональность. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. | + | * [[Ортогональность | Ортогональность. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор.]] |
| − | |||
* [[Задача о перпендикуляре | Задача о перпендикуляре.]] | * [[Задача о перпендикуляре | Задача о перпендикуляре.]] | ||
| − | * [[Ортогональные системы векторов | Ортогональные системы векторов: коэффициенты Фурье, неравенства | + | * [[Ортогональные системы векторов | Ортогональные системы векторов: коэффициенты Фурье, неравенства Бесселя и Парсеваля.]] |
* [[Метрический тензор | Метрический тензор. Естественный изоморфизм евклидова и сопряженного ему пространств.]] | * [[Метрический тензор | Метрический тензор. Естественный изоморфизм евклидова и сопряженного ему пространств.]] | ||
* [[Ковариантность и контравариантность| Ковариантные и контравариантные координаты вектора. Операции поднятия и опускания индексов.]] | * [[Ковариантность и контравариантность| Ковариантные и контравариантные координаты вектора. Операции поднятия и опускания индексов.]] | ||
| − | * [[Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор | Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор в евклидовом пространстве: основные определения и свойства | + | * [[Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор | Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор в евклидовом пространстве: основные определения и свойства, теоремы о скалярном типе эрмитова и самосопряженного оператора, спектральная теорема, минимальное свойство, приведение эрмитовой матрицы к диагональному виду унитарным преобразованием.]] |
| − | + | * [[Унитарный и ортогональный операторы | Унитарный и ортогональный операторы: основные определения и свойства, теорема о скалярном типе унитарного оператора, спектральная теорема.]] | |
| − | + | * [[Квадратичные формы | Квадратичные формы: основные определения, приведение к каноническому виду методом Лагранжа, приведение к каноническому виду унитарным преобразованием, закон инерции квадратичной формы, одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов]] | |
| − | * [[Унитарный и ортогональный операторы | Унитарный и ортогональный операторы: основные определения и свойства | ||
| − | |||
| − | |||
| − | * [[Квадратичные формы | Квадратичные формы: основные определения, приведение к каноническому виду методом Лагранжа | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
Версия 02:53, 12 июня 2013
Содержание
Линейные операторы
- Линейные операторы и их матричная запись. Примеры
- Пространство линейных операторов
- Алгебра. Примеры. Изоморфизм алгебр
- Алгебра операторов и матриц
- Обратная матрица
- Ядро и образ линейного оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.
- Обратный оператор. Критерий существования обратного оператора.
Тензорная алгебра
- Преобразование координат векторов Х и Х* при замене базиса.
- Преобразование матрицы линейного оператора А при замене базиса. Преобразование подобия.
- Тензоры (ковариантность, независимое от ПЛФ определение). Пространство тензоров.
- Свертка тензора.
- Транспонирование тензора.
- Определитель линейного оператора. Внешняя степень оператора.
- Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей.
Cпектральный анализ линейных операторов в конечномерном пространстве
- Инварианты линейного оператора. Инвариантные подпространства.
- Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: основные определения, свойства, существование, вычисление.
- Cпектральный анализ линейного оператора с простым спектром: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
- Cпектральный анализ скалярного оператора: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
- Спектральная теорема и функциональное исчисление для скалярного оператора. Инварианты скалярного оператора. Тождество Кэли.
Cпектральный анализ линейных операторов в конечномерном пространстве: операторы общего вида
- Ультраинвариантные подпространства.
- Алгебра скалярных полиномов. Идеал. Минимальный полином.
- Алгебра операторных полиномов. Минимальный полином линейного оператора.
- Разложение линейного пространства в сумму подпространств. 2-я теорема о ядре и образе. Теорема о проекторах.
- Минимальный полином и инвариантные подпространства. Спектральная теорема для линейного оператора произвольного вида.
- Нильпотентные операторы (определение, простейшие свойства). Жорда-нова клетка.
- Структура нильпотентного оператора. Базис Жордана (обзор).
- Жорданова форма матрицы линейного оператора.
- Кратности собственных чисел (алгебраическая, геометрическая, полная). Теорема Гамильтона-Кэли.
Евклидово пространство
- Метрические, нормированные и евклидовы пространства.
- Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство. Основные неравенства.
- Комплексное евклидово пространство. Основные неравенства.
- Ортогональность. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор.
- Задача о перпендикуляре.
- Ортогональные системы векторов: коэффициенты Фурье, неравенства Бесселя и Парсеваля.
- Метрический тензор. Естественный изоморфизм евклидова и сопряженного ему пространств.
- Ковариантные и контравариантные координаты вектора. Операции поднятия и опускания индексов.
- Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор в евклидовом пространстве: основные определения и свойства, теоремы о скалярном типе эрмитова и самосопряженного оператора, спектральная теорема, минимальное свойство, приведение эрмитовой матрицы к диагональному виду унитарным преобразованием.
- Унитарный и ортогональный операторы: основные определения и свойства, теорема о скалярном типе унитарного оператора, спектральная теорема.
- Квадратичные формы: основные определения, приведение к каноническому виду методом Лагранжа, приведение к каноническому виду унитарным преобразованием, закон инерции квадратичной формы, одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов
