Объём

Общий случай

Объём в [math]n[/math]-мерном пространстве определяется аналогично трехмерному случаю.

Определение:

Объем — это сопоставляемая фигуре численная характеристика, такая, что : У одинаковых фигур равные объемы (объем не меняется при движении фигуры как твердого целого) Если одна фигура состоит из двух, то её объем равен сумме объемов её частей.

За единицу объема принимается объем [math]n[/math]-мерного куба с ребром, равным единице.

Переход из одной системы координат в другую

Пускай мы посчитали объем в одной системе координат и теперь хотим перейти из нее в другую систему координат. Поскольку объем не инвариантен, он изменится.

Теорема (О замене переменных в [math]n[/math]-кратном интеграле):

Пусть даны две [math]n[/math]-мерные области: [math](D)[/math] в пространстве [math]x_1 x_2\dots x_n[/math] и [math](\Delta)[/math] в пространстве [math] \xi_1\xi_2\dots\xi_n[/math], ограниченные каждая одной непрерывной — гладкой или кусочно-гладкой — поверхностью. Между ними с помощью формул [math] \begin{cases} x_1 = x_1(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n); \\ x_2 = x_2(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n); \\ \dotfill \\ x_n = x_n(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n); \end{cases} [/math] устанавливается взаимно однозначное соответствие. Тогда, при обычных предположениях относительно производных и сохранения знака якобианом [math] J = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_1} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_1} & \cdots & \dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_1} \\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_2} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_2} & \cdots &\dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_n} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_n} & \cdots &\dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_n} \end{vmatrix} [/math], интеграл от непрерывной в [math](D)[/math] функции [math]f(x_1, x_2, \dots, x_n)[/math] может быть преобразован по формуле [math]\displaystyle \idotsint\limits_{(D)}f(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n = \idotsint\limits_{(\Delta)}f(x_1(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n), \dots, x_n(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n))|J|\mathrm d\xi_1\dots \mathrm d\xi_n [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Подробное доказательство приведено в учебнике Фихтенгольца.

[math]\triangleleft[/math]

Вычисление объема

Объём тела в [math]n[/math]-мерном пространстве вычисляется как определённый интеграл:

[math]\displaystyle \idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n [/math], где [math]\chi(x_1, \dots, x_n)[/math] – характеристическая функция геометрического образа тела.

См. также

• Аффинное пространство