Изменения

{{TODO| t = утверждение Написал вроде бы понятное доказательство в обратную сторону нифига не понятное и странное и скорее всего неправильно доказаноГрусть и печаль. Это полный бредЕсли есть какие-либо косяки - пишите в обсуждение.}}

: Если множество F содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, то оно замкнуто. |proof=Рассмотрим <tex> x \notin F <br /tex>. Пусть <tex> x G = \notin overline F</tex>. Если <tex> G </tex> - открытое, \exists V то <tex> F </tex> - замкнутое множество (по определению).: x Тогда каждый <tex> y \in V, V \cap F </tex> входит в <tex> G </tex> вместе с каким-то открытым шаром (по определению - <tex> G = \varnothing \Rightarrow bigcup\overline F limits_i V_i </tex> - открытоемножество). При этом, <tex> F \cap G = \varnothing \Rightarrow \forall i: V_i \cap F - замкнутое.'''щито?'''|proof= \varnothing <br /tex>.: ДопустимПредположим, что это не так, и для любого <tex> x \notin F </tex> не найдется такого открытого шара нет. <tex> V(x): x \Rightarrow in V(x)_r , \forall V_{\frac 1 n}, V(x) _r \cap F = \varnothing </tex>: Запишем это формально: <tex> \forall r: \exists x': x' \in (F \ne cap V(x)_r) </tex>.: Определим следующие последовательности:: <tex> r_n = \varnothingfrac 1n </tex>, <tex> \{ x_n \} : x_n \in V_{(F \frac 1 n}cap V(x) \cap F _{r_n}) </tex>.: <tex> \frac 1 n r_n \rightarrow 0 \Rightarrow x_n \rho(rightarrow x </tex>.: Каждый <tex> x_n\in F, x) x_n \rightarrow 0 x \Rightarrow \{ x_n \} </tex> - сходящаяся последовательность в <tex> F </tex>: Но, по предположению, <tex> F </tex> содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, а значит <tex> x \in F </tex>.: Получили противоречие, значит <tex> G = \overline F </tex> - противоречит условиюоткрытое множество, ч.т.да значит <tex> F </tex> - замкнуто.