Основные определения, связанные со строками

Базовые определения

Определение:

Символ (англ. symbol) — объект, имеющий собственное содержание и уникальную читаемую форму.

Определение:

Алфавит (англ. alphabet) — конечное непустое множество символов. Условимся обозначать алфавит большой греческой буквой [math]\Sigma[/math].

Наиболее часто используются следующие алфавиты:

• [math]\Sigma=\{0, 1\}[/math] — бинарный или двоичный алфавит.
• [math]\Sigma=\{a, b, ...,z\}[/math] — множество строчных букв английского алфавита.
• [math]\Sigma = \left\{0, 1, 2, \dots, 9\right\} [/math] — алфавит цифр.
• [math]\Sigma = \left\{\cdot, -\right\} [/math] — алфавит, лежащий в основе азбуки Морзе.
• Нотные знаки

Определение:

Слово (англ. string) или цепочка — конечная последовательность символов некоторого алфавита.

Определение:

Длина цепочки (англ. string length) — число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки [math]w[/math] обычно обозначают [math]|w|[/math].

Определение:

[math]\Sigma^k[/math] — множество цепочек длины [math]k[/math] над алфавитом [math]\Sigma[/math].

Определение:

[math]\Sigma^* = \bigcup \limits _{k=0}^\infty \Sigma^k[/math] — множество всех цепочек над алфавитом [math]\Sigma[/math].

Определение:

Пусть [math]\alpha,\ \beta \in \Sigma^*[/math]. Тогда [math] \alpha \cdot \beta [/math] или [math] \alpha \beta [/math] обозначает их конкатенацию (англ. concatenation), то есть цепочку, в которой последовательно записаны цепочки [math] \alpha [/math] и [math] \beta [/math].

Определение:

Пустая цепочка (англ. empty string) — цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую [math] \varepsilon [/math], можно рассматривать как цепочку в любом алфавите. Для любой строки [math]\alpha \in \Sigma^k[/math] верно [math] : \alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha[/math].

Множество строк с операцией конкатенации и нейтральным элементом пустой строкой образует свободный моноид.

Отношения между строками

Определение:

Префикс (англ. prefix) строки [math]\beta[/math] — строка [math]\alpha : \beta = \alpha \gamma[/math].

Пусть [math]\beta = \underline{abr}acadabra[/math], тогда [math]\alpha = abr[/math] — префикс [math]\beta[/math].

Определение:

Суффикс (англ. suffix) строки [math]\beta[/math] — строка [math]\alpha : \beta = \gamma \alpha [/math].

Пусть [math]\beta = abracada\underline{bra}[/math], тогда [math]\alpha = bra[/math] — суффикс [math]\beta[/math].

Определение:

Бордер (англ. circumfix) строки [math]\beta[/math] — строка [math]\alpha : \beta = \gamma \alpha = \alpha \eta = \alpha \mu \alpha[/math].

Пусть [math]\beta = \underline{abra}cad\underline{abra}[/math], тогда [math]\alpha = abra[/math] — бордер [math]\beta[/math].

Определение:

[math]\alpha[i][/math] — символ строки [math]\alpha[/math], находящийся на [math]i[/math]-ой позиции.

Пусть [math]\beta = cacao[/math], тогда [math]\beta[1] = c, \beta[4] = a [/math].

Определение:

Период (англ. period) строки [math]\alpha[/math] — число [math]p : \forall i = 1 \ldots |\alpha| - p, \alpha [i] = \alpha[i + p][/math].

Пусть [math]\alpha = acaacaa[/math], тогда [math]p = 3[/math] — период строки [math]\alpha = acaacaa[/math].

Утверждение:

Пусть известна строка [math]\tau[/math] — период [math]\alpha[/math] и [math]|\alpha|[/math], тогда можно восстановить всю строку [math]\alpha[/math].

[math]\triangleright[/math]

Из определения периода строки следует, что [math]\alpha[1 \dots |\tau|] = \alpha[|\tau| + 1 \dots 2 \cdot |\tau|] = \dots = \alpha[|\tau| \cdot (k - 1) + 1 \dots |\tau| \cdot k] [/math], где [math]k = [/math] [math]\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \rfloor[/math]. Таким образом [math]\alpha = [/math][math]\sum \limits_{i=1}^{\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \rfloor}[/math][math] \tau + \tau[1 \dots |\alpha| \bmod |\tau|][/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Строка [math]\alpha \neq \varepsilon[/math] c периодом [math]p \neq |\alpha|[/math], называется сильнопериодической, если [math]|\alpha| \bmod p = 0[/math].

Строка [math]\alpha = acaacaaca[/math] является сильнопериодической с периодом [math]p = 3[/math].

Определение:

Подстрока (англ. substring) — некоторая непустая подпоследовательность подряд идущих символов строки.

Пусть [math]\beta = abr\underline{aca}dabra[/math], тогда [math]\alpha = aca[/math] — подстрока строки [math]\beta[/math].

Определение:

Строка [math]\alpha[/math] лексикографически меньше строки [math]\beta[/math] ([math]\alpha \lt \beta[/math]), если 1. [math]\alpha[/math] — префикс [math]\beta[/math] или 2. [math] \mathcal {9} k : k \leqslant \min(|\alpha|, |\beta|) [/math] и [math] \alpha[k] \lt \beta[k] [/math], при этом [math] \mathcal {8} j \lt k : \alpha_j = \beta_j [/math]

Строка [math]\alpha = aca \lt \beta = acaaba[/math], так как является префиксом [math]\beta[/math].

Строка [math]\alpha = acaa \lt \beta = acab[/math], так как [math]a \lt b[/math].

Формальные языки

Определение:

Язык (англ. language) над алфавитом [math]\Sigma[/math] — некоторое подмножество [math]\Sigma^*[/math]. Иногда такие языки называют формальными (англ. formal), чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.

Отметим, что язык в [math]\Sigma[/math] не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы [math]\Sigma[/math]. Поэтому, если известно, что [math]L[/math] является языком над [math]\Sigma[/math], то можно утверждать, что [math]L[/math] — это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством [math]\Sigma[/math].

Операции над языками

Пусть [math]L[/math] и [math]M[/math] — языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.

1. Теоретико-множественные операции:
   • [math]L \cup M[/math] — объединение,
   • [math]L \cap M [/math] — пересечение,
   • [math]L \setminus M[/math] — разность,
   • [math]\overline{L}=\Sigma^* \setminus L[/math] — дополнение.
2. Конкатенация: [math]LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}[/math].
3. Конкатенация с обратным языком: [math]LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}[/math]; конкатенация с обратным словом: [math]Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, y \in \Sigma^*[/math].
4. Степень языка: [math]L^k=\begin{cases} \{\varepsilon\}, k = 0\\ LL^{k-1}, k \gt 0. \end{cases} [/math]
5. Замыкание Клини: [math]L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i[/math].
6. Гомоморфизм

Примеры

• [math](\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)[/math] — язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.
• [math](\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)[/math] — аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.
• [math](\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*[/math] — содержит все двоичные векторы и пустую строку.
• Если [math]L_p[/math] — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык [math](L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*))[/math] будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.
• [math]\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}[/math].

Гомоморфизм языков

Определение:

Пусть даны два алфавита [math]\Sigma_1, \Sigma_2[/math]. Гомоморфизмом называется такое отображение [math] \varphi \colon \Sigma_{1}^{*} \to \Sigma_{2}^{*}[/math], что: [math]\varphi(\varepsilon) = \varepsilon[/math], то есть сохраняет пустую строку [math]\forall w_1, w_2 \in \Sigma_1^*: \varphi(w_1w_2) = \varphi(w_1)\varphi(w_2)[/math], то есть сохраняет конкатенацию

Определение:

Образом языка [math]L \subset \Sigma_1^* [/math] при гомоморфизме [math]\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*[/math] (иногда называют прямым гомоморфизмом) называется язык [math]M = \varphi(L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ \varphi(x) \mid x \in L \}[/math]. Заметим, что [math]\varphi[/math] будет гомоморфизмом моноидов [math]\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle[/math] и [math]\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle[/math]

Определение:

Прообразом языка [math]M \subset \Sigma_2^*[/math] при гомоморфизме [math]\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*[/math] (иногда называют обратным гомоморфизмом) называется язык [math]L = \varphi^{-1}(M) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ x \mid \varphi(x) \in M \}[/math]. Заметим, что [math]\varphi[/math] будет гомоморфизмом моноидов [math]\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle[/math] и [math]\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle[/math]

Примеры

• тривиальные гомоморфизмы
  • обнуляющий: [math] \varphi(x) = \varepsilon, x \in L [/math], тогда [math] \varphi(L) = \{ \varepsilon \} [/math]
  • тождественный: [math] \varphi(x) = x, x \in L [/math], тогда [math] \varphi(L) = L [/math] и [math] \varphi^{-1}(L) = L[/math]
• гомоморфизм цепочек — функция, подставляющая некоторую строку вместо каждого символа. Более формально, для заданного отображения [math] h\colon \Sigma_1 \to \Sigma_1^* [/math] гомоморфизмом цепочек будет функция [math] \varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^* [/math], действующая от каждого символа строки из языка следующим образом [math] \varphi(\overline{c_1 c_2 ... c_n}) = h(c_1)h(c_2) ... h(c_k) [/math]. Регулярные языки замкнуты относительно гомоморфизма цепочек
• солнечный язык из детских игр (когда после каждой гласной в слове надо добавлять букву "С" и эту же гласную) может быть представлен в виде гомоморфизма языков, где все согласные символы отображаются сами в себя, а гласный символ [math] z [/math] переходит в [math] zCz [/math]
• циклический гомоморфизм: зафиксируем порядок символов в алфавите, будем отображать каждый символ в следующий, а последний — в первый. Обратным гомоморфизмом будет отображение каждого символа в предыдущий.

См. также

• Период и бордер, их связь
• Слово Фибоначчи
• Слово Туэ-Морса
• Регулярные языки: два определения и их эквивалентность

Источники информации

• Wikipedia — Formal language
• Wikipedia — Kleene star
• Wikipedia — String homomorphism
• Википедия — Формальный язык
• Википедия — Звезда Клини
• M.Lothaire "Combinatorics on words"
• Гасфилд Д. Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология. — 2-е изд.
• Kelley, Dean (1995). Automata and Formal Languages: An Introduction. London: Prentice-Hall International. ISBN 0-13-497777-7.
• Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 45.