Изменения
Нет описания правки
Так как <tex>S\in \mathrm{NPC}</tex> и <tex>\mathrm{LSAT} \in \mathrm{NPC}</tex>, то существует полиномиальная функция сведения <tex>f</tex> такая, что <tex>\langle \varphi, y \rangle \in \mathrm{LSAT} \Leftrightarrow f(\langle \varphi, y \rangle) \in S</tex>.
Так как функция <tex>f</tex> работает полиномиальное время, и <tex>|\varphi|\geqslant|y|</tex> (<tex>|y|</tex> — длина вектора <tex>y</tex>), то <tex>f(\langle\varphi,y\rangle) \leqslant q(|\varphi|)</tex>, где <tex>q</tex> — полином.
<tex>S\in \mathrm{SPARSE}</tex>, следовательно <tex>\forall n \; |S \cap \Sigma^n|\leqslant p(n)</tex>, где <tex>p</tex> — некоторый полином.
Оценим время работы нашего алгоритма. После <tex>k</tex> итераций у нас останется не более <tex>2^n\left(1-\dfrac1{r+1}\right)^k</tex> строк. Оценим <tex>k</tex>.
Нам нужно, чтобы <tex>2^n\left(1-\dfrac1{r+1}\right)^k \simeq 1</tex>. Отсюда <tex>k=O(rn)</tex> (это можно получить, выразив <tex>k</tex> через <tex>n</tex> и <tex>r</tex> и воспользовавшись [[Формула Тейлора для произвольной функции | формулой Тейлора]] для логарифма).
Таким образом, мы можем разрешить язык <tex>\mathrm{LSAT}</tex> за полиномиальное время, найдя лексикографически минимальную строку, удовлетворяющую формуле, и сравнив её с нашим аргументом. Так как <tex>\mathrm{LSAT}\in \mathrm{NPC}</tex>, то мы можем решить любую задачу из <tex>\mathrm{NP}</tex> за полиномиальное время, а значит <tex>\mathrm{P}=\mathrm{NP}</tex>.
