1302
правки
Изменения
м
→Теорема Лебега
<tex> \mu E < +\infty </tex> — существенно.
|proof=
Рассмотрим функции <tex>f_n(x)=\begin{cases}0 &, 0 \leq x < n\\1 &, x\geq n\end{cases}</tex>, <tex>E = \mathbb{R}^_+</tex>.
При фиксированном <tex>x</tex>, для всех <tex>n > N: n > x \Rightarrow f_n(x) = 0</tex>. Значит, <tex>f_n(x) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex> всюду на <tex>\mathbb{R}^_+</tex>. <tex>\lambda(\mathbb{R^}_+}) = +\infty</tex>
Возьмем <tex>\delta=\frac12</tex>, <tex>E(|f_n - f|\geq \delta) = \mathbb{R}^_+(|f_n(x)| \geq \frac12) = [n; +\infty)</tex>
Значит, <tex>\lambda E(|f_n-f|\geq \delta) = +\infty</tex>
