Представление чисел с плавающей точкой — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 5: Строка 5:
 
'''Плавающая точка (floating point)''' - метод представления действительных чисел, при котором число хранится в виде мантиссы и показателя степени.
 
'''Плавающая точка (floating point)''' - метод представления действительных чисел, при котором число хранится в виде мантиссы и показателя степени.
 
}}
 
}}
 +
Такой метод является компромиссом между точностью и диапазоном представляемых значений.
 
Представление чисел с плавающей точкой рассмотрим на примере чисел ''двойной точности'' (''double precision'').
 
Представление чисел с плавающей точкой рассмотрим на примере чисел ''двойной точности'' (''double precision'').
 
Такие числа занимают в памяти два машинных слова (8  байт на 32-битных системах). Наиболее распространенное представление описано в стандарте IEEE 754.
 
Такие числа занимают в памяти два машинных слова (8  байт на 32-битных системах). Наиболее распространенное представление описано в стандарте IEEE 754.
Строка 10: Строка 11:
 
== Числа двойной точности ==
 
== Числа двойной точности ==
 
Число с плавающей точкой хранится в нормализованной форме и состоит из трех частей (в скобках указано количество бит, отводимых на каждую секцию в формате double):
 
Число с плавающей точкой хранится в нормализованной форме и состоит из трех частей (в скобках указано количество бит, отводимых на каждую секцию в формате double):
−
# знак (1)
+
# знак
−
# экспонента (показатель степени) (11)
+
# экспонента (показатель степени)
−
# мантисса (52)
+
# мантисса
 
В качестве базы (основания степени) используется число 2.
 
В качестве базы (основания степени) используется число 2.
  
Строка 96: Строка 97:
 
|colspan=4  style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
 
|colspan=4  style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
 
|}
 
|}
−
 
−
{{Определение
 
−
|definition=
 
−
'''Нормализованной''' называется форма представления числа, при которой мантисса двоичного числа <tex> mant </tex> лежит в диапазоне <tex> [1, 2) </tex>.
 
−
}}
 
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
Строка 106: Строка 102:
 
Итоговое значение числа вычисляется по формуле:
 
Итоговое значение числа вычисляется по формуле:
 
<br><tex> x = (-1)^{sign} \times (1.mant) \times 2^{exp} </tex>
 
<br><tex> x = (-1)^{sign} \times (1.mant) \times 2^{exp} </tex>
 +
}}
 +
 +
== Нормальная и нормализованная формы ==
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Нормальной''' называется форма представления числа, при которой абсолютное значение мантиссы десятичного числа находится на полуинтервале <tex> [0,1) </tex>.
 +
}}
 +
Недостатком такой записи является тот факт, что числа нельзя записать однозначно: <tex> 0.001 = 0.01 \times 10^0 </tex>.
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Нормализованной''' называется форма представления числа, при которой абсолютное значение мантиссы десятичного числа лежит на полуинтервале <tex> [1, 10) </tex>, а двоичного на полуинтервале <tex> [1, 2) </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 112: Строка 119:
 
# Так как старший бит двоичного числа, записанного в нормализованной форме, всегда равен 1, его можно опустить. Это используется в стандарте IEEE 754.
 
# Так как старший бит двоичного числа, записанного в нормализованной форме, всегда равен 1, его можно опустить. Это используется в стандарте IEEE 754.
 
# В отличие от целочисленных стандартов (например, integer), имеющих равномерное распределение на всем множестве значений, числа с плавающей точкой (double, например) имеют квазиравномерное распределение.
 
# В отличие от целочисленных стандартов (например, integer), имеющих равномерное распределение на всем множестве значений, числа с плавающей точкой (double, например) имеют квазиравномерное распределение.
−
{{TODO| t=Вставить картинки, когда можно будет загрузить файл}}
 
 
# В следствие свойства 3, числа с плавающей точкой имеют постоянную относительную погрешность (в отличие от целочисленных, которые имеют постоянную абсолютную погрешность).
 
# В следствие свойства 3, числа с плавающей точкой имеют постоянную относительную погрешность (в отличие от целочисленных, которые имеют постоянную абсолютную погрешность).
 
# Очевидно, не все действительные числа возможно представить в виде числа с плавающей точкой.
 
# Очевидно, не все действительные числа возможно представить в виде числа с плавающей точкой.
 
# Точно в таком формате представимы только числа, являющиеся суммой некоторых обратных степеней двойки (не ниже -53). Остальные числа попадают в некоторый диапазон и округляются до ближайшей его границы. Таким образом, абсолютная погрешность составляет половину величины младшего бита.
 
# Точно в таком формате представимы только числа, являющиеся суммой некоторых обратных степеней двойки (не ниже -53). Остальные числа попадают в некоторый диапазон и округляются до ближайшей его границы. Таким образом, абсолютная погрешность составляет половину величины младшего бита.
 +
# В формате double представимы числа в диапазоне <tex> [1.7 \times 10^-308, 1.7 \times 10^308] </tex>.
  
 
== Машинная эпсилон ==
 
== Машинная эпсилон ==

Версия 07:35, 11 ноября 2011

Эта статья находится в разработке!

Плавающая точка

Определение:
Плавающая точка (floating point) - метод представления действительных чисел, при котором число хранится в виде мантиссы и показателя степени.

Такой метод является компромиссом между точностью и диапазоном представляемых значений. Представление чисел с плавающей точкой рассмотрим на примере чисел двойной точности (double precision). Такие числа занимают в памяти два машинных слова (8 байт на 32-битных системах). Наиболее распространенное представление описано в стандарте IEEE 754.

Числа двойной точности

Число с плавающей точкой хранится в нормализованной форме и состоит из трех частей (в скобках указано количество бит, отводимых на каждую секцию в формате double):

  1. знак
  2. экспонента (показатель степени)
  3. мантисса

В качестве базы (основания степени) используется число 2.

Знак
Порядок
(11 бит) 		Мантисса
(52+1 бит)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
62 52 51 0
Утверждение:
Итоговое значение числа вычисляется по формуле:
[math] x = (-1)^{sign} \times (1.mant) \times 2^{exp} [/math]

Нормальная и нормализованная формы

Определение:
Нормальной называется форма представления числа, при которой абсолютное значение мантиссы десятичного числа находится на полуинтервале [math] [0,1) [/math].

Недостатком такой записи является тот факт, что числа нельзя записать однозначно: [math] 0.001 = 0.01 \times 10^0 [/math].

Определение:
Нормализованной называется форма представления числа, при которой абсолютное значение мантиссы десятичного числа лежит на полуинтервале [math] [1, 10) [/math], а двоичного на полуинтервале [math] [1, 2) [/math].


Свойства чисел с плавающей точкой

  1. В нормализованном виде любое отличное от нуля число представимо в единственном виде. Недостатком такой записи является тот факт, что невозможно представить число 0.
  2. Так как старший бит двоичного числа, записанного в нормализованной форме, всегда равен 1, его можно опустить. Это используется в стандарте IEEE 754.
  3. В отличие от целочисленных стандартов (например, integer), имеющих равномерное распределение на всем множестве значений, числа с плавающей точкой (double, например) имеют квазиравномерное распределение.
  4. В следствие свойства 3, числа с плавающей точкой имеют постоянную относительную погрешность (в отличие от целочисленных, которые имеют постоянную абсолютную погрешность).
  5. Очевидно, не все действительные числа возможно представить в виде числа с плавающей точкой.
  6. Точно в таком формате представимы только числа, являющиеся суммой некоторых обратных степеней двойки (не ниже -53). Остальные числа попадают в некоторый диапазон и округляются до ближайшей его границы. Таким образом, абсолютная погрешность составляет половину величины младшего бита.
  7. В формате double представимы числа в диапазоне [math] [1.7 \times 10^-308, 1.7 \times 10^308] [/math].

Машинная эпсилон

Определение:
Машинная эпсилон - наименьшее положительное число [math] \varepsilon_m [/math], такое что, [math] 1 \oplus \varepsilon_m = 1 [/math], где [math] \oplus [/math] - машинное сложение.
Утверждение:
Таким образом, компьютер не различает числа [math] x [/math] и [math] y [/math], если [math] 1 \lt \frac{x}{y} \lt 1 + \varepsilon_m [/math].
Утверждение:
Из свойств чисел двойной точности следует, что для них [math] \varepsilon_m = 2^{-54}[/math].

Погрешность предиката "левый поворот"

TODO: Вывести

Ссылки

en.wikipedia.org Floating point
en.wikipedia.org Double precision floating point format
Goldberg, D. 1991 What every computer scientist should know about floating-point arithmetic
ieee.org IEEE 754
neerc.ifmo.ru/mediawiki Предикат "левый поворот"

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Представление_чисел_с_плавающей_точкой&oldid=12983»