Теорема Махэни

Теорема Махэни, доказанная Стефаном Махэни в 1982 году, утверждает, что если хотя бы один редкий язык — [math] \mathrm{NP} [/math]-полный , то [math] \mathrm{P} = \mathrm{NP} [/math]

Подготовка к доказательству

Введём вспомогательный язык [math]\mathrm{LSAT}[/math].

Определение:

[math]\mathrm{LSAT} = \{\langle \varphi, y \rangle \mid \exists x: x \leqslant_{lex} y, \varphi(x) = 1\}[/math], где [math] \varphi [/math] — булева формула из [math]n[/math] переменных, [math]x, y \in \{0,1\}^{n} [/math] и отношение [math] \leqslant_{lex} [/math] задает лексикографический порядок.

Лемма (1):

[math]\mathrm{LSAT} \in \mathrm{NPC}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Очевидно, что [math]\mathrm{LSAT} \in \mathrm{NP}[/math] (в качестве сертификата можно запросить [math]x[/math]). Сведём [math]\mathrm{SAT}[/math] к [math]\mathrm{LSAT}[/math]. Для этого рассмотрим отображение [math]\varphi \mapsto \langle \varphi, 1^{|\varphi|}\rangle[/math], где [math]|\varphi|[/math] — количество различных переменных в формуле [math]\varphi[/math]. Ясно, что данное преобразование можно сделать за полиномиальное время. Теперь докажем, что сведение верное. Если [math]\varphi \in \mathrm{SAT}[/math], то формула [math]\varphi[/math] удовлетворима, а значит [math]\exists x: x \leqslant_{lex} 1^{|\varphi|}, \varphi(x)=1[/math]. Такой [math] x [/math] cуществует, потому что формула удовлетворима и любой вектор длины [math] |\varphi| [/math] меньше либо равен единичному, значит мы переберем всевозможые вектора. Следовательно, [math]\langle \varphi, 1^{|\varphi|}\rangle \in \mathrm{LSAT}[/math]. Если [math]\langle \varphi, 1^{|\varphi|}\rangle \in \mathrm{LSAT}[/math], то [math]\exists x: x \leqslant_{lex} 1^{|\varphi|}, \varphi(x)=1[/math]. Значит формула [math]\varphi[/math] удовлетворима, и [math]\varphi \in \mathrm{SAT}[/math]. Таким образом, [math]\mathrm{SAT} \leqslant \mathrm{LSAT}[/math]. Но по теореме Кука [math]\mathrm{SAT} \in \mathrm{NPC}[/math], а значит для любого [math]L \in \mathrm{NP} [/math] выполнено [math] L \leqslant \mathrm{SAT}[/math]. Тогда в силу транзитивности [math]\forall L \in \mathrm{NP} \; L \leqslant \mathrm{LSAT}[/math], то есть [math]\mathrm{LSAT} \in \mathrm{NPH}[/math]. Итого, мы доказали, что [math]\mathrm{LSAT} \in \mathrm{NPH}[/math] и [math]\mathrm{LSAT} \in \mathrm{NP}[/math]. Тогда по определению [math]\mathrm{LSAT} \in \mathrm{NPC}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (2):

[math]\langle\varphi,y\rangle \in \mathrm{LSAT}, y\lt _{lex}z[/math]. Тогда [math]\langle\varphi,z\rangle \in \mathrm{LSAT}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\langle\varphi,y\rangle \in \mathrm{LSAT}[/math]. Тогда [math]\exists x: x\leqslant_{lex}y, \varphi(x) = 1[/math]. Так как [math]y\lt _{lex}z[/math], то [math]\exists x: x\lt _{lex}z, \varphi(x) = 1[/math], следовательно [math]\langle\varphi,z\rangle \in \mathrm{LSAT}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Редкие языки

Определение:

[math]\mathrm{SPARSE}=\{L \mid \exists[/math] полином [math] p: \forall n \, |L \cap \Sigma^n| \leqslant p(n)\}[/math] — множество редких (англ. sparse) языков.

То есть множество языков таких, что множество слов длины [math] n [/math] из языка ограничено полиномом от [math] n [/math].

Это множество, называется множеством редких языков потому, что строк длины [math] n [/math] всего [math] 2^{n} [/math], и если язык содержит только полином от этого числа, то при большом [math] n [/math] эта часть стремится к нулю.

Пример: Согласно тезису Чёрча - Тьюринга, существует биекция между машинами Тьюринга и программами. Зафиксировав алфавит, можно занумеровать программы (программа будет иметь номер [math]n[/math], если ее код — [math]n[/math]-е слово среди всех слов над алфавитом, отсортированных сначала по возрастанию длины, а при равной длине - в лексикографическом порядке), а следовательно и машины Тьюринга. Рассмотрим язык [math] \{1^{n} \mid n[/math]-я машина Тьюринга останавливается в допускающем состоянии [math] \} [/math]. Просто приняв [math] p(n) = 1 [/math], получим, что он принадлежит [math] \mathrm{SPARSE}[/math]. Более того, любой унарный язык принадлежит [math]\mathrm{SPARSE} [/math] .

Теорема

Теорема (Махэни):

[math]\mathrm{NPC} \cap \mathrm{SPARSE} \ne \varnothing \Rightarrow \mathrm{P}=\mathrm{NP}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]S \in \mathrm{NPC} \cap \mathrm{SPARSE}[/math]. Так как [math]S\in \mathrm{NPC}[/math] и [math]\mathrm{LSAT} \in \mathrm{NPC}[/math], то существует полиномиальная функция сведения [math]f[/math] такая, что [math]\langle \varphi, y \rangle \in \mathrm{LSAT} \Leftrightarrow f(\langle \varphi, y \rangle) \in S[/math]. Так как функция [math]f[/math] работает полиномиальное время, и [math]|\varphi|\geqslant|y|[/math] ([math]|y|[/math] — длина вектора [math]y[/math]), то [math]f(\langle\varphi,y\rangle) \leqslant q(|\varphi|)[/math], где [math]q[/math] — полином. [math]S\in \mathrm{SPARSE}[/math], следовательно [math]\forall n \; |S \cap \Sigma^n|\leqslant p(n)[/math], где [math]p[/math] — некоторый полином. Тогда [math]|\{x\in S \mid |x| \leqslant q(|\varphi|)\}| \leqslant \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{q(|\varphi|)} p(i) = r(|\varphi|)[/math], где [math]r[/math] — также полином. Опишем алгоритм для нахождения лексикографически минимальной строки [math]x[/math], удовлетворяющей формуле [math]\varphi[/math]. Пусть [math]n=|\varphi|, r=r(|\varphi|)[/math]. Изначально область поиска для [math]x[/math] — все строки длины [math]n[/math]. Опишем одну итерацию поиска. Разобьём текущее множество строк на [math]r+1[/math] подотрезок примерно равной длины. Обозначим концы полученных подотрезков [math]w_0, \ldots ,w_{r+1}[/math]. Пусть теперь [math]z_i=f(\langle\varphi,w_i\rangle)[/math]. Из леммы (2) мы знаем, что, начиная с некоторого [math]l[/math], все пары [math]\langle\varphi, w_l\rangle \in \mathrm{LSAT}[/math]. Тогда по сведению [math]z_j \in S[/math] для всех [math]j\geqslant l[/math]. Рассмотрим два случая: [math]\exists i \ne j : z_i=z_j[/math]. Строки [math]z_i[/math] и [math]z_j[/math] либо обе лежат в [math]S[/math], либо обе не лежат в [math]S[/math]. Тогда по вышеуказанной причине [math]x\notin (w_i, w_j][/math]. Значит мы можем исключить этот полуинтервал из рассматриваемого множества. Таким образом, мы удаляем не менее [math]\dfrac 1{r+1}[/math] часть множества подстановок. [math]z_i \ne z_j \, \forall i \ne j[/math]. Как было показано выше, если [math]x \in [w_0, w_1][/math], то все [math]z_i[/math], начиная с [math]z_1[/math], лежат в [math]S[/math], но тогда [math]S[/math] содержит [math]r+1[/math] строку длины не более, чем [math]q(|\varphi|)[/math], что противоречит условию [math]|\{x\in S \mid |x| \leqslant q(|\varphi|)\}| \leqslant r(|\varphi|)[/math]. Следовательно, [math]x\notin[w_0,w_1][/math], то есть его можно убрать из рассмотрения. В обоих случаях мы сузили область поиска как минимум на [math]\dfrac 1{r+1}[/math] её размера. Будем повторять эту процедуру до тех пор, пока не останется не более [math]r+1[/math] строки, которые мы можем проверить за полиномиальное время. Если какая-то из них удовлетворила формуле [math]\varphi[/math], то [math]x=\min(w_i), w_i[/math] удовлетворяет [math]\varphi[/math]. Иначе, [math]x[/math] не существует. Оценим время работы нашего алгоритма. После [math]k[/math] итераций у нас останется не более [math]2^n\left(1-\dfrac1{r+1}\right)^k[/math] строк. Оценим [math]k[/math]. [math]2^n\left(1-\dfrac1{r+1}\right)^k \simeq 1[/math]. Отсюда [math]k=O(rn)[/math] (это можно получить, выразив [math]k[/math] через [math]n[/math] и [math]r[/math] и воспользовавшись формулой Тейлора для логарифма). Таким образом, мы можем разрешить язык [math]\mathrm{LSAT}[/math] за полиномиальное время, найдя лексикографически минимальную строку, удовлетворяющую формуле, и сравнив её с нашим аргументом. Так как [math]\mathrm{LSAT}\in \mathrm{NPC}[/math], то мы можем решить любую задачу из [math]\mathrm{NP}[/math] за полиномиальное время, а значит [math]\mathrm{P}=\mathrm{NP}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

См. также

• Класс P
• Классы NP и Σ₁
• Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи
• Теорема Бермана — Форчуна

Источники информации

• Блог Computational Complexity
• Wikipedia — Sparse language