Класс P

Определение

Определение:

Класс [math]\mathrm{P}[/math] — класс языков (задач), разрешимых на детерминированной машине Тьюринга за полиномиальное время, то есть: [math]\mathrm{P} = \bigcup\limits_{p \in poly}DTIME(p(n))[/math].

Итого, язык [math]L[/math] лежит в классе [math]\mathrm{P}[/math] тогда и только тогда, когда существует такая детерминированная машина Тьюринга [math]m[/math], что:

1. [math]m[/math] завершает свою работу за полиномиальное время на любых входных данных;
2. если на вход машине [math]m[/math] подать слово [math]l \in L[/math], то она допустит его;
3. если на вход машине [math]m[/math] подать слово [math]l \not\in L[/math], то она не допустит его.

Свойства класса P

Лемма:

Класс [math]\mathrm{P}[/math] замкнут относительно сведения по Карпу. [math]L \in \mathrm{P}, M \le L \Rightarrow M \in \mathrm{P}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]p[/math] — разрешитель [math]L[/math], работающий за полиномиальное время. [math] (M \leq L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{\iff} ( \exists f \in \mathrm{\widetilde{P}} : w \in M \Leftrightarrow f(w) \in L ) [/math]. Построим разрешитель [math]q[/math] для языка [math]M[/math]. [math]q(w):[/math] if ([math]p(f(w))[/math]) return true return false Разрешитель [math]q[/math] работает за полиномиальное время, так как композиция полиномов есть полином.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

[math]D \subset \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{P}=\mathrm{P}^D[/math]. В частности, из этого следует, что [math]\mathrm{P}=\mathrm{P^P}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Очевидно, что [math]\mathrm{P} \subset \mathrm{P}^D[/math]. Докажем, что [math]\mathrm{P}^D \subset \mathrm{P}[/math]. [math]L \in \mathrm{P}^D \Rightarrow \exists A \in D: L \in \mathrm{P}^A[/math]. Пусть [math]p[/math] — разрешитель [math]L[/math], работающий за полиномиальное время [math]f(n)[/math] и использующий оракул языка [math]A[/math]. Пусть [math]q[/math] — разрешитель [math]A[/math], работающий за полиномиальное время [math]g(n)[/math]. Представим себе разрешитель [math]L[/math], работающий как [math]p[/math], но использующий [math]q[/math] вместо оракула [math]A[/math]. Его время работы ограничено сверху значением [math]f(n) + \sum\limits_{i=1}^{f(n)} g(f(n)) = f(n) + f(n) g(f(n))[/math], что является полиномом. Значит, [math]L \in \mathrm{P}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

Класс [math]\mathrm{P}[/math] замкнут относительно операций объединения, пересечения, конкатенации, замыкания Клини и дополнения. Если [math]L_1, L_2 \in \mathrm{P}[/math], то: [math]L_1 \cup L_2 \in \mathrm{P}[/math], [math]L_1 \cap L_2 \in \mathrm{P}[/math], [math]L_1 L_2 \in \mathrm{P}[/math], [math]L_1^* \in \mathrm{P}[/math] и [math]\overline{L_1} \in \mathrm{P}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем замкнутость замыкания Клини. Остальные доказательства строятся аналогично. Пусть [math]p[/math] — разрешитель [math]L_1[/math], работающий за полиномиальное время. Построим разрешитель [math]q[/math] для языка [math]L_1^*[/math]. [math]q(w):[/math] [math]n = |w|[/math] [math]endPoses = \{0\}[/math] //позиции, где могут заканчиваться слова, принадлежащие [math]L_1[/math] for ([math]i = 1 \ldots n[/math]) for ([math]j \in endPoses[/math]) if ([math]p(w[j+1 \ldots i])[/math]) { if ([math]i = n[/math]) return true [math]endPoses[/math] [math]\cup = \{i\}[/math] } return false Худшая оценка времени работы разрешителя [math]q[/math] равна [math]n^2 O(p(w))[/math], так как в множестве [math]endPoses[/math] может быть максимум [math]n[/math] элементов, значит итерироваться по множеству можно за [math]n[/math], если реализовать его на основе битового массива, например; при этом операция добавления элемента в множество будет работать за [math]O(1)[/math]. Итого, разрешитель [math]q[/math] работает за полиномиальное время (так как произведение полиномов есть полином). Значит [math]L_1^* \in \mathrm{P}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Соотношение классов Reg и P

Теорема:

Класс регулярных языков входит в класс [math]\mathrm{P}[/math], то есть: [math]\mathrm{Reg} \subset \mathrm{P}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\mathrm{Reg} \subset \mathrm{TS}(n, 1) \subset \mathrm{P}[/math] Замечание. [math]\mathrm{TS}[/math] — ограничение и по времени, и по памяти.

[math]\triangleleft[/math]

Соотношение классов CFL и P

Теорема:

Класс контекстно-свободных языков входит в класс [math]\mathrm{P}[/math], то есть: [math]\mathrm{CFL} \subset P[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\mathrm{CFL} \subset \mathrm{TS}(n^3, n^2) \subset \mathrm{P}[/math] Первое включение выполняется благодаря существованию алгоритма Эрли.

[math]\triangleleft[/math]

Примеры задач и языков из P

Класс задач, разрешимых за полиномиальное время достаточно широк, вот несколько его представителей:

• определение связности графов;
• вычисление наибольшего общего делителя;
• задача линейного программирования;
• проверка простоты числа.

По теореме о временной иерархии существуют задачи и не из [math]\mathrm{P}[/math].