Множества

Эта статья находится в разработке!

Лекция от 06.09.10.

Множество - первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как "совокупность обьектов, обьединенных общим свойством".

В математическом анализе используется "наивная" теория множеств, которая является удобным языком описания фактов. Создана немецким математиком Г. Кантором(1870).

a ∈ A (обьект а принадлежит множеству А)

a ∉ A (обьект а не принадлежит множеству А)

Задание множеств:

1) Перечислением элементов: A = {a1, a₂, ..., a_n}

2) Заданием определенного свойства обьектов: A = {a: P}, где P - определенное свойство обьекта а

Операции:

1) A ⊂ B (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В; ∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B);

2) A ∩ B (Пересечение множеств А и В: (x ∈ A) ∧ (x ∈ B));

3) A ∪ B (Обьединение множеств А и В: (x ∈ A) ∨ (x ∈ B));

4) B \ A (Разность множеств: (x ∈ B) ∧ (x ∉ A));

5) ∅ - пустое множество. A ∪ ∅ = A;

A ∩ ∅ = ∅;

∀ A: ∅ ⊂ A

[math]\bigcup_{\alpha\in W} A_\alpha[/math] - обьединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:

[math]\bigcup_{j \in R} A_j = A_1 \cup A_2 \cup [/math] ...

[math] \bigcup_{0 \lt x \lt 1} A_x [/math]

[math] \bigcap_{\alpha \in W} A_{\alpha} [/math] и так далее.

A, B, C, ... ⊂ U - "множество всего".

[math]\overline{A} = U [/math] \ [math] A[/math] - дополнение множества А, дополнительное множество к А до U;

Теорема(Де-Морган):

[math]\overline{\bigcup A_\alpha} = \bigcap \overline{A_\alpha} [/math]

[math]\overline{\bigcap A_\alpha} = \bigcup \overline{A_\alpha}; [/math]

[math]\overline{\bigcup A_\alpha} = \bigcap \overline{A_\alpha} [/math]

[math]\overline{\bigcap A_\alpha} = \bigcup \overline{A_\alpha}; [/math]

<amsmath> \label{e:barwq}\begin{split} H_c&=\frac{1}{2n} \sum^n_{l=0}(-1)^{l}(n-{l})^{p-2} \sum_{l _1+\dots+ l _p=l}\prod^p_{i=1} \binom{n_i}{l _i}\\ &\quad\cdot[(n-l )-(n_i-l _i)]^{n_i-l _i}\\ &\quad\cdot \Bigl[(n-l )^2-\sum^p_{j=1}(n_i-l _i)^2\Bigr]. \end{split} </amsmath>