Грани числовых множеств

Определения

Определение:

Если [math] A \subset \mathbb R, \, \exists b \in \mathbb R : A \le b [/math], то A называется ограниченным сверху множеством. [math] b [/math] называется верхней границей множества А. Если [math] A \subset \mathbb R, \, \exists c \in \mathbb R : A \ge c [/math], то A называется ограниченным снизу множеством. [math] c [/math] называется нижней границей множества А. Если [math] A \subset \mathbb R, \, \exists b, c \in \mathbb R : c \le A \le b [/math], то A называется ограниченным множеством.

Определение:

Если [math] A [/math] — ограничено сверху, то наимешьшая из его верхних границ называется верхней гранью. [math] b = \sup A[/math] ("супремум")

Определение:

Если [math] A [/math] — ограничено снизу, то наибольшая из его нижних границ называется нижней гранью. [math] b = \inf A[/math] ("инфимум")

Существование грани множества

Теорема:

Если А ограничено сверху, то у него существует верхняя грань (аналогично для А, ограниченного снизу).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть M — множество верхних границ А. Так как А ограничено сверху, то [math] M \ne \varnothing [/math]. По определению верхней границы: [math] A \le M [/math]. По аксиоме непрерывности: [math] \exists d \in \mathbb R: \, A \le d \le M [/math]: [math] A \le d \Rightarrow d \in M [/math]. [math] d \le M \Rightarrow d [/math] — наименьшая из верхних границ А. Получили, что d — верхняя граница А, и d не больше всех верхних границ А [math]\Rightarrow d = \sup \, A [/math]. Аналогично для нижней грани ограниченного снизу множества А.

[math]\triangleleft[/math]

Принцип вложенных отрезков

Определение:

Множество [math] (a, b) = \{ x: a \lt x \lt b \} [/math] называется интервалом или открытым промежутком. Множество [math] [a, b] = \{ x: a \le x \le b \} [/math] называется отрезком или замкнутым промежутком. Обозначение [math] \langle a, b \rangle = \{ x: a\, ?\, x\, ?\, b \} [/math] (промежуток) используется, когда неизвестно включение границ. По аналогии определяются и промежутки типа [math] (a, b] [/math].

Определение:

Пусть дана система отрезков: [math] a_n \le b_n, \Delta_n = [a_n, b_n] [/math] [math] \forall n \in \mathbb N: \Delta_{n+1} \subset \Delta_n [/math] Тогда эта система отрезков называется вложенной.

Утверждение:

[math] \bigcap \limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n \ne \varnothing [/math]

[math]\triangleright[/math]

Определим следующие числовые множества: [math] A = \{ a_n | n \in \mathbb N \} [/math] [math] B = \{ b_n | n \in \mathbb N \} [/math] Пусть [math] c = \sup \, A, d = \inf \, B [/math]. [math] c [/math] и [math] d [/math] существуют. В силу вложенности отрезков: [math] A \le c \le d \le B \Rightarrow \forall n: [c, d] \subset \Delta_n [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Исходя из определения граней, если:

[math] d = \sup \, A \in \mathbb R : [/math]

[math] \forall \varepsilon \gt 0, \exists a \in A: d - \varepsilon \lt a [/math]

[math] c = \inf \, A \in \mathbb R : [/math]

[math] \forall \varepsilon \gt 0, \exists a \in A: c + \varepsilon \gt a [/math]