== Связующие коэффициенты и тождества ==
The falling and rising factorials are related to one another through the Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом [[Lah numbers]] and through sums for integral powers of a variable и суммами для интегральных степеней переменной <mathtex>x</mathtex> involving the с привлечением [[Stirling numbers of the second kind]] in the following forms where в следующих формах, в которых <mathtex>\binom{r}{k} = r^{\underline{k}} / k!</mathtex>:<ref>{{cite web|title=Introduction to the factorials and binomials|url=http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Factorial/introductions/FactorialBinomials/05/|website=Wolfram Functions Site}}</ref>
:<tex>
</tex>
Since the falling factorials are a basis for the [[polynomial ring]]Так как убывающие фаеториалы - бпзис кольца многочленов, we can re-express the product of two of them as a linear combination of falling factorialsмы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов:
:<tex>(x)_m (x)_n = \sum_{k=0}^m {m \choose k} {n \choose k} k!\, (x)_{m+n-k}.</tex>
The coefficients of the Коэффициенты <tex>(''x'')<sub>''_{m''+''n''−''-k''}</subtex>, called называются '''connection coefficientsсвязующий коэффициенты''', have a combinatorial interpretation as the number of ways to identify (англ. connection coefficients). Они имеют комбинаторную интерпретацию как число способов определить (or glue together) {{math|''каждый из <tex>k''}} elements each from a set of size {{math|''</tex> элементов из множества размера <tex>m''}} and a set of size {{math|''</tex> и множемтва из <tex>n''}}</tex> элементов.We also have a connection formula for the ratio of two Pochhammer symbols given byТак же есть связывающая формула для отношения двух символов Похгаммера:
:<tex>\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x+i)_{n-i},\ n \geq i. </tex>
