Алгоритм Апостолико-Крочемора

Эта статья находится в разработке!

Алгоритм Апостолико-Крочемора (англ. Apostolico-Crochemore algorithm) - вариация Алгоритма Бойера-Мура.

Описание алгоритма

Нам даны: [math]y[/math] — текст, [math]x[/math] — образец, [math]m {{=}} |x|[/math], [math]n {{=}} |y|[/math].

Для начала рассмотрим ситуацию, когда мы сравниваем наш образец с [math]y[j \ldots j + m - 1][/math]. Предположим, что первое несовпадение произойдет между [math]x[i][/math] и [math]y[i + j][/math] при [math]0 \lt i \lt m[/math]. Тогда [math]x[0 \ldots i - 1] {{=}} y[j \ldots i + j - 1] {{=}} u[/math] и [math]a {{=}} x[i] \neq y[i + j] {{=}} b[/math]. Когда сдвиг возможен, разумно ожидать что префикс [math]v[/math] шаблона совпадет c некоторым суффиксом [math]u[/math]. Более того, если мы ходим избежать несовпадения при сдвиге, то нужно чтобы символ, следующий за префиксом [math]v[/math] в шаблоне, не совпадал с [math]a[/math]. Такой наибольший префикс [math]v[/math] называется помеченным бордером строки [math]u[/math].

Определение:

помеченный бордер (англ. tagged border) строки [math]\beta[/math] — строка [math]\alpha : \forall i = 1 \ldots n - 1, \alpha[i] {{=}} \beta[i + (m - n)], \alpha[n] \neq \beta[m], n {{=}} |\alpha|, m {{=}} |\beta|[/math].

Введем обозначение: пусть [math]t[i][/math] — длина наибольшего бордера для [math]x[0 .. i - 1][/math] за которым следует символ [math]c \neq x[i][/math] и [math]-1[/math] если нет такого помеченного бордера, где [math]0 \lt i \le m[/math] ([math]t[0] = -1[/math]). Затем после сдвига сравнение можно продолжить между символами [math]x[t[i]][/math] и [math]y[i + j][/math] не потеряв никакого вхождения [math]x[/math] в [math]y[/math] и избежав отступа по тексту (смотри рис. 1).

Псевдокод

   empty

Пусть теперь [math]l {{=}} 0[/math], если [math]x = c ^ m[/math] и [math]c \in \Sigma[/math], иначе [math]l[/math] равно позиции первого элемента, который не равен [math]x[0][/math] ([math]x {{=}} a ^ l bu[/math], где [math]a[/math] и [math]b \in \Sigma[/math], а [math]u \in \Sigma^*[/math] и [math]a \neq b[/math]). На каждой итерации алгоритма мы выполняем сравнения с шаблоном в следующем порядке: [math]l, l + 1, \ldots , m - 2, m - 1, 0, 1, \ldots , l - 1[/math].

Во время поиска вхождений мы рассматриваем данную тройку [math](i, j, k)[/math] где:

• шаблон сравнивается с [math]y[j, \ldots , j + m - 1][/math]
• [math]0 \le k \le l[/math] и [math]x[0, \ldots, k - 1] {{=}} y[j, \ldots , j + k - 1][/math]
• [math]l \le i \lt m[/math] и [math]x[l, \ldots, i - 1] {{=}} y[j + l, \ldots , i + j - 1][/math]

Вначале инициализируем эту тройку [math](l, 0, 0)[/math]. Теперь опишем, как по уже вычисленной тройке [math](i, j, k)[/math] перейти к следующей. Возможны три случая в зависимости от значения [math]i[/math]:

1. [math]i = l[/math]:

   Если [math]x[i] {{=}} y[i + j][/math], тогда следующая тройка [math](i + 1, j, k)[/math].

   Если [math]x[i] \neq y[i + j][/math], тогда следующая тройка [math](l, j + 1, \max(0, k - 1))[/math].

2. [math]l \lt i \lt m [/math]

   Если [math]x[i] {{=}} y[i + j][/math], тогда следующая тройка [math](i + 1, j, k)[/math].

   Если [math]x[i] \neq y[i + j][/math], тогда возможны два случая в зависимости от значения [math]t[i][/math]:

   • Если [math]t[i] \le l[/math], тогда следующая тройка [math](l, i + j - t[i], \max(0, t[i]))[/math].
   • Если [math]t[i] \gt l[/math], тогда следующая тройка [math](t[i], i + j - t[i], l)[/math].

3. [math]i = m[/math]:

   Если [math] k \lt l [/math] и [math]x[k] {{=}} y[j + k][/math], тогда следующая тройка [math](i, j, k + 1)[/math].

   Иначе либо [math]k \lt l[/math] и [math]x[k] \ne y[l + k][/math], либо [math]k = l[/math]. Если [math]k = l[/math], то вхождение x в y найдено. В обоих случаях следующая тройка вычисляется как в случае [math]l \lt i \lt m [/math].

Асимптотика алгоритма

Стадия предподсчета, а именно вычисление массива [math]t[/math] и переменной [math]l[/math] занимает [math]O(m)[/math] времени и константное количество памяти. Этап поиска занимает [math]O(n)[/math] времени более того алгоритм в худшем случае выполнит [math]\frac{3}{2} n[/math] сравнений.