Множества — различия между версиями
(→Операции) |
|||
Строка 29: | Строка 29: | ||
#* <tex> \bigcup\limits_{0 < x < 1} A_x </tex> | #* <tex> \bigcup\limits_{0 < x < 1} A_x </tex> | ||
#* <tex> \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} </tex>, и так далее.. | #* <tex> \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} </tex>, и так далее.. | ||
− | # <tex> A \cup B \cup C ... \subseteq U </tex> {{---}} «множество всего», «универсальное множество» | + | # <tex> A \cup B \cup C ... \subseteq U </tex> {{---}} «множество всего», «универсальное множество»; |
# <tex>\overline{A} = U </tex> \ <tex> A </tex> {{---}} дополнение множества А, дополнительное множество к А до U. | # <tex>\overline{A} = U </tex> \ <tex> A </tex> {{---}} дополнение множества А, дополнительное множество к А до U. | ||
Версия 01:11, 10 февраля 2015
Начальные определения
Множество - первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как «совокупность объектов, объединенных общим свойством».
В математическом анализе используется «наивная» теория множеств, которая является удобным языком описания фактов. Создана немецким математиком Г. Кантором(1870).
(объект а принадлежит множеству А)
(объект а не принадлежит множеству А)
Задание множеств
1) Перечислением элементов:
2) Заданием определенного свойства обьектов:
, где P — определенное свойство обьекта аОперации
- (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В ( ));
- (Пересечение множеств А и В: );
- (Объединение множеств А и В: );
- (Разность множеств: ;
-
-
- ...
- , и так далее..
— объединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:
- — «множество всего», «универсальное множество»;
- \ — дополнение множества А, дополнительное множество к А до U.
Теорема де Моргана
Теорема (де Моргана): |
Доказательство: |
Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично. Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств).
|
Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства
- следует равенство
- .
Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.