Множества

Эта статья находится в разработке!

Лекция от 06.09.10.

Множество — первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как «совокупность объектов, объединенных общим свойством».

В математическом анализе используется «наивная» теория множеств, которая является удобным языком описания фактов. Создана немецким математиком Г. Кантором(1870).

[math]a \in A[/math] (объект а принадлежит множеству А)

[math]a \notin A[/math] (объект а не принадлежит множеству А)

Мощность множества

Лекция от 20 сентября 2010.

Определение:

Если А и В — произвольные множества, и между ними можно установить биекцию, что они равномощны: [math] |A| = |B| [/math]

Множество называется конечным, если его элементы можно пересчитать, иначе его оно называется бесконечным.

Определение:

Если [math] |A| = |\mathbb N| [/math], то A называется счетным множеством.

[math] A = \{a_1, a_2, ... , a_n \} [/math] - счетное множество.

Мощность счетных множеств минимальна по сравнению с другими бесконечными множествами.

Утверждение:

Если А - бесконечное множество, то в нем содержится по меньшей мере одно счетное подмножество.

[math]\triangleright[/math]

[math] B \subset A [/math] [math] a_1 \in A \Rightarrow A \backslash \{ a_1 \} = A_1 [/math] - бесконечное множество. [math] a_2 \in A_1 \Rightarrow A_1 \backslash \{ a_2 \} = A_2 [/math] - также бесконечное множество. Продолжаем этот процесс далее, пока не останется [math] B \subset A [/math] - счетное множество. (ЩИТО? У кого есть что-нибудь адекватное насчет этого, исправьте, пожалуйста.)

[math]\triangleleft[/math]

Если [math] \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... \} [/math] - совокупность попарно различных элементов, то это - счетное множество.

Для счетных множеств часто применяется следующий факт:

Утверждение:

Не более чем счетное объединение не более, чем счетных множеств, не более, чем счетно: Пусть [math] A_n [/math] - счетное/конечное множество. Тогда: [math] | \bigcup\limits_n A_n | = |\mathbb N| [/math]

[math]\triangleright[/math]

[math] A_n = \{ a_{n1}, a_{n2}, ... \} [/math]. TODO: А вот тут должна какая-то биекция, доказывающая это утверждение. [math] \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots \\ a_{21} & a_{22} & \cdots \\ a_{31} & \cdots \\ \cdots \end{pmatrix} [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

[math] Множество I = [0, 1] [/math] называется континииумом.

Утверждение:

[math] I [/math] - несчетное множество.

[math]\triangleright[/math]

Будем доказывать от противного. Применим принцип вложенных отрезков: Пусть [math] I = \{ x_1, x_2, ... , x_n \} [/math] Разделим I на 3 части и назовем [math] \Delta_1 : x_1 \notin \Delta_1 [/math]. Такой отрезок всегда существует. Далее разобьем [math] \Delta_1 [/math] на 3 части. Назовем [math] \Delta_2 [/math] тот отрезок, который не содержит [math] x_2 [/math], и так далее.. В результате выстраивается система вложенных отрезков: [math] \{ \Delta_n : \Delta_{n+1} \subset \Delta_n, x_n \notin \Delta_n \} [/math] По свойству системы вложенных отрезков: [math] \exists d = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n [/math] [math] d \in I [/math]. Пусть теперь [math] d \in \{ x_i \} \Rightarrow d = x_{n_0} [/math]. По построению: [math] d = x_{n_0} \notin \Delta_{n_0} [/math], но [math] d \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n \Rightarrow d \in \Delta_{n_0} [/math], противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

Если [math] |A| = |I| [/math], то обычно говорят, что А обладает мощностью континиума:

Утверждение:

[math] |\mathbb R| = |I| [/math]

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим функцию [math] y = tg \, x, x \in ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) [/math] С ее помощью можно установить биекцию между множествами [math] \mathbb R [/math] и [math] ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) [/math]. Биекцию между множествами [math] (0, 1) [/math] и [math] ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) [/math] можно установить параллельным переносом и сжатием: [math] x \leftrightarrow (x * \pi) - \frac {\pi}{2} [/math] Получили, что [math] |\mathbb R| = | ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) | = | (0, 1) | [/math]. Осталось доказать, что [math] |(0, 1)| = |[0, 1]| [/math]. Применим следующий прием: Пусть [math] a_1, a_2, ... , a_n, ... \in (0, 1) [/math] - попарно различны. Множество [math] A = \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... \} [/math] - счетное. Определим множество [math] B = A \cup \{ 0, 1 \} [/math]. Множество [math] B [/math] также счетное. Между счетными множествами можно установить биекцию: [math] B \leftrightarrow A \Rightarrow (0, 1) \backslash A = [0, 1] \backslash B \Rightarrow (0, 1) = [0, 1] \Rightarrow |(0, 1)| = |[0, 1]| [/math] В итоге получили, что [math] |\mathbb R| = |[0, 1]| [/math]

[math]\triangleleft[/math]

[math] \mathbb Q [/math] - счетно.

[math] |\mathbb R \backslash \mathbb Q| = |I| \Rightarrow [/math] иррациональных чисел по мощности континииум.

Задание множеств

1) Перечислением элементов: [math] A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} [/math]

2) Заданием определенного свойства обьектов: [math] A = \{a: P\} [/math] , где P - определенное свойство обьекта а

Операции

1. [math] A \subset B [/math] (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В ([math] \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B [/math]);
2. [math] A \cap B [/math] (Пересечение множеств А и В: [math] (x \in A) \wedge (x \in B) [/math]);
3. [math] A \cup B [/math] (Объединение множеств А и В: [math] (x \in A) \vee (x \in B) [/math]);
4. [math] B \backslash A [/math] (Разность множеств: [math] (x \in B) \wedge (x \notin A) [/math];
5. [math] \varnothing [/math] - пустое множество:
6. [math] A \cup \varnothing = A [/math]
7. [math] A \cap \varnothing = \varnothing [/math]
8. [math] \forall A: \varnothing \subseteq A [/math]
9. [math] \bigcup\limits_{\alpha\in W} A_\alpha[/math] - обьединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:
   • [math] \bigcup\limits_{j \in N} A_j = A_1 \cup A_2 \cup [/math] ...
   • [math] \bigcup\limits_{0 \lt x \lt 1} A_x [/math]
   • [math] \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} [/math], и так далее..
10. [math] A \cup B \cup C ... \subseteq U [/math] - "множество всего".
11. [math]\overline{A} = U [/math] \ [math] A [/math] - дополнение множества А, дополнительное множество к А до U;

Теорема (Де Моргана):

[math]\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\ \overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha} [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

????????

[math]\triangleleft[/math]