Алгоритм Апостолико-Крочемора

Алгоритм Апостолико — Крочемора (англ. Apostolico — Crochemore algorithm) — алгоритм поиска подстроки в строке.

Описание алгоритма

Нам даны: [math]y[/math] — текст, [math]x[/math] — образец, [math]m {{=}} |x|[/math], [math]n {{=}} |y|[/math].

Для начала рассмотрим ситуацию, когда мы сравниваем наш образец с [math]y[j \ldots j + m - 1][/math]. Предположим, что первое несовпадение произойдет между [math]x[i][/math] и [math]y[i + j][/math] при [math]0 \lt i \lt m[/math]. Тогда [math]x[0 \ldots i - 1] {{=}} y[j \ldots i + j - 1] {{=}} u[/math] и [math]a {{=}} x[i] \neq y[i + j] {{=}} b[/math]. Когда сдвиг возможен, разумно ожидать, что префикс [math]v[/math] шаблона совпадет c некоторым суффиксом [math]u[/math]. Более того, если мы хотим избежать несовпадения при сдвиге, то нужно, чтобы символ, следующий за префиксом [math]v[/math] в шаблоне, не совпадал с [math]a[/math]. Такой наибольший префикс [math]v[/math] называется помеченным бордером строки [math]u[/math].

Определение:

Помеченный бордер (англ. tagged border) строки [math]\beta[/math] — строка [math]\alpha : \forall i = 1 \ldots n - 1, \alpha[i] {{=}} \beta[i + (m - n)], \alpha[n] \neq \beta[m], n {{=}} |\alpha|, m {{=}} |\beta|[/math].

Введем обозначение: пусть [math]t[i][/math] — длина наибольшего бордера для [math]x[0 .. i - 1][/math] за которым следует символ [math]c \neq x[i][/math] и [math]-1[/math] если нет такого помеченного бордера, где [math]0 \lt i \leqslant m[/math] ([math]t[0] = -1[/math]). Затем, после сдвига, сравнение можно продолжить между символами [math]x[t[i]][/math] и [math]y[i + j][/math] не потеряв никакого вхождения [math]x[/math] в [math]y[/math] и избежав отступа по тексту (смотри рисунок ниже).

Пусть теперь [math]l {{=}} 0[/math], если [math]x = c ^ m[/math] и [math]c \in \Sigma[/math], иначе [math]l[/math] равно позиции первого элемента, который не равен [math]x[0][/math] ([math]x {{=}} a ^ l bu[/math], где [math]a[/math] и [math]b \in \Sigma[/math], а [math]u \in \Sigma^*[/math] и [math]a \neq b[/math]). На каждой итерации алгоритма мы выполняем сравнения с шаблоном в следующем порядке: [math]l, l + 1, \ldots , m - 2, m - 1, 0, 1, \ldots , l - 1[/math].

Во время поиска вхождений мы рассматриваем данную тройку [math](i, j, k)[/math] где:

• шаблон сравнивается с [math]y[j, \ldots , j + m - 1][/math]
• [math]0 \leqslant k \leqslant l[/math] и [math]x[0, \ldots, k - 1] {{=}} y[j, \ldots , j + k - 1][/math]
• [math]l \leqslant i \lt m[/math] и [math]x[l, \ldots, i - 1] {{=}} y[j + l, \ldots , i + j - 1][/math]

Вначале инициализируем эту тройку [math](l, 0, 0)[/math]. Теперь опишем, как по уже вычисленной тройке [math](i, j, k)[/math] перейти к следующей. Возможны три случая в зависимости от значения [math]i[/math]:

1. [math]i = l[/math]:

   Если [math]x[i] {{=}} y[i + j][/math], тогда следующая тройка [math](i + 1, j, k)[/math].

   Если [math]x[i] \neq y[i + j][/math], тогда следующая тройка [math](l, j + 1, \max(0, k - 1))[/math].

2. [math]l \lt i \lt m [/math]

   Если [math]x[i] {{=}} y[i + j][/math], тогда следующая тройка [math](i + 1, j, k)[/math].

   Если [math]x[i] \neq y[i + j][/math], тогда возможны два случая в зависимости от значения [math]t[i][/math]:

   • Если [math]t[i] \leqslant l[/math], тогда следующая тройка [math](l, i + j - t[i], \max(0, t[i]))[/math].
   • Если [math]t[i] \gt l[/math], тогда следующая тройка [math](t[i], i + j - t[i], l)[/math].

3. [math]i = m[/math]:

   Если [math] k \lt l [/math] и [math]x[k] {{=}} y[j + k][/math], тогда следующая тройка [math](i, j, k + 1)[/math].

   Иначе либо [math]k \lt l[/math] и [math]x[k] \ne y[l + k][/math], либо [math]k = l[/math]. Если [math]k = l[/math], то вхождение [math]x[/math] в [math]y[/math] найдено. В обоих случаях следующая тройка вычисляется, как в случае [math]l \lt i \lt m [/math].

Псевдокод

void getT(string x, int t[]):
    int i = 0
    int j = t[0] = -1
    while i < x.size 
        while j > -1 and x[i] [math]\neq[/math] x[j]
            j = t[j]
        i++
        j++
        if x[i] == x[j]
            t[i] = t[j]
        else
            t[i] = j
   
void aG(string x, string y):
    int l, t[x.size]
    //предподсчет [math]-[/math] вычисление массива [math]t[/math]
    getT(x, t)
    for l = 1; x[l - 1] == x[l]; l++
        if l == x.size 
            l = 0
    //поиск [math]-[/math] вычисление позиций вхождения [math]x[/math] в [math]y[/math]
    int i = l
    int j = 0
    int k = 0
    while j [math]\leqslant[/math] y.size - x.size 
        while i < x.size and x[i] == y[i + j]
            ++i
        if i [math]\geqslant[/math] x.size 
            while k < l and x[k] == y[j + k]
                ++k
            if k [math]\geqslant[/math] l
                OUTPUT(j)
        j += i - t[i]
        if i == l
            k = max(0, k - 1)
        else
            if t[i] [math]\leqslant[/math] l 
                k = max(0, t[i])
                i = l
            else
                k = l
                i = t[i]

Асимптотика алгоритма

Этап предподсчета, а именно вычисление массива [math]t[/math] и переменной [math]l[/math] занимает [math]O(m)[/math] времени и константное количество памяти. Этап поиска занимает [math]O(n)[/math] времени, более того, алгоритм в худшем случае выполнит [math]\dfrac{3}{2} n[/math] сравнений.

См. также

• Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта
• Алгоритм Бойера-Мура

Источники информации

• Краткое описание алгоритма, пример работы