Множества — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
(Операции)
Строка 21: Строка 21:
 
=Операции=
 
=Операции=
  
1) <tex> A \subset B </tex> (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В (<tex> \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B </tex>);
+
# <tex> A \subset B </tex> (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В (<tex> \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B </tex>);
 
+
# <tex> A \cap B </tex> (Пересечение множеств А и В: <tex> (x \in A) \wedge (x \in B) </tex>);
2) <tex> A \cap B </tex> (Пересечение множеств А и В: <tex> (x \in A) \wedge (x \in B) </tex>);
+
# <tex> A \cup B </tex> (Объединение множеств А и В: <tex> (x \in A) \vee (x \in B) </tex>);
 
+
# <tex> B \backslash A </tex> (Разность множеств: <tex> (x \in B) \wedge (x \notin A) </tex>;
3) <tex> A \cup B </tex> (Объединение множеств А и В: <tex> (x \in A) \vee (x \in B) </tex>);
+
# <tex>  \varnothing </tex> - пустое множество:
 
+
# <tex> A \cup  \varnothing = A </tex>
4) <tex> B \backslash A </tex> (Разность множеств: <tex> (x \in B) \wedge (x \notin A) </tex>;
+
# <tex> A \cap  \varnothing = \varnothing </tex>
 
+
# <tex> \forall A: \varnothing \subseteq A </tex>
5) <tex>  \varnothing </tex> - пустое множество:
+
# <tex> \bigcup\limits_{\alpha\in W} A_\alpha</tex> - обьединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:
 
+
#* <tex> \bigcup\limits_{j \in N} A_j = A_1 \cup A_2 \cup </tex> ...
<tex> A \cup  \varnothing = A </tex>
+
#* <tex> \bigcup\limits_{0 < x < 1} A_x </tex>
 
+
#* <tex> \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} </tex>, и так далее..
<tex> A \cap  \varnothing = \varnothing </tex>
+
# <tex> A \cup B \cup C ... \subseteq U </tex> - "множество всего".
 
+
# <tex>\overline{A} = U </tex> \ <tex> A </tex> - дополнение множества А, дополнительное множество к А до U;
<tex> \forall A: \varnothing \subseteq A </tex>
 
 
 
<tex> \bigcup\limits_{\alpha\in W} A_\alpha</tex> - обьединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:
 
 
 
<tex> \bigcup\limits_{j \in N} A_j = A_1 \cup A_2 \cup </tex> ...
 
 
 
<tex> \bigcup\limits_{0 < x < 1} A_x </tex>
 
 
 
<tex> \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} </tex>, и так далее..
 
 
 
<tex> A \cup B \cup C ... \subseteq U </tex> - "множество всего".
 
 
 
<tex>\overline{A} = U </tex> \ <tex> A </tex> - дополнение множества А, дополнительное множество к А до U;
 
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема

Версия 07:37, 16 ноября 2010

Эта статья находится в разработке!

Лекция от 06.09.10.

Начальные определения

Множество - первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как "совокупность объектов, объединенных общим свойством".

В математическом анализе используется "наивная" теория множеств, которая является удобным языком описания фактов. Создана немецким математиком Г. Кантором(1870).

[math]a \in A[/math] (объект а принадлежит множеству А)

[math]a \notin A[/math] (объект а не принадлежит множеству А)

Задание множеств

1) Перечислением элементов: [math] A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} [/math]

2) Заданием определенного свойства обьектов: [math] A = \{a: P\} [/math] , где P - определенное свойство обьекта а

Операции

  1. [math] A \subset B [/math] (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В ([math] \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B [/math]);
  2. [math] A \cap B [/math] (Пересечение множеств А и В: [math] (x \in A) \wedge (x \in B) [/math]);
  3. [math] A \cup B [/math] (Объединение множеств А и В: [math] (x \in A) \vee (x \in B) [/math]);
  4. [math] B \backslash A [/math] (Разность множеств: [math] (x \in B) \wedge (x \notin A) [/math];
  5. [math] \varnothing [/math] - пустое множество:
  6. [math] A \cup \varnothing = A [/math]
  7. [math] A \cap \varnothing = \varnothing [/math]
  8. [math] \forall A: \varnothing \subseteq A [/math]
  9. [math] \bigcup\limits_{\alpha\in W} A_\alpha[/math] - обьединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:
    • [math] \bigcup\limits_{j \in N} A_j = A_1 \cup A_2 \cup [/math] ...
    • [math] \bigcup\limits_{0 \lt x \lt 1} A_x [/math]
    • [math] \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} [/math], и так далее..
  10. [math] A \cup B \cup C ... \subseteq U [/math] - "множество всего".
  11. [math]\overline{A} = U [/math] \ [math] A [/math] - дополнение множества А, дополнительное множество к А до U;
Теорема (Де Моргана):
[math]\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\ \overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha} [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
????????
[math]\triangleleft[/math]