32
правки
Изменения
Нет описания правки
Убывающий и растущий факториалы определены так же и в любом ассоциативном кольце с единицей и, следовательно, <tex dpi=150>x</tex> может быть даже комплексным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой функцией определенной на комплексных числах.
Так как убывающие факториалы {{---}} базис кольца многочленов, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов:
:<tex dpi=150>x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_{{n}} .</tex>
Отношение двух символов Похгаммера определяется как:
:<tex dpi=150>(x)_{-n} = \frac{1}{(x-n)_n} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{n}}}</tex>
:<tex dpi=150>x^{\underline{-n}} = \frac{1}{(x+1)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)}</tex>
====Числа Стирлинга второго рода====
Убывающий и растущий факториалы выражаются друг через друга при помощи [[Числа Стирлинга второго рода|чисел Стирлинга второго рода]]:
<ref name="Introduction to the factorials and binomials">[http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Factorial/introductions/FactorialBinomials/05/ Wolfram Functions Site {{---}} Introduction to the factorials and binomials]</ref>
<tex dpi=150> x^n = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} x^{\underline{n-k}} </tex>
:<tex dpi=150> = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k. </tex>
====Числа Лаха====
Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом [[wikipedia:Lah number|числами Лаха]]:
<ref name="Introduction to the factorials and binomials">[http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Factorial/introductions/FactorialBinomials/05/ Wolfram Functions Site {{---}} Introduction to the factorials and binomials]</ref>
{{Утверждение
|id=
|author=
|about=
|statement=<tex dpi=150> x^{(n)} = \sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k </tex>
|proof=
Подставим целое <tex dpi=150>m</tex> из отрезка <tex dpi=150>[0;n]</tex>, тогда получим (будем считать, что <tex dpi=150>(-1)!</tex> равно бесконечности):
:<tex dpi=150>\frac{(n+m-1)!}{(m-1)!}=\sum_{k=1}^n \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{n!}{k!}\times\frac{m!}{(m-k)!}</tex>
Поделим обе части на <tex dpi=150>n!</tex>, а из правой части уберём слагаемые, равные нулю, {{---}} получим:
:<tex dpi=150>\binom{n+m-1}{n}=\sum_{k=1}^{min(m,k)} \binom{n-1}{n-k}\times\binom{m}{k}</tex>
Это тождество очевидно из комбинаторики, так как обе части равны числу способов выбрать из <tex dpi=150>n+m-1</tex> элементов, разделённых на два множества по <tex dpi=150>n-1</tex> и <tex dpi=150>m</tex> элементов, <tex dpi=150>n</tex> элементов. С одной стороны нельзя не признать, что это левая часть тождества по определению бинома. С другой стороны нельзя не согласиться, что это правая часть тождества, в котором <tex dpi=150>k</tex> означает количество элементов, берущихся из множества размера <tex dpi=150>m</tex>.
Многочлены, стоящие в левой и правой частях тождества, оказались равны в <tex dpi=150>n+1</tex> точке и при этом имеют степень не больше <tex dpi=150>n</tex>, то есть они формально совпадают, что и требовалось доказать.
}}
===Гамма функция===
:<tex dpi=150>D^n(x^a) = (a)_n\,\, x^{a-n}.</tex>
===Теорема об умножении===
По [[wikipedia:Multiplication theorem|теореме об умножении]] получаем следующие выражения для растущего факториала:
:<tex dpi=150>(x)_{k+mn} = (x)_k m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x+j+k}{m}\right)_n,\ m \in \mathbb{N} </tex>
:<tex dpi=150>(ax+b)_n = x^n \prod_{k=0}^{x-1} \left(a+\frac{b+k}{x}\right)_{n/x},\ x \in \mathbb{Z}^{+} </tex>
:<tex dpi=150>(2x)_{2n} = 2^{2n} (x)_n \left(x+\frac{1}{2}\right)_n. </tex>
==Обобщения==
