Сходимость по мере

<<>>

Пусть функции [math]f_n, f[/math] — измеримы на [math]E[/math], множества [math]E(|f_n - f| \geq \delta)[/math], где [math]\delta \gt 0[/math], измеримы.

Определение:

[math]f_n[/math] стремятся по мере на [math]E[/math] к [math]f[/math] ([math]f_n\stackrel{[E]}{\Rightarrow} f[/math]), если [math]\forall\delta\gt 0 : \mu E(|f_n - f| \geq \delta) \xrightarrow[n\to\infty]{} 0[/math]

В определённом смысле, это наиболее слабый вид сходимости, что подтверждает следующая классическая теорема Лебега.

Теорема Лебега

Теорема (Лебег):

[math]\mu E\lt +\infty[/math], [math]f_n\to f[/math] почти всюду на [math]E[/math]. Тогда [math]f_n\stackrel{E}{\Rightarrow} f[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Как мы выяснили ранее, удобно рассматривать [math]E'=\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)[/math]; по условию теоремы, [math]\mu E' = 0[/math]. Пусть [math]B_m = \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p) \supset B_{m+1}[/math], тогда [math]\forall p: B = \bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m [/math], очевидно, содержится в [math]E'[/math], поэтому, по полноте меры, [math]\mu B = 0[/math]. По монотонности меры, [math]\mu B_i[/math] — убывающая числовая последовательность. Она ограничена, значит, у неё есть предел. Покажем, что он равен нулю. Или, более общий факт: [math]\mu B_m \to \mu B = 0[/math]. Для этого воспользуемся тем, что [math]\mu E[/math] — конечен. Так как [math]B = \bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m[/math], то [math]\overline B = \bigcup\limits_{m=1}^\infty \overline B_m[/math] (здесь под [math] \overline X [/math] имеется в виду дополнение [math] X [/math] до [math] E [/math]). [math]B_m[/math] — убывающая ([math]B_m \supset B_{m+1}[/math]), значит, дополнения растут: [math]\overline B_m \subset \overline B_{m+1}[/math]. Значит, [math]\overline B = \overline B_1 \cup (\overline B_2 \setminus \overline B_1) \cup (\overline B_3 \setminus \overline B_2) \cup \ldots[/math]. [math]\overline B \subset E[/math]. Значит, [math]\mu \overline B \leq \mu E \lt +\infty[/math]. По [math]\sigma[/math]-аддитивности, [math]\mu\overline B = \mu\overline B_1 + \mu(\overline B_2 \setminus\overline B_1) + \mu(\overline B_3 \setminus \overline B_2) + \cdots[/math]. В силу конечности [math]\mu E[/math], [math]\mu(\overline B_{m + 1} \setminus \overline B_{m}) = \mu \overline B_{m + 1} - \mu \overline B_{m} [/math]. Вставляя это в ряд и вспоминая, что ряд — предел частичных сумм, получаем [math]\mu\overline B = \mu\overline B_1 - \mu \overline B_1 + \mu\overline B_2 - \mu \overline B_2 + \mu\overline B_3 - \cdots[/math] Так как частичная сумма этого ряда с номером [math] m [/math] — не что иное, как [math] \mu \overline B_m [/math], то [math]\mu \overline B_m \rightarrow \mu \overline B [/math]. [math]\mu B_m = \mu E - \mu \overline B_m[/math], [math]\mu B = \mu E - \mu \overline B[/math], отсюда [math]\mu B_m \to \mu B[/math]. В нашем случае [math]\mu B =0[/math]. [math]\forall p : \mu \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p) \to 0[/math] [math]\forall \delta \gt 0\ \exists p_0 \in \mathbb{N} : \frac1{p_0} \leq \delta[/math] [math]E(|f_m - f| \geq \delta) \subset E(|f_m-f|\geq \frac1{p_0}) \to 0[/math] Значит, [math]f_n \stackrel{E}{\Rightarrow} f[/math] по определению.

[math]\triangleleft[/math]

Продемонстрируем теперь, что условие конечности меры важно:

Утверждение:

[math] \mu E \lt +\infty [/math] — существенно.

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим функции [math]f_n(x)=\begin{cases}0 &, 0 \leq x \lt n\\1 &, x\geq n\end{cases}[/math], [math]E = \mathbb{R}_+[/math]. При фиксированном [math]x[/math], для всех [math]n \gt N: n \gt x \Rightarrow f_n(x) = 0[/math]. Значит, [math]f_n(x) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0[/math] всюду на [math]\mathbb{R}_+[/math]. [math]\lambda(\mathbb{R}_+) = +\infty[/math] Возьмем [math]\delta=\frac12[/math], [math]E(|f_n - f|\geq \delta) = \mathbb{R}_+(|f_n(x)| \geq \frac12) = [n; +\infty)[/math] Значит, [math]\lambda E(|f_n-f|\geq \delta) = +\infty[/math] Значит, [math]f_n \not\Rightarrow 0[/math], хотя стремится к [math]0[/math] почти всюду.

[math]\triangleleft[/math]

Замечание: даже в случае конечной меры [math] E [/math] последовательность функций, сходящаяся по мере, может не иметь предела ни в одной точке.

Единственность предела по мере

Теорема:

Если последовательность измеримых функций [math]f_n \colon E \to \mathbb R[/math] стремится по мере к [math]f[/math] и [math]g[/math], то [math]f = g[/math] почти всюду на [math]E[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Определим следующие множества: [math]P_n = E(|f - g| \ge \frac1n)[/math] [math]P'_{nk} = E(|f_k - f| \ge \frac1{2n})[/math] [math]P''_{nk} = E(|f_k - g| \ge \frac1{2n})[/math] Заметим, что [math]P_n \subset (P'_{nk} \cup P''_{nk})[/math]: если [math]x \notin P'_{nk} \cup P''_{nk}[/math], то [math]|f_k(x) - f(x)| \lt \frac1{2n}[/math] и [math]|f_k(x) - g(x)| \lt \frac1{2n}[/math], а тогда [math]|f(x) - g(x)| \lt |f(x) - f_k(x)| + |g(x) - f_k(x)| = \frac1n[/math], т.е. [math]x \notin P_n[/math]. По полуаддитивности меры [math]\mu P_n \le \mu P'_{nk} + \mu P''_{nk}[/math]. Сумма в правой части стремится к нулю при [math]k \rightarrow \infty[/math], следовательно, [math]\mu P_n = 0[/math]. Если взять [math] P_n [/math] такие, что их меры образуют сходящийся ряд, то, поскольку [math]E(f \neq g) = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty P_n[/math], то [math]\mu E(f \neq g) \le \sum\limits_{n = 1}^\infty \mu P_n = 0[/math], что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

<<>>