|
|
| Строка 4: |
Строка 4: |
| | Лекция от 06.09.10. | | Лекция от 06.09.10. |
| | | | |
| − | ''Множество'' {{---}} первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как «совокупность объектов, объединенных общим свойством».
| + | ==Начальные определения== |
| | + | Множество - первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как «совокупность объектов, объединенных общим свойством». |
| | | | |
| | В математическом анализе используется «наивная» теория множеств, которая является удобным языком описания фактов. Создана немецким математиком Г. Кантором(1870). | | В математическом анализе используется «наивная» теория множеств, которая является удобным языком описания фактов. Создана немецким математиком Г. Кантором(1870). |
| Строка 11: |
Строка 12: |
| | | | |
| | <tex>a \notin A</tex> (объект а не принадлежит множеству А) | | <tex>a \notin A</tex> (объект а не принадлежит множеству А) |
| − |
| |
| − | == Мощность множества (Лекция от 20 сентября 2010.)==
| |
| − |
| |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | Если А и В {{---}} произвольные множества, и между ними можно установить биекцию, что они '''равномощны''': <tex> |A| = |B| </tex>
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | Множество называется ''конечным'', если его элементы можно пересчитать, иначе его оно называется ''бесконечным''.
| |
| − |
| |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | Если <tex> |A| = |\mathbb N| </tex>, то A называется '''счетным''' множеством.
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | <tex> A = \{a_1, a_2, ... , a_n \} </tex> - счетное множество.
| |
| − |
| |
| − | Мощность счетных множеств минимальна по сравнению с другими бесконечными множествами.
| |
| − |
| |
| − | {{Утверждение
| |
| − | |statement=
| |
| − | Если А - бесконечное множество, то в нем содержится по меньшей мере одно счетное подмножество.
| |
| − | |proof=
| |
| − | <tex> B \subset A </tex>
| |
| − |
| |
| − | <tex> a_1 \in A \Rightarrow A \backslash \{ a_1 \} = A_1 </tex> - бесконечное множество.
| |
| − |
| |
| − | <tex> a_2 \in A_1 \Rightarrow A_1 \backslash \{ a_2 \} = A_2 </tex> - также бесконечное множество.
| |
| − |
| |
| − | Продолжаем этот процесс далее, пока не останется <tex> B \subset A </tex> - счетное множество. (ЩИТО? У кого есть что-нибудь адекватное насчет этого, исправьте, пожалуйста.)
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | Если <tex> \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... \} </tex> - совокупность попарно различных элементов, то это - счетное множество.
| |
| − |
| |
| − | Для счетных множеств часто применяется следующий факт:
| |
| − | {{Утверждение
| |
| − | |statement=
| |
| − | Не более чем счетное объединение не более, чем счетных множеств, не более, чем счетно:
| |
| − |
| |
| − | Пусть <tex> A_n </tex> - счетное/конечное множество.
| |
| − |
| |
| − | Тогда: <tex> | \bigcup\limits_n A_n | = |\mathbb N| </tex>
| |
| − |
| |
| − | |proof=
| |
| − |
| |
| − | <tex> A_n = \{ a_{n1}, a_{n2}, ... \} </tex>.
| |
| − |
| |
| − | TODO: А вот тут должна какая-то биекция, доказывающая это утверждение.
| |
| − |
| |
| − | <tex> \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots \\ a_{21} & a_{22} & \cdots \\ a_{31} & \cdots \\ \cdots \end{pmatrix} </tex>
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | <tex> Множество I = [0, 1] </tex> называется ''континииумом''.
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | {{Утверждение
| |
| − | |statement=
| |
| − | <tex> I </tex> - несчетное множество.
| |
| − | |proof=
| |
| − | Будем доказывать от противного. Применим принцип вложенных отрезков:
| |
| − |
| |
| − | Пусть <tex> I = \{ x_1, x_2, ... , x_n \} </tex>
| |
| − |
| |
| − | Разделим I на 3 части и назовем <tex> \Delta_1 : x_1 \notin \Delta_1 </tex>. Такой отрезок всегда существует.
| |
| − |
| |
| − | Далее разобьем <tex> \Delta_1 </tex> на 3 части. Назовем <tex> \Delta_2 </tex> тот отрезок, который не содержит <tex> x_2 </tex>, и так далее..
| |
| − |
| |
| − | В результате выстраивается система вложенных отрезков:
| |
| − |
| |
| − | <tex> \{ \Delta_n : \Delta_{n+1} \subset \Delta_n, x_n \notin \Delta_n \} </tex>
| |
| − |
| |
| − | По свойству системы вложенных отрезков:
| |
| − |
| |
| − | <tex> \exists d = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n </tex>
| |
| − |
| |
| − | <tex> d \in I </tex>. Пусть теперь <tex> d \in \{ x_i \} \Rightarrow d = x_{n_0} </tex>.
| |
| − |
| |
| − | По построению: <tex> d = x_{n_0} \notin \Delta_{n_0} </tex>, но <tex> d \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n \Rightarrow d \in \Delta_{n_0} </tex>, противоречие.
| |
| − |
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | Если <tex> |A| = |I| </tex>, то обычно говорят, что А ''обладает мощностью континиума'':
| |
| − |
| |
| − | {{Утверждение
| |
| − | |statement=
| |
| − | <tex> |\mathbb R| = |I| </tex>
| |
| − | |proof=
| |
| − | Рассмотрим функцию <tex> y = tg \, x, x \in ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex>
| |
| − |
| |
| − | С ее помощью можно установить биекцию между множествами <tex> \mathbb R </tex> и <tex> ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex>.
| |
| − |
| |
| − | Биекцию между множествами <tex> (0, 1) </tex> и <tex> ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex> можно установить параллельным переносом и сжатием:
| |
| − |
| |
| − | <tex> x \leftrightarrow (x * \pi) - \frac {\pi}{2} </tex>
| |
| − |
| |
| − | Получили, что <tex> |\mathbb R| = | ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) | = | (0, 1) | </tex>.
| |
| − |
| |
| − | Осталось доказать, что <tex> |(0, 1)| = |[0, 1]| </tex>.
| |
| − |
| |
| − | Применим следующий прием:
| |
| − |
| |
| − | Пусть <tex> a_1, a_2, ... , a_n, ... \in (0, 1) </tex> - попарно различны.
| |
| − |
| |
| − | Множество <tex> A = \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... \} </tex> - счетное.
| |
| − |
| |
| − | Определим множество <tex> B = A \cup \{ 0, 1 \} </tex>. Множество <tex> B </tex> также счетное.
| |
| − |
| |
| − | Между счетными множествами можно установить биекцию: <tex> B \leftrightarrow A \Rightarrow (0, 1) \backslash A = [0, 1] \backslash B
| |
| − | \Rightarrow (0, 1) = [0, 1] \Rightarrow |(0, 1)| = |[0, 1]| </tex>
| |
| − |
| |
| − | В итоге получили, что <tex> |\mathbb R| = |[0, 1]| </tex>
| |
| − |
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | <tex> \mathbb Q </tex> - счетно.
| |
| − |
| |
| − | <tex> |\mathbb R \backslash \mathbb Q| = |I| \Rightarrow </tex> иррациональных чисел по мощности континииум.
| |
| − |
| |
| − | [[Категория:Математический анализ 1 курс]]
| |
| | | | |
| | ==Задание множеств== | | ==Задание множеств== |
Эта статья находится в разработке!
Лекция от 06.09.10.
Начальные определения
Множество - первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как «совокупность объектов, объединенных общим свойством».
В математическом анализе используется «наивная» теория множеств, которая является удобным языком описания фактов. Создана немецким математиком Г. Кантором(1870).
[math]a \in A[/math] (объект а принадлежит множеству А)
[math]a \notin A[/math] (объект а не принадлежит множеству А)
Задание множеств
1) Перечислением элементов: [math] A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} [/math]
2) Заданием определенного свойства обьектов: [math] A = \{a: P\} [/math] , где P - определенное свойство обьекта а
Операции
- [math] A \subset B [/math] (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В ([math] \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B [/math]);
- [math] A \cap B [/math] (Пересечение множеств А и В: [math] (x \in A) \wedge (x \in B) [/math]);
- [math] A \cup B [/math] (Объединение множеств А и В: [math] (x \in A) \vee (x \in B) [/math]);
- [math] B \backslash A [/math] (Разность множеств: [math] (x \in B) \wedge (x \notin A) [/math];
- [math] \varnothing [/math] - пустое множество:
- [math] A \cup \varnothing = A [/math]
- [math] A \cap \varnothing = \varnothing [/math]
- [math] \forall A: \varnothing \subseteq A [/math]
- [math] \bigcup\limits_{\alpha\in W} A_\alpha[/math] - обьединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:
- [math] \bigcup\limits_{j \in N} A_j = A_1 \cup A_2 \cup [/math] ...
- [math] \bigcup\limits_{0 \lt x \lt 1} A_x [/math]
- [math] \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} [/math], и так далее..
- [math] A \cup B \cup C ... \subseteq U [/math] - "множество всего".
- [math]\overline{A} = U [/math] \ [math] A [/math] - дополнение множества А, дополнительное множество к А до U;
| Теорема (Де Моргана): |
[math]\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\
\overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha} [/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
???????? |
| [math]\triangleleft[/math] |
